Bài tập Hệ trục tọa độ trong không gian Xác định tọa độ điểm, tọa độ vectơ lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Cho hai điểm M(1; −2; 3) và N(3; 4; −5). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {NM} \) là
(−2; 6; 8);
(2; 6; −8);
(−2; 6; −8);
(−2; −6; 8).
Đáp án đúng là: D
\(\overrightarrow {NM} = \left( {1 - 3; - 2 - 4;3 + 5} \right) = \left( { - 2; - 6;8} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow {AO} = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j + 3\overrightarrow k \). Tọa độ của điểm A là
(−1; 2; −3);
(2; −3; −1);
(−3; 2; −1);
(2; −1; −3).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {AO} = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j + 3\overrightarrow k \)\( \Rightarrow \overrightarrow {OA} = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \) A(−1; 2; −3).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A thỏa mãn \(\overrightarrow {OA} = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j + 4\overrightarrow k \) và \(B\left( {2;1;4} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {BA} \) là
(0; −4; 0);
(4; −2; 8);
(−1; −1; 2);
(−2; −2; 4).
Đáp án đúng là: A
Ta có A(2; −3; 4) \(\overrightarrow {BA} = \left( {0; - 4;0} \right)\).
(2; 0; 0);
(0; 1; 0);
(0; 0; 4);
(0; 1; 4).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\overrightarrow b = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j - \overrightarrow k \Rightarrow \overrightarrow b = \left( {2;3; - 1} \right)\).
Để \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \) thì m = 3.
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; −2; 3). Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (Oyz) có tọa độ là
(1; 0; 3);
(1; 0; 0);
(1; −2; 0);
(0; −2; 3).
Đáp án đúng là: D
Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (Oyz) có tọa độ là (0; −2; 3).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình bình hành ABCD và các đỉnh có tọa độ lần lượt là A(3; 1; 2), B(1; 0; 1), C(2; 3; 0). Tọa độ đỉnh D là
(1; 1; 0);
(0; 2; −1);
(4; 4; 1);
(1; 3; −1).
Đáp án đúng là: C
Vì ABCD là hình bình hành suy ra \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} - 3 = 1\\{y_D} - 1 = 3\\{z_D} - 2 = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 4\\{y_D} = 4\\{z_D} = 1\end{array} \right.\).
Vậy D(4; 4; 1).
Trong không gian Oxyz, cho điểm M thỏa mãn \(\overrightarrow {OM} = \left( {2x - 4} \right)\overrightarrow i - 4\overrightarrow j + \left( {y - 1} \right)\overrightarrow k \). Khi điểm M Oy thì giá trị x + 2y bằng
2;
4;
1;
3.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\overrightarrow {OM} = \left( {2x - 4} \right)\overrightarrow i - 4\overrightarrow j + \left( {y - 1} \right)\overrightarrow k \) M(2x – 4; −4; y – 1).
Vì M Oy nên \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 4 = 0\\y - 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\). Vậy x + 2y = 4.
Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow b = 4\overrightarrow j - \overrightarrow i \). Tọa độ \(\overrightarrow b \) bằng
(−1; 4; 0);
(1; 4; 0);
(0; −1; 4);
(4; −1; 0).
Đáp án đúng là: A
\(\overrightarrow b = 4\overrightarrow j - \overrightarrow i \)\( \Rightarrow \overrightarrow b = \left( { - 1;4;0} \right)\).
Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 3; −1), \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1;5} \right)\). Tọa độ của \(\overrightarrow {OB} \) là
\(\overrightarrow {OB} = \left( { - 2;4; - 6} \right)\);
\(\overrightarrow {OB} = \left( {2; - 4;6} \right)\);
\(\overrightarrow {OB} = \left( { - 4; - 2; - 4} \right)\);
\(\overrightarrow {OB} = \left( {4;2;4} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1;5} \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} - {x_A} = 3\\{y_B} - {y_A} = - 1\\{z_B} - {z_A} = 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} - 1 = 3\\{y_B} - 3 = - 1\\{z_B} + 1 = 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 4\\{y_B} = 2\\{z_B} = 4\end{array} \right.\).
Vậy B(4; 2; 4) hay \(\overrightarrow {OB} = \left( {4;2;4} \right)\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có điểm A trùng với gốc tọa độ O, điểm B nằm trên tia Ox, điểm D nằm trên tia Oy, điểm A' nằm trên tia Oz. Biết AB = 2; AD = 4; AA' = 3. Gọi tọa độ của C' là (a; b; c) khi đó biểu thức a + b – c có giá trị là
−4;
9;
3;
6.
Đáp án đúng là: C
Theo giả thiết ta có \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow i ;\overrightarrow {AD} = 4\overrightarrow j ;\overrightarrow {AA'} = 3\overrightarrow k \).
Theo quy tắc hình hộp ta có \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = 2\overrightarrow i + 4\overrightarrow j + 3\overrightarrow k \).
Do đó C'(2; 4; 3). Vậy a + b – c = 2 + 4 – 3 = 3.
Trong không gian Oxyz, điểm đối xứng với điểm M(4; −5; 3) qua trục Oz có toạ độ là:
(4; −5; −3).
(−4; 5; 3).
(5; −6; 0).
(0; 0; 3).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Điểm đối xứng của M(x; y; z) qua trục Oz có dạng toạ độ M'(−x; −y; z) nên chọn (−4; 5; 3).
Trong không gian Oxyz, điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng toạ độ (Oxy)?
N(0; 4; −1).
P(−2; 0; 3).
M(3; 4; 0).
Q(2; 0; 0).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Điểm thuộc mặt phẳng toạ độ (Oxy) có dạng toạ độ là: (x; y; 0) nên chọn M(3; 4; 0).
Tọa độ điểm B như hình vẽ là
(−2; −2; 4).
(0; 0; −4).
(−2; 2; 4).
(−2; 2; 4).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Tọa độ điểm B là (−2; −2; 4).
\[\overrightarrow u = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j + \overrightarrow k \].
\[\overrightarrow u = - 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j - \overrightarrow k \].
\[\overrightarrow u = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j + \overrightarrow k \].
\[\overrightarrow u = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j - \overrightarrow k \].
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Vectơ \[\overrightarrow u = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j + \overrightarrow k \] có tọa độ (2; −3; 1).
2.
3.
−1.
−3.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\overrightarrow b = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j - \overrightarrow k \Rightarrow \overrightarrow b = \left( {2;3; - 1} \right)\).
Để \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \) thì m = 3.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 4; 6) và \(\overrightarrow {ON} = 2\overrightarrow i + \overrightarrow k \).
Khi đó:
Toạ độ điểm N(2; 1; 0).
Hình chiếu vuông góc của M trên trục Oz là điểm M'(0; 0; 6).
Hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (Oxy) là điểm N(2; 4; 0).
Đối xứng với điểm M qua mặt phẳng (Oyz) là điểm K(−2; 0; 0).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
\(\overrightarrow {ON} = 2\overrightarrow i + \overrightarrow k \), suy ra toạ độ điểm N(2; 0; 1).
a) Sai. Toạ độ điểm N(2; 0; 1).
b) Đúng. Hình chiếu vuông góc của M trên trục Oz là điểm M'(0; 0; 6).
c) Đúng. Hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (Oxy) là điểm N(2; 4; 0).
d) Sai. Đối xứng với điểm M qua mặt phẳng (Oyz) là điểm K(−2; 4; 6).
Hình dưới minh hoạ một hệ toạ độ Oxyz trong không gian cùng với các hình vuông có cạnh bằng 1 đơn vị. Toạ độ của điểm P được biểu diễn như hình dưới.
Khi đó:
Toạ độ điểm P(2; 3; 3).
Hình chiếu của P trên trục Ox là điểm Q(2; 0; 0).
Hình chiếu của điểm P trên mặt phẳng (Oxy) là điểm P'(0; 3; 3).
Điểm đối xứng của điểm P qua mặt phẳng (Oyz) là điểm M(−2; −3; 3).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Toạ độ điểm P(2; 3; 3).
b) Đúng. Hình chiếu của P trên trục Ox là điểm Q(2; 0; 0).
c) Sai. Hình chiếu của điểm P trên mặt phẳng (Oxy) là điểm P'(2; 3; 0).
d) Sai. Điểm đối xứng của điểm P qua mặt phẳng (Oyz) là điểm M(−2; 3; 3).
Trong không gian Oxyz, vẽ hình hộp chữ nhật OADB.CFME có ba đỉnh A, B, C lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz như hình vẽ. Biết A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 5).
\(\overrightarrow {OA} = 2\overrightarrow i \).
E(0; 3; 5).
M(2; 3; 5).
\(\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j - 5\overrightarrow k \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. A(2; 0; 0) \( \Rightarrow \overrightarrow {OA} = 2\overrightarrow i \).
b) Đúng. \(\overrightarrow {OB} = 3\overrightarrow j ;\overrightarrow {OC} = 5\overrightarrow k \).
Lại có \(\overrightarrow {OE} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow j + 5\overrightarrow k \)Þ E(0; 3; 5).
c) Đúng. Có \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j + 5\overrightarrow k \Rightarrow M\left( {2;3;5} \right)\).
d) Sai. \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j + 5\overrightarrow k \).
\(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 1;2} \right)\).
Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} \) là (2; −1; 2).
Tồn tại điểm M sao cho \(\overrightarrow {BM} = \overrightarrow a \). Khi đó \(M\left( {5;9;0} \right)\).
Nếu điểm N thỏa mãn \(\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {BA} \) thì N(−1; 3; 1).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.\(\overrightarrow {AB} = \left( {3 - 1;1 - 2;5 - 3} \right) = \left( {2; - 1;2} \right)\).
b) Sai. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow 0 \).
c) Sai. \(\overrightarrow a = 2\overrightarrow i - \overrightarrow j + 4\overrightarrow k \Rightarrow \overrightarrow a = \left( {2; - 1;4} \right)\).
Giả sử M(x; y; z), Khi đó \(\overrightarrow {BM} = \left( {x - 3;y - 1;z - 5} \right)\).
Để \(\overrightarrow {BM} = \overrightarrow a \) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 2\\y - 1 = - 1\\z - 5 = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 0\\z = 9\end{array} \right.\) \( \Rightarrow M\left( {5;0;9} \right)\).
d) Đúng. Có \(\overrightarrow {BA} = \left( { - 2;1; - 2} \right)\).
Giả sử N(x; y; z).
Để \(\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {BA} \) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = - 2\\y - 2 = 1\\z - 3 = - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 3\\z = 1\end{array} \right.\)Þ N(−1; 3; 1).
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật OABC.O'A'B'C' như hình
Biết rằng O là gốc tọa độ; OA = 2; OC = 3; OO' = 4. Các cạnh song song với các trục tọa độ.
\(\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;3;0} \right)\).
\(AA' = 4\overrightarrow k \).
Điểm M thỏa mãn \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OB} \) có tọa độ M(2; 3; 0).
\(\overrightarrow {A'C} = \left( {0;3; - 4} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Ta có A(2; 0; 0); C(0; 3; 0). Khi đó \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;3;0} \right)\).
b) Đúng. A'(2; 0; 4). Khi đó \(\overrightarrow {AA'} = \left( {0;0;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AA'} = 4\overrightarrow k \).
c) Đúng. Để \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OB} \) thì M ≡ B(2; 3; 0).
d) Sai. Có \(\overrightarrow {A'C} = \left( { - 2;3; - 4} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow {OA} = 3\overrightarrow i + 4\overrightarrow j - 5\overrightarrow k \). Toạ độ điểm A(x; y; z). Giá trị của biểu thức S = 100x + 1000y + 10z bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 4250
Do \(\overrightarrow {OA} = 3\overrightarrow i + 4\overrightarrow j - 5\overrightarrow k \) nên A(3; 4; −5).
Vậy S = 100x + 1000y + 10z = 100∙3 + 1000∙4 + 10∙(−5) = 4250.
Trong không gian Oxyz, điểm M có toạ độ như hình dưới. Gọi M'(x; y; z) là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng (Oyz). Tính giá trị của biểu thức T = 100x + 10y + z bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: −346
Dựa vào hình vẽ, ta thấy M(4; 5; 4).
M'(x; y; z) là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng (Oyz) có dạng toạ độ (−x; y; z).
Do đó M'(−4; 5; 4).
Vậy T = 100x + 10y + z = 100∙(−4) + 10∙5 + 4 = −400 + 50 + 4 = −346.
Trong không gian Oxyz, cho A(1; 2; 3) và \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow i + 4\overrightarrow k - \overrightarrow j \). Tìm tung độ của điểm M sao cho \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow u \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1
Có \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow i + 4\overrightarrow k - \overrightarrow j \)\( \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {2; - 1;4} \right)\).
Giả sử M(x; y; z). Khi đó \(\overrightarrow {AM} = \left( {x - 1;y - 2;z - 3} \right)\).
Để \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow u \) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 2\\y - 2 = - 1\\z - 3 = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\\z = 7\end{array} \right.\).
Vậy tung độ của điểm M là 1.
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(4; 2; 1), B(1; −1; 2), C(4; 5; 3). Xác định tung độ của điểm M biết \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CM} = \overrightarrow 0 \).
Khi đó \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 3;1} \right),\overrightarrow {MC} = \left( {4 - x;5 - y;3 - z} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CM} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {CM} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {MC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 = 4 - x\\ - 3 = 5 - y\\1 = 3 - z\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 8\\z = 2\end{array} \right.\).
Vậy tung độ của điểm M là 8.
Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow i - 3\overrightarrow j + 4\overrightarrow k \). Gọi H(x; y; z) là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (Oxy). Tính giá trị của biểu thức T = x + y + z?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: −2
Ta có: \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow i - 3\overrightarrow j + 4\overrightarrow k \) do đó M(1; −3; 4).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (Oxy) nên H có toạ độ là (1; −3; 0). Do đó x = 1, y = −3, z = 0.
Vậy T = x + y + z = 1 + (−3) + 0 = −2.
