Bài tập Hàm số và đồ thị có đáp án
21 câu hỏi
Làm thế nào để mô tả được mối liên hệ giữa thời gian t và quãng đường đi được S của vật rơi tự do? Làm thế nào để có được hình ảnh hình học minh họa mối liên hệ giữa hai đại lượng đó?
Công thức tính quãng đường S (m) của vật rơi tự do theo thời gian t (s) là: S = 12gt2, trong đó g là gia tốc rơi tự do, g ≈ 9,8 m/s2.
Trong bài toán ở phần mở đầu, ta đã biết công thức tính quãng đường đi được S (m) của vật rơi tự do theo thời gian t(s) là:
S = 12gt2, trong đó g là gia tốc rơi tự do, g ≈ 9,8 m/s2.
a) Với mỗi giá trị t = 1, t = 2, tính giá trị tương ứng của S.
b) Với mỗi giá trị của t có bao nhiêu giá trị tương ứng của S?
Ta có g ≈ 9,8 m/s2 nên S = 12gt2 = 12.9,8t2=4,9t2 1.
a) Với t = 1, thay vào (1) ta có: S = 4,9 . 12 = 4,9 (m).
Với t = 2, thay vào (1) ta có: S = 4,9 . 22 = 19,6 (m).
Vậy t = 1 s thì S = 4,9 m, t = 2 s thì S = 19,6 m.
b) Với mỗi giá trị của t, có một giá trị tương ứng của S.
Để xây dựng phương án kinh doanh cho một loại sản phẩm, doanh nghiệp tính toán lợi nhuận y (đồng) theo công thức sau: y = – 200x2 + 92 000x – 8 400 000, trong đó x là số sản phẩm loại đó được bán ra.
a) Với mỗi giá trị x = 100, x = 200, tính giá trị tương ứng của y.
b) Với mỗi giá trị của x có bao nhiêu giá trị tương ứng của y?
a) Ta có: y = – 200x2 + 92 000x – 8 400 000 (1)
Thay x = 100 vào (1) ta được: y = – 200 . 1002 + 92 000 . 100 – 8 400 000 = – 1 200 000
Thay x = 200 vào (1) ta được: y = – 200 . 2002 + 92 000 . 200 – 8 400 000 = 2 000 000.
Vậy x = 100 thì y = – 1 200 000 và x = 200 thì y = 2 000 000.
b) Với mỗi giá trị của x, có một giá trị tương ứng của y.
Trong y học một người cân nặng 60kg chạy với tốc độ 6,5 km /h thì lượng ca-lo tiêu thụ được tính theo công thức: c = 4,7t (Nguồn: https://icarre.vn), trong đó thời gian t được tính theo phút. Hỏi c có phải là hàm số của t không? Vì sao?
Ta có c là hàm số của t vì mỗi giá trị của t chỉ cho đúng một giá trị của c.
Cho hai hàm số y = 2x + 1 (1) và y=x−2 (2).
a) Nêu biểu thức xác định mỗi hàm số trên.
b) Tìm x sao cho mỗi biểu thức trên có nghĩa.
a) Biểu thức xác định hàm số (1) là 2x + 1.
Biểu thức xác định hàm số (2) là x−2.
b) Biểu thức 2x + 1 có nghĩa với mọi x∈ℝ.
Biểu thức x−2 có nghĩa khi x – 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2.
Tìm tập xác định của hàm số: y=x+2x−3.
Hàm số y=x+2x−3 xác định khi biểu thức x+2x−3 có nghĩa
⇔ x+2≥0x−3≠0⇔x≥−2x≠3.
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = {x∈ℝ|x ≥ – 2, x ≠ 3} = −2;+∞\3.
Cho hàm số: y=−x nê'u x<0 x nê'u x>0.
a) Tìm tập xác định của hàm số trên.
b) Tính giá trị của hàm số khi x = – 1; x = 2 022.
a) Hàm số có nghĩa khi x < 0, x > 0 nên tập xác định của hàm số là D = ℝ\0.
b) Với x = – 1 < 0, thay vào hàm số ta được: y = – x = – (– 1) = 1.
Với x = 2 022 > 0, thay vào hàm số ta được: y = x = 2 022.
Vậy giá trị của hàm số đã cho tại x = – 1 là 1, tại x = 2 022 là 2 022.
Xét hàm số y = f(x) = x2.
a) Tính các giá trị y1 = f(x1), y2 = f(x2) tương ứng với giá trị x1 = – 1, x2 = 1.
b) Biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ Oxy các điểm M1(x1; y1), M2(x2; y2).
a) Ta có: y1 = f(x1) = f(– 1) = (– 1)2 = 1.
Và y2 = f(x2) = f(1) = 12 = 1.
b) Ta có các điểm: M1(– 1; 1), M2(1; 1). Ta biểu diễn lên mặt phẳng tọa độ Oxy như sau:
Cho hàm số y=1x và ba điểm M(– 1; – 1), N(0; 2), P(2; 1). Điểm nào thuộc đồ thị hàm số trên? Điểm nào không thuộc đồ thị hàm số trên?
Hàm số y=1x có nghĩa khi x ≠ 0.
+ Điểm M(– 1; – 1)
Khi x = – 1 thì y = 1−1=–1.
Vậy điểm M thuộc đồ thị hàm số y = 1x.
+ Điểm N(0; 2)
Khi x = 0 thì hàm số không có nghĩa nên điểm N không thuộc đồ thị hàm số y=1x.
+ Điểm P(2; 1)
Khi x = 2 thì y=12≠1 nên điểm P không thuộc đồ thị hàm số y=1x.
Dựa vào Hình 4, xác định g(– 2), g(0), g(2).
Ta có: g(– 2) là giá trị của hàm số tại x = – 2, g(0) là giá trị của hàm số tại x = 0, g(2) là giá trị của hàm số tại x = 2.
Tại các điểm x = – 2, x = 0, x = 2 ta dóng lên đồ thị như sau:
Quan sát đồ thị ta thấy, g(– 2) = – 1, g(0) = 0, g(2) = – 1.
Cho hàm số f(x) = x + 1.
a) So sánh f(1) và f(2).
b) Chứng minh rằng nếu x1,x2∈ℝ sao cho x1 < x2 thì f(x1) < f(x2).
a) Ta có: f(x) = x + 1.
Khi đó: f(1) = 1 + 1 = 2, f(2) = 2 + 1 = 3
Vì 2 < 3 nên f(1) < f(2).
b) Ta có: f(x1) = x1 + 1, f(x2) = x2 + 1
Vì x1 < x2 nên x1 + 1 < x2 + 1
Do đó: f(x1) < f(x2) với mọi x1,x2∈ℝ.
Chứng tỏ rằng hàm số y = 6x2 nghịch biến trên khoảng (– ∞; 0).
Hàm số y = 6x2 có nghĩa với mọi x.
Xét hai số bất kì x1, x2 ∈ (– ∞; 0) sao cho x1 < x2.
Ta có x1 < x2 < 0 nên x12>x22⇔6x12>6x22 hay f(x1) > f(x2).
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (– ∞; 0).
Cho đồ thị hàm số: y = f(x) = x2 như Hình 6.
a) So sánh f(– 2), f(– 1). Nêu nhận xét về sự biến thiên của giá trị hàm số khi giá trị biến x tăng dần từ – 2 đến – 1.
b) So sánh f(1), f(2). Nêu nhận xét về sự biến thiên của giá trị hàm số khi giá trị biến x tăng dần từ 1 đến 2.
a) Quan sát đồ thị hàm số ta thấy: f(– 2) = 4, f(– 1) = 1.
Vì 4 > 1 nên f(– 2) > f(– 1).
Khi giá trị biến x tăng dần từ – 2 đến – 1 thì giá trị của hàm số giảm dần từ 4 xuống 1.
b) Quan sát đồ thị hàm số ta thấy: f(1) = 1, f(2) = 4.
Vì 1 < 4 nên f(1) < f(2).
Khi giá trị biến x tăng dần từ 1 đến 2 thì giá trị của hàm số tăng dần từ 1 lên 4.
Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:
a) y = – x2;
b) y=2−3x;
c) y=4x+1;
d) y=1 nê'u x∈ℚ0 nê'u x∈ℝ\ℚ.
a) y = – x2
Biểu thức – x2 có nghĩa với mọi số thực x.
Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ.
b) y=2−3x
Biểu thức 2−3x có nghĩa khi 2 – 3x ≥ 0 ⇔x≤23.
Vậy tập xác định của hàm số là D = {x ∈ℝ| x≤23} = −∞;23.
c) y=4x+1
Biểu thức 4x+1 xác định khi x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ – 1.
Vậy tập xác định của hàm số là D = {x∈ℝ| x ≠ – 1} = ℝ\−1.
d) y=1 nê'u x∈ℚ0 nê'u x∈ℝ\ℚ
Hàm số có nghĩa khi x∈ℚ và x∈ℝ\ℚ, mà ℚ∪ℝ\ℚ=ℝ.
Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ.
Bảng 1 dưới đây cho biết chỉ số PM2,5 (bụi mịn) ở Thành phố Hà Nội từ tháng 1 đến tháng 12 của năm 2019.
a) Nêu chỉ số PM2,5 trong tháng 2; tháng 5; tháng 10.
b) Chỉ số PM2,5 có phải là hàm số của tháng không? Tại sao?
a) Quan sát bảng ta thấy chỉ số PM2,5 trong tháng 2 là 36,0 μg/m3 ; trong tháng 5 là 45,8 μg/m3; trong tháng 10 là 43,2 μg/m3.
b) Chỉ số PM2,5 là hàm số của tháng vì mỗi tháng chỉ tương ứng với đúng một giá trị của chỉ số PM2,5.
Theo quyết định số 2019/QĐ-BĐVN ngày 01/11/2018 của Tổng công ty Bưu điện Việt Nam, giá cước dịch vụ Bưu chính phổ cập đối với dịch vụ thư cơ bản và bưu thiếp trong nước có khối lượng đến 250 g như trong bảng sau:
a) Số tiền dịch vụ thư cơ bản phải trả y (đồng) có là hàm số của khối lượng thư cơ bản x (g) hay không? Nếu đúng, hãy xác định những công thức tính y.
b) Tính số tiền phải trả khi bạn Dương gửi thư có khối lượng 150g, 200g.
a) Số tiền dịch vụ thư cơ bản phải trả y là hàm số của x vì với mỗi giá trị của x (chính là khối lượng của thư) có đúng một giá trị của y (mức cước hay số tiền phải trả) tương ứng.
Quan sát bảng ta thấy:
+ Nếu khối lượng thư đến 20 g hay 0 < x ≤ 20 thì mức cước phải trả là 4 000 đồng hay y = 4 000.
+ Nếu khối lượng thư trên 20 g đến 100 g hay 20 < x ≤ 100 thì mức cước là 6 000 đồng hay y = 6 000.
+ Nếu khối lượng thư trên 100 g đến 250 g hay 100 < x ≤ 250 thì mức cước là 8 000 đồng hay y = 8 000.
Vậy ta có công thức xác định y như sau: y=4 000 nê'u 0<x≤206 000 nê'u 20<x≤1008 000 nê'u 100<x≤250 .
b) Vì 100 < 150 < 250 và 100 < 200 < 250 nên bức thư có khối lượng 150 g thì cần trả cước là 8 000 đồng và bức thư có khối lượng 200 g cũng cần trả cước là 8 000 đồng.
Vậy tổng số tiền phải trả khi bạn Dương gửi thư có khối lượng 150 g, 200 g là:
8 000 + 8 000 = 16 000 (đồng).
Cho hàm số y = – 2x2.
a) Điểm nào trong các điểm có tọa độ (– 1; – 2), (0; 0), (0; 1), (2 021; 1) thuộc đồ thị hàm số trên?
b) Tìm những điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt bằng – 2; 3 và 10.
c) Tìm những điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng – 18.
a) Ta có: y = – 2x2.
Với x = – 1 thì y = (– 2) . (– 1)2 = – 2.
Với x = 0 thì y = (– 2) . 02 = 0 ≠ 1.
Với x = 2 021 thì y = (– 2) . 20212 ≠ 1.
Vậy trong các điểm đã cho có điểm (– 1; – 2) và (0; 0) thuộc đồ thị hàm số y = – 2x2.
b) Điểm có hoành độ bằng – 2 hay x = – 2 thì tung độ y = (– 2) . (– 2)2 = – 8.
Điểm có hoành độ bằng 3 hay x = 3 thì tung độ y = (– 2) . 32 = – 18.
Điểm có hoành độ bằng 10 hay x = 10 thì tung độ y = (– 2) . 102 = – 200.
Vậy các điểm cần tìm có tọa độ là (– 2; – 8), (3; – 18) và (10; – 200).
c) Điểm có tung độ bằng – 18 hay y = – 18.
Khi đó: – 2x2 = – 18 ⇔ x2 = 9 ⇔ x = ± 3.
Vậy các điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng – 18 là (3; – 18) và (– 3; – 18).
Cho đồ thị hàm số y = f(x) như Hình 8.
a) Trong các điểm có tọa độ (1; – 2), (0; 0), (2; – 1), điểm nào thuộc đồ thị hàm số? Điểm nào không thuộc đồ thị hàm số?
b) Xác định f(0); f(3).
c) Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng 0.
a) Xác định các điểm A(1; – 2), O(0; 0) và B(2; – 1) lên mặt phẳng tọa độ ở Hình 8:
Quan sát Hình ta thấy:
+ Đồ thị hàm số không đi qua điểm O(0; 0) nên điểm O(0; 0) không thuộc đồ thị hàm số y = f(x).
+ Đồ thị hàm số đi qua hai điểm A, B nên hai điểm A(1; – 2) và B(2; – 1) thuộc đồ thị hàm số y = f(x).
b) Ta có f(0) là giá trị của hàm số tại x = 0, mà theo đồ thị ta thấy x = 0 thì y = – 1 (do điểm có tọa độ (0; – 1) thuộc đồ thị hàm số) nên f(0) = – 1.
Lại có f(3) là giá trị của hàm số tại x = 3, quan sát đồ thị ta thấy x = 3 thì y = 0 (do điểm có tọa độ (3; 0) thuộc đồ thị hàm số) nên f(3) = 0.
Vậy f(0) = – 1; f(3) = 0.
c) Điểm thuộc đồ thị có tung độ bằng 0 hay y = 0 chính là điểm có tọa độ (3; 0).
Cho hàm số y=1x. Chứng tỏ hàm số đã cho:
a) Nghịch biến trên khoảng (0; + ∞);
b) Nghịch biến trên khoảng (– ∞; 0).
Ta có: y=fx=1x.
Tập xác định của hàm số đã cho: D = ℝ\0.
a) Lấy hai giá trị x1, x2 tùy ý thuộc khoảng (0; + ∞) sao cho 0 < x1 < x2.
Khi đó 1x1>1x2 hay f(x1) > f(x2).
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; + ∞).
b) Lấy hai giá trị x1, x2 tùy ý thuộc khoảng (– ∞; 0) sao cho x1 < x2 < 0.
Khi đó 1x1>1x2 hay f(x1) > f(x2).
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (– ∞; 0).
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như Hình 9.
Chỉ ra khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của hàm số y = f(x).
Quan sát đồ thị hàm số y = f(x) ở Hình 9, ta thấy:
+ Đồ thị hàm số “đi lên” (theo chiều từ trái qua phải) trong các khoảng (– 3; – 1) và (– 1; 0) nên hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (– 3; – 1) và (– 1; 0).
+ Đồ thị hàm số “đi xuống” (theo chiều từ trái qua phải) trong khoảng (0; 2) nên hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; 2).
Một lớp muốn thuê một chiếc xe khách cho chuyến tham quan với tổng đoạn đường cần di chuyển trong khoảng từ 550 km đến 600 km, có hai công ty được tiếp cận để tham khảo giá.
Công ty A có giá khởi đầu là 3,75 triệu đồng cộng thêm 5 000 đồng cho mỗi ki-lô-mét chạy xe.
Công ty B có giá khởi đầu là 2,5 triệu đồng cộng thêm 7 500 đồng cho mỗi ki-lô-mét chạy xe. Lớp đó nên chọn công ty nào để chi phí là thấp nhất?
Ta có: 3,75 triệu đồng = 3 750 000 đồng; 2,5 triệu đồng = 2 500 000 đồng.
Gọi x (km) là tổng đoạn đường cần di chuyển của lớp.
Theo bài ra ta có: 550 ≤ x ≤ 600.
Giả sử y (đồng) là số tiền phải trả để thuê xe.
Khi đó đối với từng xe của mỗi công ty, ứng với mỗi giá trị của x có đúng một giá trị của y nên y là hàm số của x.
Đối với công ty A, ta có số tiền cần trả được biểu diễn theo hàm số:
yA = 3 750 000 + 5000x
Đối với công ty B, ta có số tiền cần trả được biểu diễn theo hàm số:
yB = 2 500 000 + 7500x
Ta cần so sánh yA và yB với điều kiện của x là 550 ≤ x ≤ 600 để chọn ra công ty có chi phí thấp nhất.
Ta có: yA = 3 750 000 + 5000x = (2 500 000 + 5000x) + 1 250 000
yB = 2 500 000 + 7500x = (2 500 000 + 5000x) + 2500x
Do 550 ≤ x ≤ 600 ⇔ 550 . 2500 ≤ 2500x ≤ 600 . 2500
⇔ 1 375 000 ≤ 2500x ≤ 1 500 000
Mà 1 250 000 < 1 375 000
Do đó (2 500 000 + 5000x) + 1 250 000 < (2 500 000 + 5000x) + 2500x
Hay yA < yB với 550 ≤ x ≤ 600.
Vậy để chi phí là thấp nhất thì lớp đó nên chọn xe của công ty A.
