20 câu Trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 1. Hàm số và đồ thị (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
Tập xác định của hàm số \[y = \frac{{x - 3}}{{2x - 2}}\] là
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
\(\left( {1; + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: A
Điều kiện xác định: \[2x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1\].
Nên tập xác định của hàm số là \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\].
Hàm số nào sau đây có tập xác định là \(\mathbb{R}\)?
\(y = \frac{{2\sqrt x }}{{{x^2} + 4}}\).
\(y = {x^2} - \sqrt {{x^2} + 1} - 3\).
\(y = \frac{{3x}}{{{x^2} - 4}}\).
\(y = {x^2} - 2\sqrt {x - 1} - 3\).
Đáp án đúng là: B
\(y = \frac{{2\sqrt x }}{{{x^2} + 4}}\) có tập xác định là \(\left( {0;\,\, + \infty } \right)\).
\(y = \frac{{3x}}{{{x^2} - 4}}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2;\,\,2} \right\}\).
\(y = {x^2} - 2\sqrt {x - 1} - 3\) có tập xác định là \(\left[ {1;\,\, + \infty } \right)\).
Với giá trị nào của \(m\) thì hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} - 2x - 3 - m}}\) xác định trên \(\mathbb{R}\).
\(m \le - 4\).
\(m < - 4\).
\(m > 0\).
\(m < 4\).
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} - 2x - 3 - m}}\) xác định trên \(\mathbb{R}\) khi phương trình \({x^2} - 2x - 3 - m = 0\) vô nghiệm hay \(\Delta ' = m + 4 < 0 \Leftrightarrow m < - 4\).
Xét sự biến thiên của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{3}{x}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Hàm số vừa đồng biến, vừa nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Hàm số không đồng biến, không nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: A
\(\begin{array}{l}\forall {x_1},\,{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right):\,{x_1} \ne {x_2}\\f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = \frac{3}{{{x_2}}} - \frac{3}{{{x_1}}} = \frac{{ - 3\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{{x_2}{x_1}}} \Rightarrow \frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = - \frac{3}{{{x_2}{x_1}}} < 0\end{array}\)
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x + 2\). Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số đã cho?
\(\left( { - 2;0} \right)\).
\(\left( {1;1} \right)\).
\(\left( { - 2; - 12} \right)\).
\(\left( {1; - 1} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Thay tọa độ điểm vào hàm số ta thấy chỉ có điểm \(\left( { - 2;0} \right)\) thỏa mãn.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 3;0} \right)\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Quan sát trên đồ thị ta thấy đồ thị hàm số đi lên trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\). Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\).
Cho hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l}2x - 1{\rm{ khi }}x \ge 1\\1{\rm{ khi }}0 < x < 1\\1 - 2x{\rm{ khi }}x \le {\rm{0}}\end{array} \right.\). Giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left[ { - 2;2} \right]\) là:
2.
4.
5.
7.
Đáp án đúng là: C
Trên \(\left[ {1;2} \right]\) hàm số \(y = 2x - 1{\rm{ }}\)đồng biến nên giá trị lớn nhất bằng \(y\left( 2 \right) = 3\).
Trên \(\left( {0;1} \right)\) hàm số \(y = 1{\rm{ }}\) nên giá trị lớn nhất bằng \(y = 1\).
Trên \(\left[ { - 2;0} \right]\) hàm số \(y = 1 - 2x\) nghịch biến nên giá trị lớn nhất bằng \(y\left( { - 2} \right) = 5\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left[ { - 2;2} \right]\) là \(y\left( { - 2} \right) = 5\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + {\left( {x - 3} \right)^2}\).
0.
\(\frac{9}{2}\).
\(\frac{{ - 9}}{2}\).
\(\frac{3}{2}\).
Đáp án đúng là: B
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
+ \(\forall x \in \mathbb{R}:f\left( x \right) = 2{x^2} - 6x + 9 = 2\left( {{x^2} - 3x + \frac{9}{4}} \right) + \frac{9}{2} = 2{\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{9}{2} \ge \frac{9}{2}\).
+ \(f\left( x \right) = \frac{9}{2} \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\).
Vậy \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = \frac{9}{2}\).
Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 6 cm. Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ. Tìm tổng \(x + y\) để diện tích hình thang\[EFGH\] đạt giá trị nhỏ nhất.
![Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 6 cm. Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ. Tìm tổng \(x + y\) để diện tích hình thang\[EFGH\] đạt giá trị nhỏ nhất. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1753790873/1753790942-image2.png)
\[x + y = \frac{{7\sqrt 2 }}{2}\].
\[x + y = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\].
\[x + y = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\].
\[x + y = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\].
Đáp án đúng là: A
Ta có \[{S_{EFGH}}\] nhỏ nhất \[ \Leftrightarrow \]\[S = {S_{AEH}} + {S_{FCG}} + {S_{GDH}}\] lớn nhất.
Ta có \[2S = 2x + 3y + (6 - x)(6 - y) = xy - 4x - 3y + 36\] (1).
Mặt khác: \[\Delta AEH\] đồng dạng \[\Delta CGF\]nên \[\frac{{AE}}{{CG}} = \frac{{AH}}{{CF}}\] \[ \Rightarrow \] \[xy = 6\] (2).
Từ (1) và (2) suy ra \[2S = 42 - \left( {4x + \frac{{18}}{x}} \right)\].
Ta có: \[2{S_{max}}\]\[ \Leftrightarrow \] \[{\left( {4x + \frac{{18}}{x}} \right)_{min}}\]
Biểu thức \[{\left( {4x + \frac{{18}}{x}} \right)_{min}}\] \[ \Leftrightarrow \] \[4x = \frac{{18}}{x}\] \[ \Rightarrow \] \[x = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\] \[ \Rightarrow \] \[y = 2\sqrt 2 \].
Vậy \[x + y = \frac{{7\sqrt 2 }}{2}\].
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( {x + \frac{1}{x}} \right) = {x^3} + \frac{1}{{{x^3}}}\forall x \ne 0\). Tính \(f\left( 3 \right)\).
\(f\left( 3 \right) = 36\).
\(f\left( 3 \right) = 18\).
\(f\left( 3 \right) = 29\).
\(f\left( 3 \right) = 25\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(f\left( {x + \frac{1}{x}} \right) = {x^3} + \frac{1}{{{x^3}}}\)\( = {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^3} - 3\left( {x + \frac{1}{x}} \right)\).
Do đó \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x\).
Vậy \(f\left( 3 \right) = {3^3} - 3 \cdot 3 = 18\).
Một công ty dịch vụ cho thuê xe hơi vào dịp
Tết với giá thuê mỗi chiếc xe hơi như sau: khách thuê tối thiểu phải thuê trọn ba ngày Tết (mùng \(1,2,3\)) với giá 1 triệu đồng/ngày; những ngày còn lại (nếu khách còn thuê) sẽ được tính giá thuê là 700 000 đồng/ngày. Giả sử \(T\) là tổng số tiền mà khách phải trả khi thuê một chiếc xe hơi của công ty và \(x\) là số ngày thuê của khách.
a) Hàm số \(T\) theo \(x\) là \(T = 900\,000 + 700\,000x\).
b) Điều kiện của \(x\) là \(x \in \mathbb{N}\).
c) Một khách hàng thuê một chiếc xe hơi công ty trong 7 ngày tết thì sẽ trả khoản tiền thuê là \(5\,800\,000\)(đồng).
d) Anh Bình định dành ra một khoản tối đa là 10 triệu đồng cho phí thuê xe đi chơi trong dịp tết, khi đó anh Bình có thể thuê xe của công ty trên tối đa 12 ngày.
Lời giải
a) Đúng. Ta có \(T = 3\,000\,000 + 700\,000\left( {x - 3} \right) = 900\,000 + 700\,000x\) (đồng) với điều kiện \(x \ge 3,x \in \mathbb{N}\).
b) Sai.
c) Đúng. Với \(x = 7\) thì \(T = 900\,000 + 700\,000 \cdot 7 = 5\,800\,000\) (đồng).
d) Sai. Xét bất phương trình
\[900\,000 + 700\,000x \le 10\,000\,000 \Leftrightarrow 9 + 7x \le 100 \Leftrightarrow x \le \frac{{91}}{7} = 13.\]
Vậy với khoản tiền 10 triệu đồng, anh Bình có thể thuê một chiếc xe tối đa 13 ngày.
Cho biểu đồ ước tính dân số Việt Nam qua một số thập niên như sau:
Nếu coi \(x\) là năm và \(y\) là số dân Việt Nam thì \(x\) là biến số và \(y\) là hàm số của \(x\).
a) Tập xác định của hàm số là \(D = \left\{ {1979;1989;1999;2009;2019} \right\}\).
b) Tập giá trị của hàm số là \(T = \left\{ {10;20;...;100} \right\}\).
c) Hàm số đồng biến trên tập xác định.
d) Trong khoảng thời gian từ 1989 đến 1999 dân số Việt Nam tăng nhanh nhất.
Lời giải
a) Đúng. Tập xác định của hàm số là \(D = \left\{ {1979;1989;1999;2009;2019} \right\}\).
b) Sai. Tập giá trị của hàm số là \(T = \left\{ {53;67;79;87;97} \right\}\).
c) Đúng. Quan sát biểu đồ ta thấy khi x tăng thì giá trị y tăng nên hàm số đồng biến trên tập xác định.
d) Sai.
Trong khoảng thời gian từ 1979 đến 1989 dân số Việt Nam tăng \(67 - 53 = 14\).
Trong khoảng thời gian từ 1989 đến 1999 dân số Việt Nam tăng \(79 - 67 = 12\).
Trong khoảng thời gian từ 1999 đến 2009 dân số Việt Nam tăng \(87 - 79 = 8\).
Trong khoảng thời gian từ 2009 đến 2019 dân số Việt Nam tăng \(97 - 87 = 10\).
Vậy trong khoảng thời gian từ 1979 đến 1989 dân số Việt Nam tăng nhanh nhất.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} \).
a) Hàm số có tập xác định là \(D = \left[ { - 1; + \infty } \right)\).
b) Điểm \(M\left( {0;1} \right)\) thuộc đồ thị hàm số.
c) \(f\left( 1 \right) + f\left( 3 \right) = 5\).
d) Hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Lời giải
a) Đúng. Hàm số xác định khi \(x + 1 \ge 0\), tức là \(x \ge - 1\).
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left[ { - 1; + \infty } \right)\).
b) Đúng. Vì \(0 \in D\) và \(1 = \sqrt {0 + 1} \) nên \(M\left( {0;1} \right)\) thuộc đồ thị hàm số.
c) Sai. Vì \(f\left( 1 \right) + f\left( 3 \right) = \sqrt 2 + 2 \ne 5\).
d) Sai. Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} \) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(\forall {x_1},{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right)\), \({x_1} < {x_2},\) ta có:
\(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \sqrt {{x_1} + 1} - \sqrt {{x_2} + 1} = \frac{{{x_1} + 1 - \left( {{x_2} + 1} \right)}}{{\sqrt {{x_1} + 1} + \sqrt {{x_2} + 1} }} = \frac{{{x_1} - {x_2}}}{{\sqrt {{x_1} + 1} + \sqrt {{x_2} + 1} }} < 0\).
Suy ra \(f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\).
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {x - 1} \,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x > 2}\\{c\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x = 2}\\{1 - {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x < 2}\end{array}} \right.\).
a) \(f\left( 0 \right) = 1\).
b) Hàm số có tập xác định là \(D = \left[ {{\rm{1; + }}\infty } \right)\).
c) Biết \(f\left( 2 \right) + f\left( 1 \right) = 1\), khi đó \(c = 1\).
d) Với \(t = x + 1\) thì với \(t < 3,f\left( t \right) = - {t^2} + 2t\).
Lời giải
a) Đúng. Vì \(x = 0 < 2\) nên \(f\left( 0 \right) = 1 - {0^2} = 1\).
b) Sai. Với \(x > 2\), ta có điều kiện hàm \(y = \sqrt {x - 1} \) là \(x \ge 1\).
Điều này luôn được thỏa mãn với mọi \(x > 2\).
Nên tập xác định trong trường hợp này là \(\mathbb{R}\).
c) Đúng. \(f\left( 2 \right) + f\left( 1 \right) = 1 \Leftrightarrow c + 0 = 1 \Leftrightarrow c = 1\).
Khi đó ta có hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {x - 1} \,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x > 2}\\{1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x = 2}\\{1 - {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x < 2}\end{array}} \right.\).
d) Đúng. Ta có \(t = x + 1 \Rightarrow x = t - 1\).
Khi \(x < 2 \Rightarrow t = x + 1 < 3\). Vậy \(t < 3\) nên ta có \(f\left( t \right) = 1 - {\left( {t - 1} \right)^2} = - {t^2} + 2t\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x < - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\, - 1 \le x \le 3}\end{array}} \right.\).
a) \(f\left( 0 \right) = 2\).
b) Tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ;3} \right]\).
c) Hàm số đồng biến trong khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\).
d) Tổng các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = \frac{1}{4}\) là \( - \frac{7}{4}\).
Lời giải
a) Sai. Vì \( - 1 < 0 < 3\) nên \(f\left( 0 \right) = {0^2} = 0\).
b) Đúng. Tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left[ { - 1;3} \right] = \left( { - \infty ;3} \right]\).
c) Sai. Trên \(\left( { - 2; - 1} \right)\), \(f\left( x \right) = x + 2\). Do đó, hàm số đồng biến trên \(\left( { - 2; - 1} \right)\).
Trên \(\left[ { - 1;0} \right)\), \(f\left( x \right) = {x^2}\). Do đó, hàm số nghịch biến trên \(\left[ { - 1;0} \right)\).
d) Đúng. Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = \frac{1}{4}\) là nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}\left( 1 \right)\).
Với \(x < - 1\), phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành: \(x + 2 = \frac{1}{4} \Leftrightarrow x = - \frac{7}{4}\).
Với \( - 1 \le x \le 3\), phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành: \({x^2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{2}}\\{x = - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\).
Do đó, tổng các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = \frac{1}{4}\) là \( - \frac{7}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = - \frac{7}{4}\).
Cho hàm số \(y = \sqrt {\frac{{3x + 5}}{{x - 1}} - 4} \). Biết rằng hàm số có tập xác định là \(\left( {a;b} \right]\). Tính tổng \(a + b\).
Lời giải
Ta có \[y = \sqrt {\frac{{3x + 5}}{{x - 1}} - 4} = \sqrt {\frac{{3x + 5 - 4\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}}} = \sqrt {\frac{{ - x + 9}}{{x - 1}}} .\]
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\\frac{{ - x + 9}}{{x - 1}} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - x + 9 \ge 0\\x - 1 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} - x + 9 \le 0\\x - 1 < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \le 9\\x > 1\end{array} \right.\,\,\left( {TM} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 9\\x < 1\end{array} \right.\,\,\left( L \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x \le 9\).
Suy ra tập xác định của hàm số là \(D = \left( {1;9} \right]\).
Vậy \(a = 1,\,b = 9 \Rightarrow a + b = 10.\)
Đáp án: \(10\).
Cho hàm số \(y = 2x + m - 1\) (\(m\) là tham số thực) có đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\). Biết rằng đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ \(Ox\), \(Oy\) tại hai điểm \(A,B\) thỏa mãn \({S_{\Delta OAB}} = 4\), tính tổng tất các giá trị của tham số \(m\).
Lời giải
Đồ thị hàm số cắt trục \(Ox\) tại điểm \(A\left( {\frac{{1 - m}}{2};0} \right)\), cắt trục \(Oy\) tại điểm \(B\left( {0;m - 1} \right)\).
Tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\) có diện tích là \({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2}\left| {\frac{{1 - m}}{2}} \right|\left| {m - 1} \right| = 4\)
\( \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} = 16\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 5\\m = - 3\end{array} \right.\).
Tổng tất cả các giá trị của \(m\) bằng \(2\).
Đáp án: \(2\).
Cho hàm số sau: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3,\,\,x \le 1\\2m,\,\,x > 1\end{array} \right.\). Tìm tham số m để \(f\left( 0 \right) + f\left( 2 \right) = 2025\).
Lời giải
Ta có \(f\left( 0 \right) = {0^2} - 3 = - 3\); \(f\left( 2 \right) = 2m\).
Theo đề ta có \(f\left( 0 \right) + f\left( 2 \right) = 2025 \Rightarrow - 3 + 2m = 2025 \Leftrightarrow m = 1014\).
Đáp án: 1014.
Một nhân viên bán hàng sẽ nhận được một mức lương cơ bản là 6 triệu đồng mỗi tháng và một khoản hoa hồng là \(5\% \) nếu tổng doanh số trên 10 triệu đồng trong tháng. Ngoài ra, nếu doanh số bán hàng hàng tháng là 20 triệu đồng hoặc nhiều hơn thì nhân viên bán hàng nhận được thêm tiền thưởng là 600 nghìn đồng. Hỏi nhân viên đó sẽ nhận được bao nhiêu tiền lương nếu doanh số trong 1 tháng của nhân viên đó là 45 triệu đồng?
Lời giải
Gọi \(x\) (triệu đồng) là doanh số bán hàng và \(y\) (triệu đồng) là thu nhập tương ứng của nhân viên đó hàng tháng.
Ta có hàm số biểu diễn thu nhập hàng tháng của nhân viên đó theo doanh số bán hàng như sau: \(y = \left\{ \begin{array}{l}6\,{\rm{ khi }}0 \le x \le 10\\6 + 0,05x\,{\rm{ khi }}10 < x < 20\\6,6 + 0,05x\,{\rm{ khi }}x \ge 20\end{array} \right.\).
Khi \(x = 45\) thì \(y = 6,6 + 0,05 \cdot 45 = 8,85\) triệu đồng.
Đáp án: 8,85.
</>
Biết rằng tồn tại \(a \in \mathbb{Z}\) để hàm số \(y = \frac{1}{{x - 4}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {a; + \infty } \right)\). Gọi \({a_0}\) là giá trị nhỏ nhất của \(a\). Tính \(a_0^2 + 2024\).
Lời giải
Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 4}}\) xác định khi \(x - 4 \ne 0\) tức là \(x \ne 4\) nên tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 4 \right\}\).
Lấy \({x_1},\,{x_2}\) là hai số tùy ý cùng thuộc mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;\,4} \right),\,\left( {4;\, + \infty } \right)\) sao cho \({x_1} < {x_2}\) ta có
\(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{{{x_1} - 4}} - \frac{1}{{{x_2} - 4}} = \frac{{{x_2} - {x_1}}}{{\left( {{x_1} - 4} \right)\left( {{x_2} - 4} \right)}}\).
Do \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_2} - {x_1} > 0\).</>
Mặt khác, khi lấy \({x_1}\) và \({x_2}\) cùng nhỏ hơn 4 hoặc cùng lớn hơn 4 , ta đều có \({x_1} - 4\) và \({x_2} - 4\) luôn cùng dấu nên \(\left( {{x_1} - 4} \right)\left( {{x_2} - 4} \right) > 0\) hay \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) > 0 \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\).
Ta kết luận hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;4} \right)\) và \(\left( {4; + \infty } \right)\).
Vậy \({a_0} = 4\) và \(a_0^2 + 2024 = 16 + 2024 = 2040\).
Đáp án: \(2040\).
