Bài tập Góc nội tiếp có đáp án
22 câu hỏi
Muốn xác định tâm của một đường tròn mà chỉ dùng ê ke thì phải làm như thế nào?
Để xác định tâm của một đường tròn mà chỉ dùng ê ke, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Kẻ đường thẳng cắt đường tròn tại A và B.
Bước 2: Qua B, dùng ê ke kẻ đường thẳng vuông góc với AB ở B và cắt đường tròn tại C.
Bước 3: Nối C với A.
Bước 4: Qua A, dùng ê ke kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại A và cắt đường tròn tại D.
Bước 5: Nối B với D. Giao điểm của AC và BD là tâm đường tròn.
Dựng một tam giác vuông, biết cạnh huyền dài 4 cm và một cạnh góc vuông dài 2,5 cm.
Giả sử dựng được tam giác ABC vuông có cạnh huyền BC = 4 cm, cạnh góc vuông AB = 2,5 cm.
Gọi O là trung điểm của BC. Ta có: OB = OC = OA = 2 cm.
Vậy tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính BC có cạnh AB = 2,5 cm.
Cách dựng: Ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Dựng đường tròn bán kính r = 2 cm.
Bước 2: Qua O kẻ đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm B cà C
Bước 3: Dựng đường tròn tâm B, bán kính 2,5 cm và cắt đường tròn (O) tại A1, A2.
Vậy ∆A1BC, ∆A2BC thỏa mãn đề bài.
Cho tam giác ABC. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác tiếp xúc với BC, AC, BA theo thứ tự tại D, E, F. Cho biết BAC^=EDF^. Tính số đo của góc BAC^.
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi H là giao điểm của BM và AN. Chứng minh rằng SH vuông góc với AB.
Ta có AMB^, ANB^ là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên: AMB^=ANB^=900
Do đó, BM⊥AS, AN⊥SB⇒H là trực tâm của tam giác SAB.
Vậy ta được AH⊥AB.
Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm D thuộc đường tròn. Gọi E là điểm đối xứng với A qua D. Gọi K là giao điểm của EB với đường tròn (O) và H là giao điểm của BD và AK.
a) ∆ABE là tam giác gì?
b) Chứng minh rằng EH vuông góc với AB.
c) Chứng minh rằng OD vuông góc với AK.
Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (khác A và B). Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C. Chứng minh rằng ta luôn có: MA2=MB.MC
Ta có CA⊥AB (tính chất của hai tiếp tuyến)
Suy ra ∆ABC vuông tại A.
Mặt khác, AMB^=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên AM là đường cao của tam giác ABC.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có MA2=MB.MC.
Cho ∆ABC có ba góc nhọn. Đường tròn (O) có đường kính BC cắt AB, AC tại D, E. Gọi I là giao điểm của BS và CD.
a) Chứng minh rằng AI⊥BC
b) Chứng minh rằng IAE^=IDE^
c) Cho BAC^=600, chứng minh ∆DOE là tam giác đều.
Cho AB, BC, CA là ba dãy của đường tròn (O). Từ điểm chính giữa M của cung AB vẽ dây MN song song với dây BC. Gọi giao điểm của MN và AC là S. Chứng minh rằng SM = SC và SN = SA.
Cho đường tròn (O) và (O’) bằng nhau, cắt nhau tại A và B. Qua B vẽ một cát tuyến cắt đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh AC = AD.
b) Tìm quỹ tích trung điểm M của CD khi cát tuyến CBD quay quanh B.
a) Từ giả thiết “hai đường tròn (O) và (O’) bằng nhau”, nên hai cung nhỏ AB của chúng bằng nhau, do đó:
b) Ta lần lượt thực hiện:
Phân thuận: với M là trung điểm của CD, suy ra AM⊥CD, vì ∆ACD cân tại A
Vậy điểm M thuộc đường tròn đường kính AB
Phần đảo: Lấy điểm M∈AB và giả sử đường thẳng BM cắt (O) và (O’) theo thứ tự tại C và D, ta cần chứng minh M là trung điểm CD.
Thật vậy, trong ∆ACD cân tại A, ta có: AMB^=900. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn 
, vì tam giác cân đường cao là trung tuyến
Kết luận: quỹ tích các điểm M là đường tròn đường kính AB.
Cho một đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M vẽ một cát tuyến cắt đường tròn ở A và B. Chứng minh rằng tích MA.MB không phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến.
Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB và C là một điểm bên ngoài đường tròn. Nối CA, CB gặp đường tròn theo thứ tự ở M, N. Gọi H là giao điểm của BM và AN.
a) Chứng minh rằng AH⊥AB
b) Cho ACB^=600, chứng minh ∆OMN là tam giác đều.
Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ đường thẳng qua A cắt (O) tại M và (O’) tại N (A nằm giữa M và N). Hỏi MBN là tam giác gì: Tại sao?
Hai đường tròn (O) và (O’) bằng nhau nên AOBO’ là hình thoi.
Do đó AOB^=AO'B^. Theo tính chất của góc nội tiếp, ta có:
Vậy ta được ∆BMN là tam giác cân tại B.
Hai đường tròn (O; R) và (O’; r) cắt nhau tại A và B. Từ A vẽ đường kính AOC và AO’D
a) Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng và AB vuông góc với CD.
b) Biết R≥r và CD = a, hãy tính BC và BD.
Cho tam giác ABC. Hai đường tròn đường kính AB và AC cắt nhau tại một điểm thứ hai là D.
a) Chứng minh rằng ba điểm B, D, C thẳng hàng.
b) Đường thẳng AC cắt đường tròn đường kính AB tại E, đường thẳng AB cắt đường tròn đường kính AC tại F. Chứng minh rằng ba đường thẳng AD, BE, CF cùng đi qua một điểm.
Cho đường tròn (O) và hai dây AB, CD bằng nhau cắt nhau tại M (điểm C nằm trên cung nhỏ AB, điểm B nằm trên cung nhỏ CD)
a) Chứng minh AC = DB
b) Chứng minh ∆MAC=∆MDB
c) Tứ giác ACBD là hình gì? Chứng minh.
Cho nửa đường tròn đường kính AB. Gọi O là điểm chính giữa của nửa đường tròn và M là một điểm bất kì của nửa đường tròn đó. Tia AM cắt đường tròn (O; OA) tại điểm thứ hai là N. Chứng minh rằng MN = MB.
Từ giả thiết ta có ngay AOB^=900, AMB^=900 vì chúng đều là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB.
Mặt khác, ta cũng có OA = OB => B∈O;OA
Do đó, ANB^=AOB^=450
Khi đó, ∆BMN vuông tại M có MNB^=450 nên nó là tam giác vuông cân, suy ra MN = NB
Cho đường tròn (O) và hai dây MA, MB vuông góc với nhau. Gọi I và K lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ MA và MB. Gọi P là giao điểm của AK và BI
a) Chứng minh ba điểm A, O, B thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng P là tâm đường tròn nội tiếp của ∆MAB
c) Giả sử MA = 12 cm, MB = 16 cm, tính bán kính của đường tròn nội tiếp ∆MAB
Vậy bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác MAB bằng 4 cm.
Cho đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm C chạy trên một nửa đường tròn. Vẽ một đường tròn (I) tiếp xúc với đường tròn (O) tại C và tiếp xúc với đường kính AB tại D, đường tròn này cắt CA và CB tại các điểm thứ hai là M và N. Chứng minh rằng:
a) Ba điểm M, I, N thẳng hàng
b) ID⊥MN
c) Đường thẳng CD đi qua điểm cố định
d) Nêu cách dựng đường tròn (I) nói trên.
=> K là điểm chính giữa của cung.
Do đó K cố định. Vậy CD luôn đi qua điểm cố định K
d) Để dựng đường tròn (I), ta thực hiện:
- Dựng OK vuông góc với AB, với K thuộc nửa đường tròn không chứa điểm C.
- Nối CK cắt AB tại D.
- Dựng đường thẳng qua D vuông góc với AB cắt CD tại I.
- Dựng đường tròn (I; ID) đây chính là đường tròn cần dựng.
Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH. Kẻ đường kính AE.
a) Tính ACE^
b) Chứng minh rằng BAH^=OAC^
c) Gọi K là giao điểm của AH với đường tròn (O). Tứ giác BCEK là hình gì?
Từ (1) và (2) ta kết luận BCEK là hình thang cân.
Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc A cắt đường tròn tại M.
a) Chứng minh rằng ∆BMClà tam giác cân.
b) Chứng minh rằng BMC^=ABC^+ACB^
c) Gọi D là giao điểm của AM và BC. Chứng minh rằng AB.AC = AD.AM
Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) và M là một điểm trên cung BC. Trên tia AM lấy điểm D sao cho MD = MB.
a) ∆BMD là hình gì? So sánh hai tam giác ∆BDA và ∆BMC
b) Chứng minh rằng MA = MB + MC.
Cho nửa đường tròn đường kính AB, K là điểm chính giữa cung AB. Vẽ bán kính OC sao cho BOC^=600
a) Gọi M là giao điểm của AC và OK. Chứng minh rằng MO = MC
b) Cho AB = 2R, tính MC theo R.
