Bài tập Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Ta có  $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{7}{x-4}=-\infty$ vì $\left\{\begin{array}{c}\underset{x\to 4^{-}}{\lim }7=7>0\\ \underset{x\to 4^{-}}{\lim }\left(x-4\right)=0\\ x\to 4^{-}\Rightarrow x-4<0\end{array}\right.$.

Đáp án đúng là: C

Ta có  $\underset{x\to 4}{\lim }\frac{3}{\sqrt{x-4}}=+\infty$ vì  $\left\{\begin{array}{c}\underset{x\to 4^{-}}{\lim }3=3>0\\ \underset{x\to 4}{\lim }\sqrt{x-4}=0\\ x\to 4\Rightarrow \sqrt{x-4}>0\end{array}\right.$.

Đáp án đúng là: B

Ta có  $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{x-2}{x-3}=-\infty$ vì  $\left\{\begin{array}{c}\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\left(x-2\right)=1>0\\ \underset{x\to 3^{-}}{\lim }\left(x-3\right)=0\\ x\to 3^{-}\Rightarrow x-3<0\end{array}\right.$.

Đáp án đúng là: C

Đáp án đúng là: B

 $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^2+x}{{\left(x+1\right)}^3}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x\left(x+1\right)}{{\left(x+1\right)}^3}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x}{{\left(x+1\right)}^2}=-\infty$.

Vì  $\left\{\begin{array}{c}\underset{x\to -1}{\lim }x=-1<0\\ \underset{x\to -1}{\lim }{\left(x+1\right)}^2=0\\ x\to -1\Rightarrow {\left(x+1\right)}^2>0\end{array}\right.$.

Đáp án đúng là: B

 $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-1}{x^2}=-\infty$ vì  $\left\{\begin{array}{c}\underset{x\to 0}{\lim }\left(x-1\right)=-1<0\\ \underset{x\to 0}{\lim }{x}^2=0\\ x\to 0\Rightarrow x^2>0\end{array}\right.$

Đáp án đúng là: C

 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2}{\left|x\right|}=+\infty$ vì  $\left\{\begin{array}{c}\underset{x\to 0}{\lim }2=2>0\\ \underset{x\to 0}{\lim }\left|x\right|=0\\ x\to 0\Rightarrow \left|x\right|>0\end{array}\right.$.

Đáp án đúng là: C

 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x+3}{\left|x\right|}=+\infty$ vì  $\left\{\begin{array}{c}\underset{x\to 0}{\lim }\left(x+3\right)=3>0\\ \underset{x\to 0}{\lim }\left|x\right|=0\\ x\to 0\Rightarrow \left|x\right|>0\end{array}\right.$.

Đáp án đúng là: D

 $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{x-3}{\left|x-3\right|}=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{x-3}{3-x}=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\left(-1\right)=-1$.

Đáp án đúng là: C

 $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{x^2-5x+6}{x^2-6x+9}=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{{\left(x-3\right)}^2}=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{x-2}{x-3}=+\infty$ vì  $\left\{\begin{array}{c}\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\left(x-2\right)=1>0\\ \underset{x\to 3^{+}}{\lim }\left(x-3\right)=0\\ x\to 3^{+}\Rightarrow \left(x-3\right)>0\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{3x + 2}}{{x - 3}} = - \infty \)

(vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {3x + 2} \right) = 3 \cdot 3 + 2 = 11 > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {x - 3} \right) = 0\); x – 3 < 0).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{{x^2} - 4}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{x + 2 - 1}}{{{x^2} - 4}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{x + 1}}{{{x^2} - 4}}} \right) = - \infty \)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x + 1} \right) = 3 > 0;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} - 4} \right) = 0\) và x² – 4 < 0 với mọi x $\in$ (-2; 2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {4x - 3} \right) = 1 > 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x - 1} \right) = 0\\x - 1 < 0\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{4x - 3}}{{x - 1}} = - \infty \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

\(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \sqrt {x + 2} = 2 > 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \sqrt {x - 2} = 0\,\,và \,\,\sqrt {x - 2} > 0,\forall x > 2\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = + \infty \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {2x - 1} \right) = 1 > 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 0\\x - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = + \infty \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.              c) Sai.                   d) Sai.

a) Sai. \(f\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 10x + 3}}{{{x^2} - 5x + 6}} = \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {3x - 1} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}\).

b) Đúng. Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {3x - 1} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{3x - 1}}{{x - 2}} = 8\].

c) Sai. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x - 1}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3 - \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{2}{x}}} = 3\].

d) Sai. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{3x - 1}}{{x - 2}} = + \infty \] vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {3x - 1} \right) = 5 > 0;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 2} \right) = 0;\,\,x - 2 > 0\]

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 5} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 5} \left[ {2 \cdot \left( { - 5} \right) + 1} \right] = - 9\).

b) Sai. Ta có:  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2x + 1} \right) = 3\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {{x^2} + a} = \sqrt {1 + a} \).

c) Sai. Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right)}}{{1 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + a} }}{{1 - x}};\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {{x^2} + a} = \sqrt {1 + a} > 0,\forall a > 0\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {1 - x} \right) = 0\) và 1 – x < 0 khi x $\to$ 1⁺

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right)}}{{1 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + a} }}{{1 - x}} = - \infty \).

d) Đúng. Để tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right);\,\,\,f\left( 1 \right) = 3\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2x + 1} \right) = 3;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {{x^2} + a} = \sqrt {1 + a} \)

Suy ra để tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\) thì \(\sqrt {1 + a} = 3 \Leftrightarrow a = 8\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} {\left( {x - 3} \right)^3} = 0\)

b) Sai. Ta có:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} g\left( x \right) = 0,\forall x > 3\).

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{1}{{g\left( x \right)}} = + \infty \).

c) Đúng. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {f\left( x \right) \cdot \frac{1}{{g\left( x \right)}}} \right)\)

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = - 2;\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{1}{{g\left( x \right)}} = + \infty \)

nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {f\left( x \right) \cdot \frac{1}{{g\left( x \right)}}} \right) = - \infty \)

d) Sai. Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left[ {\frac{1}{{f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)}}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left[ {\frac{1}{{f\left( x \right)}} \cdot \frac{1}{{g\left( x \right)}}} \right]\]

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{1}{{f\left( x \right)}} = - \frac{1}{2};\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{1}{{g\left( x \right)}} = + \infty \) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left[ {\frac{1}{{f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)}}} \right]\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left[ {\frac{1}{{f\left( x \right)}} \cdot \frac{1}{{g\left( x \right)}}} \right] = - \infty \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Đúng.               d) Đúng.

a) Đúng. Vì x $\to$ 2⁺ nên x – 2 > 0 Û |x – 2| = x – 2.

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{x}{{x - 2}}\).

b) Sai. Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x - 1} \right) = - 1 < 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2} = 0\\{x^2} > 0\,\,khi\,\,x \to 0\end{array} \right.\, \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x - 1}}{{{x^2}}} = - \infty \).

c) Đúng. Khi x $\to$ 2^- thì |x – 2| =-x + 2

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} x = 2 > 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( { - x + 2} \right) = 0\\ - x + 2 > 0\,\,khi\,\,x \to {2^ - }\end{array} \right.\)nên\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{x}{{\left| {x - 2} \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{x}{{ - x + 2}} = + \infty \)

d) Đúng. Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left[ {\frac{x}{{\left| {x - 2} \right|}} \cdot \frac{{x - 1}}{{{x^2}}}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left[ {\frac{1}{x} \cdot \frac{{x - 1}}{{\left| {x - 2} \right|}}} \right]\)

Lại có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x - 1}}{{\left| {x - 2} \right|}} = - \frac{1}{2}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} = + \infty \) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} \cdot \frac{{x - 1}}{{\left| {x - 2} \right|}} = - \infty \).

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Xét x $\to$ 1^-. Ta có: (x – 1)² > 0, với mọi x ¹ 1.

Khi x $\to$ 1 thì (x – 1)² $\to$ 0⁺. Do đó, \(f\left( x \right) = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) là một số âm có độ lớn ngày càng lớn.

Suy ra \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = - \infty \]

b) Sai. Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = - \infty \].

c) Đúng. Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = - \infty \]. Vậy tồn tại \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = - \infty \].

d) Sai. Khi x đủ gần 1, \(f\left( x \right) = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)< 0, tức f(x) luôn âm. Vậy nên không thể lớn hơn một số dương M > 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3.

Khi x $\to$ 1, thì (x – 1)² $\to$ 0 và (x – 1)² > 0, với mọi x $\ne$ 1.

Để giới hạn của hàm số bằng +$\infty$ thì m + 4 > 0 $\iff$ m > -4.

Do đó, m $\in$ {-3; -2; -1; ...}

Vậy số nguyên nhỏ nhất là m =-3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 6.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{m \cdot f\left( x \right)}}{{20}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{m \cdot \frac{{20}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}}}{{20}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{m}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)

Khi x $\to$ 2, ta có (x – 2)² $\to$ 0 và (x – 2)² > 0 với mọi x $\ne$ 2.

Để giới hạn bằng +$\infty$ thì m > 0.

Do m$\in$ [-3; 3] mà m > 0 và m  $\in$ ℤ thì m {1; 2; 3}. Vậy S = 1 + 2 + 3 = 6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4.

Vì x $\to$ 3⁺ nên (x – 3) > 0. Để \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = - \infty \) thì m – 5 < 0 $\iff$ m < 5.

Mà m < 10 và m < 5 nên giá trị nguyên lớn nhất thỏa mãn là 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 7.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {ax - 5} \right) = - 2a - 5\)

Mặt khác (x + 2)² > 0, "x -2 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {\left( {x + 2} \right)^2} = 0\)

Để\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = - \infty \) thì -2a – 5 < 0 $\Rightarrow$-2a < 5 $\iff$ a > \( - \frac{5}{2}\).

Do đó, m = 5, n = 2 $\Rightarrow$ m + n = 7.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 720.

Ta có: a + b = 2 $\Rightarrow$ b = 2 – a.

Khi đó, \(f\left( x \right) = \frac{{ax + 2 - a}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {ax + 2 - a} \right) = 2a + 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {\left( {x - 3} \right)^2} = 0\\{\left( {x - 3} \right)^2} > 0\,\,khi\,\,x \to 3\end{array} \right.\).

Để \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = + \infty \) thì 2a + 2 > 0 $\iff$ a > -1.

Do a $\in$ [1; 6] mà a > \(-1\) và a $\in$ℤ nên a $\in$ {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Do đó, S = 1.2.3.4.5.6 = 720.