Bài tập Giải phương trình lượng giác lớp 11 cực hay có lời giải (P4)

$\frac{1}{4}{(1-\cos 2x)}^2+\frac{1}{4}{\left[1-\cos (2x+\frac{\pi }{2})\right]}^2+\frac{1}{4}{\left[1-\cos (2x-\frac{\pi }{2})\right]}^2=\frac{5}{4}$

$\iff 1-2\cos 2x+{\cos }^{2}2x+1+2\sin 2x+{\sin }^{2}2x+1-2\sin 2x+{\sin }^{2}2=5$

$\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos 2x-\sin 2x)+\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos 2x+\sin 2x)+4\sin x=2+\sqrt{2}(1-\sin x)$

Vì các nghiệm của phương trình thuộc khoảng $(0; 2\pi )$nên nghiệm của phương trình là 

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có: sin²x – 2( m- 1)sinx. cosx – (m- 1).cos²x = m

Hướng dẫn giải

Chọn B

Đặt t= sinx. Điều kiện $t\in \left[-1; 1\right]$. Phương trình trở thành:

t² + 2(m+1) t – 3m( m- 2)= 0   (1)

  Đặt f(t) = t² + 2(m+ 1) t – 3m( m- 2) .

Phương trình có nghiệm thuộc đoạn [-1; 1] khi  và chỉ khi (1) có một nghiệm thuộc [-1; 1] hoặc có hai nghiệm thuộc [-1; 1]

$\iff {(\sin 2x+\cos 2x)}^3-3{\sin }^{2}x.{\cos }^{2}x({\sin }^{2}x+Co{s}^{2}x)=a\left|\sin 2x\right|$

(1) trở thành 3t² + 4at – 4 = 0  (2).

Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) phải có nghiệm trong đoạn [0; 1].

Xét phương trình (2), ta có:

, nên (2) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

(1) trở thành 4t² – 2t -6 – m = 0  (2); $△\text{'}=25+4m$.

Để (1) vô nghiệm, ta sẽ tìm m sao cho (1) có nghiệm rồi sau đó phủ định lại.

(1) có nghiệm thì (2) phải có nghiệm thoả $t_o\in \left[-1;1\right]$

Nếu , (2) có nghiệm kép nên  thoả (1) có nghiệm.

Nếu , khi đó (2) phải có hai nghiệm phân biệt thoả 

Đặt t= sin2x ( -1< t< 1). Phương trình trở thành: 3t² + 8mt – 4 = 0

Vì ac< 0 nên phương trình (2) luôn có hai nghiệm trái dấu t₂ < 0 < t₁.

Do đó (1) có nghiệm 

Hướng dẫn giải

Chọn B.

TH1: Nếu cosx = 0 ó  sin² x= 1 không thỏa mãn phương trình.

TH2:  chia cả hai vế của phương trình cho cos²x ta được:

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

TH1: Nếu cos 2x  = 0 ó sin²2x = 1 không thỏa mãn phương trình.

TH2:  chia cả hai vế của phương trình cho cos²2x ta được:

Hướng dẫn giải

Chọn C.

TH1: Nếu cosx =0 có sin²x = 1 không thỏa mãn phương trình.

TH2:  chia cả hai vế của phương trình cho cos²x ta được:

+) Xét cosx = 0 $\Rightarrow$ sinx = 1, khi đó phương trình trở thành:

2.1² – 5.1.0 – 0 ² = -2

$\iff$ 2 = - 2 (vô lý)

+) Xét $cosx\ne 0\left(*\right)$, chia cả hai vế của phương trình cho cosx, ta được:

2tan²x – 5tanx – 1 = -2(tan²x + 1)

$\iff$4tan²x – 5tanx + 1 = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}\tan x=1\\ \tan x=\frac{1}{4}\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\arctan \left(\frac{1}{4}\right)+k\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$ (Thoả mãn điều kiện (*))

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: $S=\left\{\frac{\pi }{4}+k\pi ,\arctan \left(\frac{1}{4}\right)+k\pi \left|k\in \mathbb{Z}\right.\right\}$.

Chọn C

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

 không là nghiệm của phương trình

Chia 2 vế phương trình cho cos²x ta được  - 3tanx + tan²x = 2(1+ tan²x)

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

 không là nghiệm của phương trình

Chia 2 vế phương trình cho cos²x ta được

+) Xét cosx = 0 suy ra sinx = 1. Khi đó phương trình trở thành: 3 = 2 (vô lý)

Do đó cosx = 0 không phải là nghiệm của phương trình.

+) Xét cosx $\ne$0, chia cả hai vế của phương trình cho cosx, ta được:

3tan²x – 4tanx + 5 = 2(tan²x + 1)

\( \Leftrightarrow \) tan²x – 4tanx + 3 = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x = 3\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan 3 + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\) (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi ,\arctan 3 + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Chọn B

+) Xét cosx = 0 thì sinx = 1, khi đó phương trình trở thành: 1 = 0 (vô lý)

Do đó cosx = 0 không phải là nghiệm của phương trình.

+) Xét $\text{cos}x\ne 0$, chia cả hai vế của phương trình cho cosx, ta được:

${\tan }^{2}x-\left(\sqrt{3}+1\right)\tan x+\sqrt{3}=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}\tan x=\sqrt{3}\\ \tan x=1\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{3}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{4}+k\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

Vậy họ nghiệm của phương trình đã cho là: $\frac{\pi }{3}+k\pi ,\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

Chọn D.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

TH1: nếu cos4x =0 <=> sin²4x = 1thay vào phương trình thấy không thỏa  mãn phương trình.

TH2:  chia cả hai vế cho cos²4x ta được

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Nhận thấy cos4x = 0 không là nghiệm phương trình, chia hai vế phương trình cho cos4x, ta được phương t:

Xét phương trình: \(2{\cos ^2}x - 3\sqrt 3 \sin 2x - 4{\sin ^2}x =  - 4\)

\( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 6\sqrt 3 \sin xc{\rm{os}}x - 4{\sin ^2}x =  - 4\)(1)

+) TH1: cos x = 0 ⇒ sinx = 1. Khi đó phương trình (1) tương đương:

\( \Leftrightarrow 2.0 - 6\sqrt 3 .0 - 4.1 =  - 4\)

\( \Leftrightarrow  - 4 =  - 4\) (luôn đúng)

Do đó \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) là nghiệm của phương trình.

+) TH2: \[{\rm{cos}}x \ne 0\]. Chia cả hai vế của phương trình (1) cho cosx ta được:

\( \Leftrightarrow 2 - 6\sqrt 3 \tan x - 4ta{n^2}x =  - 4\left( {ta{n^2}x + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow  - 6\sqrt 3 \tan x =  - 6\)

\( \Leftrightarrow \tan x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có tập nghiệm $\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$

Chọn đáp án A.