Bài tập cuối chương 5 lớp 9 (có lời giải)
8 câu hỏi
Cho đường tròn \((O)\) đương kính \(BC\) và điểm \(A\) (khác \(B\) và \(C\) ).
a) Chứng minh rằng nếu \(A\) nằm trên \((O)\) thì \(ABC\) là một tam giáo vuông; ngược lại, nếu \(ABC\) là một tam giác vuông tại \(A\) thì \(A\) nằm trên \((O)\).
b) Giả sử \(A\) là một trong hai giao điểm của đường tròn \((B;BO)\) với đường tròn \((O)\). Tính các góc của tam giác \(ABC\).
c) Với cùng giả thiết câu \({\rm{b}}\), tính độ dài cung \(AC\) và diện tích hình quạt nằm trong \((O)\) giới hạn bởi các bán kính \(OA\) và \(OC\), biết rằng \(BC = 6\;{\rm{cm}}\).
a) A năm trên \((O)\)\( \Rightarrow OA = OB = OC\). Tam giác \(ABC\) có \(O\) là trung điểm đoạn \(BC\) nên \(AO\) là trung tuyến mà \(AO = \frac{1}{2}BC\). Do đó \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\). |
|
Ngược lại tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AO\) là đường trung tuyến
\( \Rightarrow OA = OB = OC\)
Chứng tỏ \(A\) thuộc đường tròn \((O)\).
b) Khi \(A\) là giao điểm của đường tròn ( \({\rm{B}};{\rm{BO}}\) ) với đường tròn \((O)\) Ta có \(OA = OB = AB\) nên tam giác \(ABC\) đều \( \Rightarrow \widehat {\rm{B}} = \widehat {{\rm{AOB}}} = 60^\circ \) \( \Rightarrow \widehat {{\rm{AOC}}} = 180^\circ - \widehat {{\rm{AOB}}}\)(hai góc kề bù) \( = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) |
|
Xét tam giác \(AOC\) cân tại \(O\) có:
\(\widehat {AOC} = 120^\circ (cmt)\)\( \Rightarrow \widehat C = \widehat {OAC} = 30^\circ \)
Xét tam giác \(ABC\) có \(\widehat {BAC} = 180^\circ - (\widehat B + \widehat C) = 180^\circ - \left( {60^\circ + 30^\circ } \right) = 90^\circ \)
Các góc của tam giác \(ABC\) là \(\widehat {BAC} = 90^\circ ,\widehat B = 60^\circ ,\widehat C = 30^\circ \).
c) Khi \(BC = 6\;{\rm{cm}}\) ta có bán kính đường tròn \(\left( O \right)\) là \(3\;{\rm{cm}}\).
Gọi \({l_{{\rm{AC}}}}\) là độ dài cung \(AC\) có \({l_{{\rm{AC}}}} = \frac{{120}}{{180}} \cdot \pi \cdot 3 \approx 6,3(\;{\rm{cm}})\)
Gọi \(S\) là diện tích hình quạt nằm trong \((O)\) giới hạn bởi các bán kính \(OA\) và \(OC\), ta có:
\(S = \frac{{120}}{{360}} \cdot \pi \cdot {3^2} \approx 9,4(\;{\rm{cm}})\)
Cho tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat B = \widehat D = 90^\circ \).
a) Chứng minh bốn điểm \(A,B,C,D\) cùng nằm trên một đường tròn.
b) So sánh độ dài của \(AC\) và \(BD\).
a) Nối \(A\) với \(C\). Gọi \(O\) là trung điểm đoạn \(AC\). Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) (gt) có \(OB\) là đường trung tuyến \( \Rightarrow OB = \frac{1}{2}AC\) hay \(OA = OB = OC\) Do đó ba điểm \(A,B,C\) nằm trên đường tròn \(\left( {O;\frac{{AC}}{2}} \right)\) | |
Chứng minh tương tự \(D\) nằm trên đường tròn \(\left( {O;\frac{{AC}}{2}} \right)\).
b) \(AC > BD\) (\(AC\) là đường kính).
Cho \[AB\] là dây bất kì (không phải là đường kính) của đường tròn \[\left( {0;{\rm{ }}4{\rm{ }}cm} \right)\]. Gọi \[C\] và \[D\] lần lượt là các điểm đối xứng với \[A\] và \[B\] qua tâm \[O\].
a) Hai điểm \[C\] và \[D\] có nằm trên đường tròn \[\left( O \right)\] không? Vì sao?
b) Biết rằng \[ABCD\] là một hình vuông. Tính độ dài cung lớn \[AB\] và diện tích hình quạt tròn tạo bởi hai bán kính \[OA\] và \[OB\].
a) Vì \[C\] đối xứng \[A\] qua tâm \[O\]\[ \Rightarrow OC = OA\].
Chứng minh tương tự \[OD = OB\]
Mà \[OA = OB = 4\,cm\]
⇒ \[OA = OB = OC = OD = 4{\rm{ }}cm\] hay hai điểm \[C\] và \[D\] nằm trên đường tròn \[\left( O \right)\].
b) \[ABCD\] là hình vuông \[AC \bot BD\] tại \[O\] hay số đo cung nhỏ \[AB\] bằng \[{90^0}\].
\[ \Rightarrow \] số đo cung lớn \[AB\] bằng \[{360^0} - {90^0} = {270^0}\].
Ta có độ dài cung lớn \[AB\] là: \[l = \frac{{90}}{{180}} \cdot \pi \cdot 4 = 6,28{\rm{ }}\left( {cm} \right)\]
Gọi \[S\] là diện tích hình quạt tròn tạo bởi hai bán kính \[OA\] và \[OB\]
Ta có \[S = \frac{{90}}{{360}} \cdot \pi \cdot {4^2} = 12,56{\rm{ }}\left( {c{m^2}} \right)\].
Cho hai đường tròn \[\left( {O;{\rm{ }}2{\rm{ }}cm} \right)\] và \[\left( {A;{\rm{ }}2{\rm{ }}cm} \right)\] cắt nhau tại \[C,{\rm{ }}D\], điểm \[A\] nằm trên đường tròn tâm \[O\] (hình vẽ).
a) Vẽ đường tròn \[\left( {C;{\rm{ }}2{\rm{ }}cm} \right)\]
b) Đường tròn \[\left( {C;{\rm{ }}2{\rm{ }}cm} \right)\] có đi qua hai điểm \[O\] và \[A\] không? Vì sao?
a) Xem hình vẽ.
b) Vì \[C \in \left( {O;{\rm{ }}2{\rm{ }}cm} \right)\]\[ \Rightarrow CO = 2{\rm{ }}cm\].
Tương tự \[C \in \left( {A;{\rm{ }}2{\rm{ }}cm} \right)\]\[ \Rightarrow CA = 2{\rm{ }}cm\].
Ta có \[CO = CA = 2{\rm{ }}cm\] nên \[\left( {C;{\rm{ }}2{\rm{ }}cm} \right)\]đi qua hai điểm \[O\] và \[A\].
Cho tam giác vuông \[ABC\] (\[\^A\] vuông). Vẽ hai đường tròn \[\left( {B;{\rm{ }}BA} \right)\] và \[\left( {C;{\rm{ }}CA} \right)\] cắt nhau tại \[A\] và \[A'\]. Chứng minh rằng:
a) \[BA\] và \[BA'\] là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn \[\left( {C;{\rm{ }}CA} \right).\]
b) \[CA\] và \[CA'\] là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn \[\left( {B;{\rm{ }}BA} \right).\]
a) Xét \[\Delta BA'C\] và \[\Delta BAC\] có:
BC (cạnh chung),
BA = BA',
CA = CA'.
Do đó \[\Delta BA'C = \Delta BAC\] (c.c.c)
\[ \Rightarrow \widehat {BA'C} = \widehat {BAC} = {90^0}\] (góc tương ứng) hay \[BA' \bot CA'\]
Chứng tỏ \[BA'\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( {C;{\rm{ }}CA} \right)\]
Lại có \[BA \bot CA\] (gt) nên \[BA\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( {C;{\rm{ }}CA} \right)\]
Do đó \[BA\] và \[BA'\] là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn \[\left( {C;{\rm{ }}CA} \right)\]
b) Chứng minh tương tự \[CA\] và \[CA'\] là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn \[\left( {B;{\rm{ }}BA} \right).\]
Cho hai đường tròn \[\left( O \right)\] và \[\left( {O'} \right)\] cắt nhau tại \[A\] và \[B\]. Một đường thẳng \[d\] đi qua \[A\] cắt \[\left( O \right)\] tại \[E\] và cắt \[\left( {O'} \right)\] tại \[F\] (\[E\] và \[F\] khác \[A\]). Biết điểm \[A\] nằm trong đoạn \[EF\]. Gọi \[I\] và \[K\] lần lượt là trung điểm của \[AE\] và \[AF\] (hình vẽ)
![Do đó \[\Delta BA'C = \Delta BAC\] (c.c.c) (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/04/8-1775580194.png)
a) Chứng minh rằng tứ giác \[OO'KI\] là một hình thang vuông.
b) Chứng minh rằng \[IK = \frac{1}{2}EF\]
c) Khi \[d\] ở vị trí nào (\[d\] vẫn qua \[A\]) thì \[OO'KI\] là một hình chữ nhật?
a) Ta có: \[OE = OA\] nên tam giác \[AOE\] cân tại \[O\] có \[I\] là trung điểm của \[AE\] (gt) nên \[OI\] là đường trung tuyến mà \[\Delta AOE\] cân tại \[O\] (cmt)
\[ \Rightarrow OI\]đồng thời là đường cao hay \[OI \bot AE\]
Chứng minh tương tự, ta có \[O'K \bot AF\] mà \[E,{\rm{ }}A,{\rm{ }}F \in d\] nên OI, OF cùng vuông góc với \[d\] \[ \Rightarrow OI//O'K\]
Do đó tứ giác \[OO'KI\] là hình thang vuông.
b) Ta có: \[IK = IA + AK\] mà \[IA = \frac{1}{2}EA;\,AK = \frac{1}{2}{\rm{AF}}\]
\[ \Rightarrow IK = \frac{1}{2}\left( {EA + {\rm{AF}}} \right) = \frac{1}{2}EF\]
c) \[d\] đi qua \[A\] và \[d//OO'\] thì \[OO'KI\] là hình chữ nhật.
Cho điểm \[B\] nằm giữa hai điểm \[A\] và \[C\], sao cho \[AB = 2{\rm{ }}cm\] và \[BC = 1{\rm{ }}cm\]. Vẽ các đường tròn \[\left( {A;{\rm{ }}1,5{\rm{ }}cm} \right),{\rm{ }}\left( {B;{\rm{ }}3{\rm{ }}cm} \right),{\rm{ }}\left( {C;{\rm{ }}2{\rm{ }}cm} \right)\]. Hãy xác định các cặp đường tròn:
a) Cắt nhau; b) Không giao nhau;
c) Tiếp xúc nhau.
a) * Đường tròn \[\left( {A;{\rm{ }}1,5{\rm{ }}cm} \right)\] và đường tròn \[\left( {B;{\rm{ }}3{\rm{ }}cm} \right)\] cắt nhau.
* Đường tròn \[\left( {A;{\rm{ }}1,5{\rm{ }}cm} \right)\] và đường tròn \[\left( {C;{\rm{ }}2{\rm{ }}cm} \right)\] cắt nhau.
b) Không có.
c) Đường tròn \[\left( {B;{\rm{ }}3{\rm{ }}cm} \right)\] và đường tròn \[\left( {C;{\rm{ }}2{\rm{ }}cm} \right)\] tiếp xúc trong.
Diện tích của phần được tô màu trên hình vẽ là diện tích của \[8\] hình viên phân tạo bởi cung \[AB\] và dây \[AB\] (xem hình vẽ).
Gọi \[S\] là diện tích hình viên phân, ta có: \[S = {S_q} - {S_{AIB}}\]
(\[{S_q}\]: diện tích hình quạt chắn cung AB, \[{S_{AIB}}\] là diện tích hình tam giác vuông cân cạnh \[5{\rm{ }}cm\]).
Ta có: \[{S_q} = \frac{{90}}{{360}} \cdot \pi \cdot {5^2} = \frac{{25}}{4}\pi {\rm{ }}\left( {c{m^2}} \right)\]
\[{S_{AOI}} = \frac{1}{2} \cdot AI \cdot BI = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = \frac{{25}}{2}{\rm{ }}\left( {c{m^2}} \right)\]
Do đó diện tích 1 hình viên phân là:
\[{S_{AIO}} = \frac{{25}}{2}\pi - \frac{{25}}{2} \approx 7,13{\rm{ }}\left( {c{m^2}} \right)\]
Vậy diện tích phần được tô màu là: \[8.7,13 \approx 57{\rm{ }}\left( {c{m^2}} \right)\]
Chu vi phần được tô màu là \[8\] cung \[AB\].
Gọi \[l\] là độ dài cung \[AB\], ta có: \[l = \frac{{90}}{{180}} \cdot \pi \cdot 5 = \frac{5}{2} \cdot \pi \]
