Bài tập Chứng minh bất đẳng thức lớp 9 (có lời giải)
20 câu hỏi
Hướng dẫn giải
a) Ta có: 2023 < 2024.
Cộng hai vế với −19 ta được 2023 + (−19) < 2024 + (−19).
b) Ta có: 4 = 2 + 2 > 2 + \[\sqrt 2 \] nên 4 > 2 + \[\sqrt 2 \].
c) Có −3 < −2 nên cộng hai vế với 2350 ta được −3 + 2350 < −2 + 2350.
Hướng dẫn giải
Ta có: a2 > b2 nên 5a2 > 5b2.
Mà 5b2 > 4b2 nên 5a2 > 4b2.
Hướng dẫn giải
Ta có: m2 < n2 nên nhân cả hai vế với 2 ta được 2m2 < 2n2
Mà 2m2 > \[\frac{3}{2}\]m2 nên \[\frac{3}{2}\]m2 < 2n2
Hướng dẫn giải
Xét hiệu, ta có:
P = x2 + y2 + z2 − xy − yz − zx
2P = 2x2 + 2y2 + 2z2 − 2xy − 2yz − 2xz
2P = (x2 – 2xy + y2) + (y2 – 2yz + z2) + (z2 – 2zx + z2)
2P = (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 ≥ 0
Suy ra P ≥ 0 hay x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx ≥ 0
Vậy x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + xz (đpcm).
Hướng dẫn giải
Xét hiệu (a2 + b2)2 – ab(a + b)2
= a4 + 2a2b2 + b4 – a3b – 2a2b2 – ab3
= a4 + b4 – a3b – ab3
= a3(a – b) + b3 (b – a)
= (a – b)(a3 – b3)
= (a – b)2(a2 + ab + b2) ≥ 0.
Do đó, (a2 + b2)2 – ab(a + b)2 ≥ 0.
Vậy (a2 + b2)2 ≥ ab.(a + b)2.
Hướng dẫn giải
Xét hiệu A = a2 + b2 + 1 – ab – a – b
2A = 2a2 + 2b2 + 2 – 2ab – 2a – 2b
2A = (a2 – 2ab + b2) + (a2 – 2a + 1) + (b2 – 2b + 1)
2A = (a – b)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 ≥ 0
Suy ra A ≥ 0 hay a2 + b2 + 1 – ab – a – b ≥ 0.
Vậy a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b (đpcm).
Hướng dẫn giải
Xét hiệu, ta có: ab(a + b – 2c) + bc(b + c – 2a) + ca(c + a – 2b)
= a2b + ab2 – 2abc + b2c + bc2 – 2abc + ac2 + a2c – 2abc
= a(b2 + c2 – 2bc) + b(c2 + a2 – 2ac) + c(a2 + b2 – 2ab)
= a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2 ≥ 0
Suy ra ab(a + b – 2c) + bc(b + c – 2a) + ca(c + a – 2b) ≥ 0 (đpcm).
Hướng dẫn giải
Xét hiệu, ta có: A = \[\frac{{bc}}{a} + \frac{{ca}}{b} + \frac{{ab}}{c}\] − a – b – c
A = \[\frac{{{{\left( {bc} \right)}^2} + {{\left( {ca} \right)}^2} + {{\left( {ab} \right)}^2} - {a^2}bc - a{b^2}c - ab{c^2}}}{{abc}}\]
2A = \[\frac{{2{{\left( {bc} \right)}^2} + 2{{\left( {ca} \right)}^2} + 2{{\left( {ab} \right)}^2} - 2{a^2}bc - 2a{b^2}c - 2ab{c^2}}}{{abc}}\]
2A = \[\frac{{{{\left( {ab - bc} \right)}^2} + {{\left( {bc - ca} \right)}^2} + {{\left( {ca - ab} \right)}^2}}}{{abc}}\] ≥ 0 với a, b, c là các số thực dương.
Suy ra A ≥ 0 hay \[\frac{{bc}}{a} + \frac{{ca}}{b} + \frac{{ab}}{c}\] − a – b – c ≥ 0.
Vậy \[\frac{{bc}}{a} + \frac{{ca}}{b} + \frac{{ab}}{c} \ge a + b + c\].
Hướng dẫn giải
Xét hiệu \[\frac{3}{5}\] − \[\frac{{2ab}}{{{a^2} + 4{b^2}}} - \frac{{{b^2}}}{{3{a^2} + 2{b^2}}}\]
= \[\frac{2}{5}\] − \[\frac{{2ab}}{{{a^2} + 4{b^2}}}\] + \[\frac{1}{5}\] − \[\frac{{{b^2}}}{{3{a^2} + 2{b^2}}}\]
= \[\frac{{2{a^2} - 10ab + 8{b^2}}}{{5\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)}}\] + \[\frac{{3{a^2} + 2{b^2} - 5{b^2}}}{{5\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right)}}\]
= \[\frac{{2\left( {a - b} \right)\left( {a - 4b} \right)}}{{5\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)}}\]+ \[\frac{{3\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)}}{{5\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right)}}\]
= \[\frac{{2\left( {a - b} \right)\left( {a - 4b} \right)\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right) + 3\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)}}{{5\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right)}}\]
= \[\frac{{\left( {a - b} \right)\left[ {2\left( {a - 4b} \right)\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right) + 3\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)} \right]}}{{5\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right)}}\]
= \[\frac{{\left( {a - b} \right)\left[ {2\left( {a - 4b} \right)\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right) + 3\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)} \right]}}{{5\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right)}}\]
= \[\frac{{\left( {a - b} \right)\left[ {9{a^3} - 21{a^2}b + 16a{b^2} - 4{b^3}} \right]}}{{5\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right)}}\]
= \[\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}{{\left( {3a - 2b} \right)}^2}}}{{5\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)\left( {3{a^2} + 2{b^2}} \right)}}\] ≥ 0.
Do đó \[\frac{3}{5}\] − \[\frac{{2ab}}{{{a^2} + 4{b^2}}} - \frac{{{b^2}}}{{3{a^2} + 2{b^2}}}\] ≥ 0.
Dấu “=” xảy ra khi a = b hoặc 3a = 2b.
Vậy \[\frac{{2ab}}{{{a^2} + 4{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{3{a^2} + 2{b^2}}} \le \frac{3}{5}\] (đpcm).
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 20 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
Hướng dẫn giải
Xét hiệu của bất đẳng thức, ta có:
\[\frac{1}{{{a^2} + 1}} + \frac{1}{{{b^2} + 1}} - \frac{2}{{1 + ab}}\]
= \[\frac{1}{{{a^2} + 1}} - \frac{1}{{1 + ab}} + \frac{1}{{{b^2} + 1}} - \frac{1}{{1 + ab}}\]
= \[\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}\left( {ab - 1} \right)}}{{\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {ab + 1} \right)}} \ge 0\]
Suy ra \[\frac{1}{{{a^2} + 1}} + \frac{1}{{{b^2} + 1}} - \frac{2}{{1 + ab}}\] ≥ 0 .
\[\frac{1}{{{a^2} + 1}} + \frac{1}{{{b^2} + 1}} \ge \frac{2}{{1 + ab}}\] với a,b ≥ 1.
x + y > 0.
N = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3.
M – N = (x – y)2(x + y).
M ≥ N.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Vì x, y là hai số dương nên x + y > 0.
b) Đúng
Ta có: N = (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3.
c) Sai.
M – N = 4(x3 + y3 ) – x3 − 3x2y − 3xy2 − y3
= 3x3 – 3x2y – 3xy2 + 3y3
= 3x2(x – y) – 3y2 (x – y)
= 3(x − y)(x2 – y2)
= 3(x − y)2(x + y).
d) Đúng.
Vì x, y là hai số dương nên 3(x – y)2(x + y) ≥ 0 hay M – N ≥ 0.
Suy ra M ≥ N.
a + b > 0.
ab ≥ 0.
\[S = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\].
\[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \le \frac{4}{{a + b}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Vì a ≥ b > 0 nên a + b > 0.
b) Sai.
Vì a ≥ b > 0 nên a.b > 0.
c) Đúng.
Ta có: \[S = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{{a + b}}\]
\[ = \frac{{b\left( {a + b} \right) + a\left( {a + b} \right) - 4ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\]
\[ = \frac{{ba + {b^2} + {a^2} + ab - 4ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\]
\[ = \frac{{{b^2} + {a^2} - 2ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\]
\[ = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\].
d) Sai.
Nhận thấy \[S = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}} \ge 0\] với mọi a ≥ b > 0 .
Do đó, \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{{a + b}} \ge 0\] nên \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\].
A > 0 với mọi a.
B ≥ 0 với mọi a, b.
A – B = \[{\left( {a - \frac{b}{2}} \right)^2} + \frac{{3{b^2}}}{4}\].
A > B.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai.
Vì A = a2 ≥ 0 với mọi a.
b) Sai.
Có B = ab – b2 = b(a – b).
Do với a, b bất kì, nên chưa thể đánh giá được B.
c) Đúng.
A – B = a2 – ab + b2 = \[{a^2} - 2.\frac{1}{2}ab + \frac{{{b^2}}}{4} + \frac{{3{b^2}}}{4} = {\left( {a - \frac{b}{2}} \right)^2} + \frac{{3{b^2}}}{4}\]
d) Sai.
Vì A – B = \[{\left( {a - \frac{b}{2}} \right)^2} + \frac{{3{b^2}}}{4} \ge 0\] với mọi a, b nên A – B ≥ 0 suy ra A ≥ B.
a – b > 0.
a – 1 < b – 1.
a3 + a2b – (b3 + ab2) = (a – b)(a + b)2.
a3 + a2b ≤ b3 + ab2.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Với a > b nên a – b > 0. Do đó, ý i) đúng
b) Sai.
Với a > b, cộng hai vế với −1 được a – 1 > b – 1.
c) Đúng.
Xét hiệu: a3 + a2b – (b3 + ab2) − (a – b)(a + b)2
= a3 + a2b – b3 – ab2 – a3 – a2b + ab2 + b3
= 0.
Do đó, a3 + a2b – (b3 + ab2) = (a – b)(a + b)2.
d) Sai.
Xét hiệu a3 + a2b − b3 − ab2 = (a – b)(a2 + ab + b2) + ab(a – b)
= (a – b)(a2 + 2ab + b2)
= (a – b)(a + b)2 > 0 với mọi a > b.
xy ≥ 0.
M.N = \[\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 2\].
M.N ≥ 2.
Biểu thức M.N đạt giá trị nhỏ nhất khi x = y.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai.
Vì x, y là hai số dương nên xy > 0.
b) Đúng.
Ta có: M.N = \[\left( {x + y} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 2\].
c) Sai.
Ta có: \[M.N = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 2\].
Vì x, y là các số dương nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy được:
\[M.N = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 2 \ge 2\sqrt {\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x}} + 2 = 4\].
Vậy M.N ≥ 4.
d) Đúng.
Biểu thức M.N đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi \[\frac{x}{y} = \frac{y}{x}\] hay x = y.
Hướng dẫn giải
Đáp án: 1
a) Ta có:
\[\left( {x + y} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1 + \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 1 = 2 + \frac{x}{y} + \frac{y}{x}\].
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số x, y dương có: \[\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2\sqrt {\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x}} = 2\]
Do đó, \[\left( {x + y} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge 4\].
Dấu “=” xảy ra khi x = y.
b) Vì, x, y > 0 nên x2 + y3 > 0.
Do đó, khẳng định này sai.
Vậy có khẳng định a) là đúng.
Hướng dẫn giải
Đáp án: −2
Ta có: A = −9x2 + 24x – 18
= −(9x2 – 24x + 18)
= −(9x2 – 24x + 16 + 2)
= −(3x – 4)2 – 2.
Nhận thấy −(3x – 4)2 ≤ 0 với mọi x
−(3x – 4)2 – 2 ≤ −2
A ≤ 2.
Vậy giá trị lớn nhất của A = −2 khi x = \[\frac{4}{3}.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án: 2
Ta có: A = 4x – x2 – 1
= −x2 + 4x – 4 + 3
= −(x – 2)2 + 3
Ta có: −(x – 2)2 ≤ 0 với mọi x
−(x – 2)2 + 3 ≤ 3
A ≤ 3
Vậy giá trị lớn nhất của A = 3 khi x = 2.
Hướng dẫn giải
Đáp án: 12
Ta có: A = 2x2 + 2xy – 6x + y2 + 21
= x2 – 6x + 9 + x2 + 2xy + y2 + 12
= (x – 3)2 + (x + y)2 + 12
Nhận thấy (x – 3)2 + (x + y)2 ≥ 0 với mọi x, y
(x – 3)2 + (x + y)2 + 12 ≥ 12
A ≥ 12
Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 12 khi x = 3, y = −3.
Hướng dẫn giải
Đáp án: −3
Ta có: A = 4 – 16x2 – 8x
= −16x2 – 8x – 4
= −(16x2 + 8x + 1) – 3
= −(4x + 1)2 – 3
Nhận thấy −(4x + 1)2 – 3 ≤ −3 hay A ≤ −3
Do đó, giá trị lớn nhất của A = −3 khi x = \[ - \frac{1}{4}\].
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
