Bài tập Bất phương trình bậc nhất biến đổi đặc biệt lớp 9 (có lời giải)
20 câu hỏi
Cho bất phương trình \(\frac{{x + 1}}{{35}} + \frac{{x + 3}}{{33}} \ge \frac{{x + 5}}{{31}} + \frac{{x + 7}}{{29}}\). Biết rằng nghiệm của bất phương trình là x ≤ a. Giá trị của a là
36.
−36.
35.
34.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\frac{{x + 1}}{{35}} + \frac{{x + 3}}{{33}} \ge \frac{{x + 5}}{{31}} + \frac{{x + 7}}{{29}}\)
Suy ra \(\frac{{x + 1}}{{35}} + 1 + \frac{{x + 3}}{{33}} + 1 \ge \frac{{x + 5}}{{31}} + 1 + \frac{{x + 7}}{{29}} + 1\)
\(\frac{{x + 36}}{{35}} + \frac{{x + 36}}{{33}} \ge \frac{{x + 36}}{{31}} + \frac{{x + 36}}{{29}}\)
\(\frac{{x + 36}}{{35}} + \frac{{x + 36}}{{33}} - \frac{{x + 36}}{{31}} - \frac{{x + 36}}{{29}} \ge 0\)
(x + 36) \(\left( {\frac{1}{{35}} + \frac{1}{{33}} - \frac{1}{{31}} - \frac{1}{{29}}} \right)\) ≥ 0.
Nhận thấy \(\frac{1}{{35}} + \frac{1}{{33}} - \frac{1}{{31}} - \frac{1}{{29}}\) < 0.
Nên x + 36 ≤ 0 hay x ≤ −36.
Suy ra nghiệm của bất phương trình là x ≤ −36.
Vậy a = −36.
Cho bất phương trình \(\frac{{x + 6}}{{1999}} + \frac{{x + 8}}{{1997}} \ge \frac{{x + 10}}{{1995}} + \frac{{x + 12}}{{1993}}\). Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình trên là
−2005.
2005.
0.
−2004.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\frac{{x + 6}}{{1999}} + \frac{{x + 8}}{{1997}} \ge \frac{{x + 10}}{{1995}} + \frac{{x + 12}}{{1993}}\)
Suy ra \(\frac{{x + 6}}{{1999}} + 1 + \frac{{x + 8}}{{1997}} + 1 \ge \frac{{x + 10}}{{1995}} + 1 + \frac{{x + 12}}{{1993}} + 1\)
\(\frac{{x + 2005}}{{1999}} + \frac{{x + 2005}}{{1997}} \ge \frac{{x + 2005}}{{1995}} + \frac{{x + 2005}}{{1993}}\)
\(\frac{{x + 2005}}{{1999}} + \frac{{x + 2005}}{{1997}} - \frac{{x + 2005}}{{1995}} - \frac{{x + 2005}}{{1993}} \ge 0\)
(x + 2005) \(\left( {\frac{1}{{1999}} + \frac{1}{{1997}} - \frac{1}{{1995}} - \frac{1}{{1993}}} \right)\) ≥ 0
Nhận thấy \(\frac{1}{{1999}} + \frac{1}{{1997}} - \frac{1}{{1995}} - \frac{1}{{1993}}\) < 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì x + 2005 ≤ 0 hay x ≤ −2005.
Do đó, nghiệm nguyên của bất phương trình là x ≤ −2005.
Vậy nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là −2005.
Bất phương trình \(\frac{{x - 10}}{{1994}} + \frac{{x - 8}}{{1996}} + \frac{{x - 6}}{{1998}} > \frac{{x - 1998}}{6} + \frac{{x - 1996}}{8} + \frac{{x - 1994}}{{10}}\) có nghiệm là x < a. Tính giá trị biểu thức T = a – 904.
2004.
2003.
2002.
2001.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\frac{{x - 10}}{{1994}} + \frac{{x - 8}}{{1996}} + \frac{{x - 6}}{{1998}} > \frac{{x - 1998}}{6} + \frac{{x - 1996}}{8} + \frac{{x - 1994}}{{10}}\)
Có \(\frac{{x - 10}}{{1994}} - 1 + \frac{{x - 8}}{{1996}} - 1 + \frac{{x - 6}}{{1998}} - 1 > \frac{{x - 1998}}{6} - 1 + \frac{{x - 1996}}{8} - 1 + \frac{{x - 1994}}{{10}} - 1\)
\(\frac{{x - 2004}}{{1994}} + \frac{{x - 2004}}{{1996}} + \frac{{x - 2004}}{{1998}} > \frac{{x - 2004}}{6} + \frac{{x - 2004}}{8} + \frac{{x - 2004}}{{10}}\)
\(\frac{{x - 2004}}{{1994}} + \frac{{x - 2004}}{{1996}} + \frac{{x - 2004}}{{1998}} - \frac{{x - 2004}}{6} - \frac{{x - 2004}}{8} - \frac{{x - 2004}}{{10}} > 0\)
(x – 2004)\(\left( {\frac{1}{{1994}} + \frac{1}{{1996}} + \frac{1}{{1998}} - \frac{1}{6} - \frac{1}{8} - \frac{1}{{10}}} \right) > 0\)
Nhận thấy \(\frac{1}{{1994}} + \frac{1}{{1996}} + \frac{1}{{1998}} - \frac{1}{6} - \frac{1}{8} - \frac{1}{{10}}\) < 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì x – 2004 < 0 hay x < 2004.
Do đó, nghiệm của bất phương trình là x < 2004.
Vậy a = 2004.
Do đó, giá trị biểu thức T = a – 902 = 2004 – 904 = 1100.
Cho bất phương trình \(\frac{{x - 1009}}{{1001}} + \frac{{x - 4}}{{1003}} + \frac{{x + 2010}}{{1005}} \ge 7\). Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là
2010.
2011.
2009.
2012.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\frac{{x - 1009}}{{1001}} + \frac{{x - 4}}{{1003}} + \frac{{x + 2010}}{{1005}} \ge 7\)
\(\frac{{x - 1009}}{{1001}} - 1 + \frac{{x - 4}}{{1003}} - 2 + \frac{{x + 2010}}{{1005}} - 4 \ge 7 - 1 - 2 - 4\)
\(\frac{{x - 1009 - 1001}}{{1001}} + \frac{{x - 4 - 2.1003}}{{1003}} + \frac{{x + 2010 - 4.1005}}{{1005}} \ge 0\)
\(\frac{{x - 2010}}{{1001}} + \frac{{x - 2010}}{{1003}} + \frac{{x - 2010}}{{1005}} \ge 0\)
(x – 2010) \(\left( {\frac{1}{{1001}} + \frac{1}{{1003}} + \frac{1}{{1005}}} \right)\) ≥ 0
Nhận thấy \(\frac{1}{{1001}} + \frac{1}{{1003}} + \frac{1}{{1005}}\) > 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì x – 2010 ≥ 0 hay x ≥ 2010.
Do đó, nghiệm của bất phương trình là x ≥ 2010.
Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là 2010.
Cho bất phương trình \(\frac{{x - 85}}{{15}} + \frac{{x - 74}}{{13}} + \frac{{x - 67}}{{11}} \le 6\). Biết rằng bất phương trình có dạng x ≤ a. Hỏi căn bậc hai số học của a là?
100.
10.
−10.
10 và −10.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\frac{{x - 85}}{{15}} + \frac{{x - 74}}{{13}} + \frac{{x - 67}}{{11}} \le 6\)
Suy ra \(\frac{{x - 85}}{{15}} - 1 + \frac{{x - 74}}{{13}} - 2 + \frac{{x - 67}}{{11}} - 2 \le 6 - 1 - 2 - 3\)
\(\frac{{x - 100}}{{15}} + \frac{{x - 100}}{{13}} + \frac{{x - 100}}{{11}} \le 0\)
(x – 100)\(\left( {\frac{1}{{15}} + \frac{1}{{13}} + \frac{1}{{11}}} \right) \le 0\)
Nhận thấy \(\frac{1}{{15}} + \frac{1}{{13}} + \frac{1}{{11}}\) > 0 nên để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì x – 100 ≤ 0 hay x ≤ 100.
Do đó, nghiệm của bất phương trình là x ≤ 100.
Suy ra a = 100 và có \(\sqrt {100} = 10\).
Vậy căn bậc hai số học của a là 10.
Bất phương trình \(\frac{{x - 1}}{{13}} - \frac{{2x - 13}}{{15}} < \frac{{3x - 15}}{{27}} - \frac{{4x - 27}}{{29}}\) có nghiệm là x > a. Bình phương của a là
14.
169.
196.
13.
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\frac{{x - 1}}{{13}} - \frac{{2x - 13}}{{15}} < \frac{{3x - 15}}{{27}} - \frac{{4x - 27}}{{29}}\)
Suy ra \(\frac{{x - 1}}{{13}} - 1 - \frac{{2x - 13}}{{15}} - 1 < \frac{{3x - 15}}{{27}} - 1 - \frac{{4x - 27}}{{29}} - 1\)
\(\frac{{x - 14}}{{13}} - \frac{{2x - 28}}{{15}} < \frac{{3x - 42}}{{27}} - \frac{{4x - 56}}{{29}}\)
\(\frac{{x - 14}}{{13}} - \frac{{2x - 28}}{{15}} - \frac{{3x - 42}}{{27}} + \frac{{4x - 56}}{{29}} < 0\)
\(\frac{{x - 14}}{{13}} - \frac{{2\left( {x - 14} \right)}}{{15}} - \frac{{3\left( {x - 14} \right)}}{{27}} + \frac{{4\left( {x - 14} \right)}}{{29}} < 0\)
(x – 14)\(\left( {\frac{1}{{13}} - \frac{2}{{15}} - \frac{3}{{27}} + \frac{4}{{29}}} \right)\) < 0.
Nhận thấy \(\frac{1}{{13}} - \frac{2}{{15}} - \frac{3}{{27}} + \frac{4}{{29}}\) < 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì x – 14 > 0 hay x > 14.
Do đó, nghiệm của bất phương trình là x > 14.
Suy ra a = 14 nên a2 = 142 = 196.
Bất phương trình \(\frac{{x - 3}}{{2011}} + \frac{{x - 2}}{{2012}} \le \frac{{x - 2012}}{2} + \frac{{x - 2011}}{3}\) có nghiệm là
x > 2014.
x < 2014.
x ≥ 2014.
x ≤ 2014.
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\frac{{x - 3}}{{2011}} + \frac{{x - 2}}{{2012}} \le \frac{{x - 2012}}{2} + \frac{{x - 2011}}{3}\)
Suy ra \(\frac{{x - 3}}{{2011}} - 1 + \frac{{x - 2}}{{2012}} - 1 \le \frac{{x - 2012}}{2} - 1 + \frac{{x - 2011}}{3} - 1\)
\(\frac{{x - 2014}}{{2011}} + \frac{{x - 2014}}{{2012}} \le \frac{{x - 2014}}{2} + \frac{{x - 2014}}{3}\)
\(\frac{{x - 2014}}{{2011}} + \frac{{x - 2014}}{{2012}} - \frac{{x - 2014}}{2} - \frac{{x - 2014}}{3} \le 0\)
(x – 2014) \(\left( {\frac{1}{{2011}} + \frac{1}{{2012}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) \le 0\)
Nhận thấy \(\frac{1}{{2011}} + \frac{1}{{2012}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\) < 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì x – 2014 ≥ 0 và x ≥ 2014.
Do đó, nghiệm của bất phương trình là x ≥ 2014.
Bất phương trình \(\frac{{1909 - x}}{{91}} + \frac{{1907 - x}}{{93}} + \frac{{1905 - x}}{{95}} + \frac{{1903 - x}}{{97}} > - 4\) có nghiệm là x < a. Hỏi nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là bao nhiêu?
2000.
1999.
1998.
2001.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\frac{{1909 - x}}{{91}} + \frac{{1907 - x}}{{93}} + \frac{{1905 - x}}{{95}} + \frac{{1903 - x}}{{97}} > - 4\)
Nên \(\frac{{1909 - x}}{{91}} + \frac{{1907 - x}}{{93}} + \frac{{1905 - x}}{{95}} + \frac{{1903 - x}}{{97}} + 4 > 0\)
Ta có: \(\frac{{1909 - x}}{{91}} + 1 + \frac{{1907 - x}}{{93}} + 1 + \frac{{1905 - x}}{{95}} + 1 + \frac{{1903 - x}}{{97}} + 1 > 0\)
\(\frac{{2000 - x}}{{91}} + \frac{{2000 - x}}{{93}} + \frac{{2000 - x}}{{95}} + \frac{{2000 - x}}{{97}} > 0\)
(2000 – x) \(\left( {\frac{1}{{91}} + \frac{1}{{93}} + \frac{1}{{95}} + \frac{1}{{97}}} \right) > 0\)
Nhận thấy \(\frac{1}{{91}} + \frac{1}{{93}} + \frac{1}{{95}} + \frac{1}{{97}}\) > 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì 2000 – x > 0 hay x < 2000.
Do đó, nghiệm của bất phương trình là x < 2000.
Vậy nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là 1999.
Cho bất phương trình \(\frac{{21 - x}}{{1978}} - \frac{{x - 1978}}{{21}} + \frac{{19 - x}}{{1980}} - \frac{{x - 1980}}{{19}} \ge 0\). Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là
1999.
1998.
1997.
2000.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\frac{{21 - x}}{{1978}} - \frac{{x - 1978}}{{21}} + \frac{{19 - x}}{{1980}} - \frac{{x - 1980}}{{19}} \ge 0\)
Suy ra \(\frac{{21 - x}}{{1978}} + 1 - \frac{{x - 1978}}{{21}} - 1 + \frac{{19 - x}}{{1980}} + 1 - \frac{{x - 1980}}{{19}} - 1 \ge 0\)
\(\frac{{1999 - x}}{{1978}} - \frac{{x - 1999}}{{21}} + \frac{{1999 - x}}{{1980}} - \frac{{x - 1999}}{{19}} \ge 0\)
(x – 1999) \(\left( { - \frac{1}{{1978}} - \frac{1}{{21}} - \frac{1}{{1980}} - \frac{1}{{19}}} \right)\) ≥ 0.
Nhận thấy \( - \frac{1}{{1978}} - \frac{1}{{21}} - \frac{1}{{1980}} - \frac{1}{{19}}\) < 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì x – 1999 ≤ 0 hay x ≤ 1999.
Do đó, nghiệm của bất phương trình là x ≤ 1999.
Vậy nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là 1999.
Cho bất phương trình:
\(\frac{{x - 1995}}{5} - \frac{{x - 5}}{{1995}} + \frac{{x - 1997}}{3} - \frac{{x - 3}}{{1997}} + \frac{{x - 1999}}{1} - \frac{{x - 1}}{{1999}} < 0\).
Nghiệm của bất phương trình trên là:
x < 2000.
x > 2000.
x ≤ 2000.
x ≥ 2000.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\frac{{x - 1995}}{5} - \frac{{x - 5}}{{1995}} + \frac{{x - 1997}}{3} - \frac{{x - 3}}{{1997}} + \frac{{x - 1999}}{1} - \frac{{x - 1}}{{1999}} < 0\)
Suy ra \(\frac{{x - 1995}}{5} + \frac{{5 - x}}{{1995}} + \frac{{x - 1997}}{3} + \frac{{3 - x}}{{1997}} + \frac{{x - 1999}}{1} + \frac{{1 - x}}{{1999}} < 0\)
\(\frac{{x - 1995}}{5} - 1 + \frac{{5 - x}}{{1995}} + 1 + \frac{{x - 1997}}{3} - 1 + \frac{{3 - x}}{{1997}} + 1 + \frac{{x - 1999}}{1} - 1 + \frac{{1 - x}}{{1999}} + 1 < 0\)
\(\frac{{x - 2000}}{5} + \frac{{2000 - x}}{{1995}} + \frac{{x - 2000}}{3} + \frac{{2000 - x}}{{1997}} + \frac{{x - 2000}}{1} + \frac{{2000 - x}}{{1999}} < 0\)
\(\frac{{x - 2000}}{5} - \frac{{x - 2000}}{{1995}} + \frac{{x - 2000}}{3} - \frac{{x - 2000}}{{1997}} + \frac{{x - 2000}}{1} - \frac{{x - 2000}}{{1999}} < 0\)
(x – 2000) \(\left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{{1995}} + \frac{1}{3} - \frac{1}{{1997}} + \frac{1}{1} - \frac{1}{{1999}}} \right) < 0\)
Nhận thấy \(\frac{1}{5} - \frac{1}{{1995}} + \frac{1}{3} - \frac{1}{{1997}} + \frac{1}{1} - \frac{1}{{1999}}\) > 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì a – 2000 < 0 hay x < 2000.
Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 2000.
Cộng hai vế với −2 và biến đổi ta được: \(\frac{{x - 36}}{{33}} + \frac{{x - 36}}{{34}} \le \frac{{x - 36}}{3} + \frac{{x - 36}}{2}\).
Chuyển vế đặt nhân tử chung được \(\left( {x - 36} \right)\left( {\frac{1}{{33}} + \frac{1}{{34}} - \frac{1}{3} - \frac{1}{2}} \right) \ge 0\).
Nghiệm của bất phương trình (1) là nghiệm của bất phương trình x – 36 ≥ 0.
Số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức là 37.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Ta có: \(\frac{{x - 3}}{{33}} + \frac{{x - 2}}{{34}} \le \frac{{x - 33}}{3} + \frac{{x - 34}}{2}\)
\(\frac{{x - 3}}{{33}} + \frac{{x - 2}}{{34}} - 2 \le \frac{{x - 33}}{3} + \frac{{x - 34}}{2} - 2\)
\(\frac{{x - 3}}{{33}} - 1 + \frac{{x - 2}}{{34}} - 1 \le \frac{{x - 33}}{3} - 1 + \frac{{x - 34}}{2} - 1\)
\(\frac{{x - 36}}{{33}} + \frac{{x - 36}}{{34}} \le \frac{{x - 36}}{3} + \frac{{x - 36}}{2}\)
b) Sai.
Chuyển vế ta có: \(\frac{{x - 36}}{{33}} + \frac{{x - 36}}{{34}} - \frac{{x - 36}}{3} - \frac{{x - 36}}{2} \le 0\)
\(\left( {x - 36} \right)\left( {\frac{1}{{33}} + \frac{1}{{34}} - \frac{1}{3} - \frac{1}{2}} \right) \le 0\)
c) Đúng.
Vì \(\frac{1}{{33}} + \frac{1}{{34}} - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} < 0\), do đó x – 36 ≥ 0
Vậy nghiệm của (1) là nghiệm của bất phương trình x – 36 ≥ 0.
d) Sai.
Giải bất phương trình x – 36 ≥ 0 được x ≥ 36.
Do đó, nghiệm nhỏ nhất của bất phương trình là 36.
Cho bất phương trình: \(\frac{{x + 2}}{{88}} + \frac{{x + 4}}{{86}} + \frac{{x + 6}}{{84}} < \frac{{x + 83}}{7} + \frac{{x + 86}}{4} + \frac{{x + 85}}{5}\) (1). Khi đó:
Cộng hai vế với −3 và biến đổi bất phương trình được:
\(\frac{{x + 90}}{{88}} + \frac{{x + 90}}{{86}} + \frac{{x + 90}}{{84}} < \frac{{x + 90}}{7} + \frac{{x + 90}}{4} + \frac{{x + 90}}{5}\).
Chuyển vế đặt nhân tử chung được \(\left( {x + 90} \right)\left( {\frac{1}{{88}} + \frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} - \frac{1}{7} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5}} \right) > 0\).
Nghiệm của bất phương trình (1) là nghiệm của bất phương trình x + 90 < 0.
Số nguyên lớn nhất thỏa mãn đẳng thức là −89.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai.
Cộng hai vế của bất phương trình với 3, ta được:
\(\frac{{x + 2}}{{88}} + \frac{{x + 4}}{{86}} + \frac{{x + 6}}{{84}} + 3 < \frac{{x + 83}}{7} + \frac{{x + 86}}{4} + \frac{{x + 85}}{5} + 3\)
\(\frac{{x + 2}}{{88}} + 1 + \frac{{x + 4}}{{86}} + 1 + \frac{{x + 6}}{{84}} + 1 < \frac{{x + 83}}{7} + 1 + \frac{{x + 86}}{4} + 1 + \frac{{x + 85}}{5} + 1\)
\(\frac{{x + 90}}{{88}} + \frac{{x + 90}}{{86}} + \frac{{x + 90}}{{84}} < \frac{{x + 90}}{7} + \frac{{x + 90}}{4} + \frac{{x + 90}}{5}\)
b) Sai.
Chuyển vế đặt nhân tử chung được:
\(\frac{{x + 90}}{{88}} + \frac{{x + 90}}{{86}} + \frac{{x + 90}}{{84}} - \frac{{x + 90}}{7} - \frac{{x + 90}}{4} - \frac{{x + 90}}{5} < 0\)
\(\left( {x + 90} \right)\left( {\frac{1}{{88}} + \frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} - \frac{1}{7} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5}} \right) < 0\)
c) Đúng.
Nhận thấy \(\frac{1}{{88}} + \frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} - \frac{1}{7} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5} < 0\) nên suy ra x + 90 < 0.
Vậy nghiệm của (1) là nghiệm của bất phương trình x + 90 < 0.
d) Sai.
Giải bất phương trình được x < −90.
Vậy nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là −91.
Cho bất phương trình: \(\frac{{x + 1}}{{2025}} + \frac{{x + 2}}{{2024}} + \frac{{x + 3}}{{2023}} + \frac{{x + 4}}{{2022}} + 4 > 0\) (1). Khi đó:
Biến đổi bất phương trình được
\(\frac{{x + 2026}}{{2025}} + \frac{{x + 2026}}{{2024}} + \frac{{x + 2026}}{{2023}} + \frac{{x + 2026}}{{2022}} > 0\).
Biến đổi ta được \(\left( {x + 2026} \right)\left( {\frac{1}{{2025}} + \frac{1}{{2024}} + \frac{1}{{2023}} + \frac{1}{{2022}}} \right) > 0\).
Nghiệm của bất phương trình (1) là nghiệm của x + 2026 > 0.
Nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là 2025.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Biến đổi bất phương trình được
\(\frac{{x + 1}}{{2025}} + 1 + \frac{{x + 2}}{{2024}} + 1 + \frac{{x + 3}}{{2023}} + 1 + \frac{{x + 4}}{{2022}} + 1 > 0\)
\(\frac{{x + 2026}}{{2025}} + \frac{{x + 2026}}{{2024}} + \frac{{x + 2026}}{{2023}} + \frac{{x + 2026}}{{2022}} > 0\)
b) Đúng.
Biến đổi được \(\left( {x + 2026} \right)\left( {\frac{1}{{2025}} + \frac{1}{{2024}} + \frac{1}{{2023}} + \frac{1}{{2022}}} \right) > 0\)
c) Đúng.
Vì \(\frac{1}{{2025}} + \frac{1}{{2024}} + \frac{1}{{2023}} + \frac{1}{{2022}} > 0\) nên x + 2026 > 0.
Vậy nghiệm của (1) là nghiệm của x + 2026 > 0.
d) Sai.
Giải bất phương trình được x > −2026.
Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là −2025.
Cho bất phương trình: \(\frac{{x - 2}}{{2002}} + \frac{{x - 4}}{{2000}} < \frac{{x - 3}}{{2001}} + \frac{{x - 5}}{{1999}}\) (1). Khi đó
Cộng cả hai vế bất phương trình với −2, được
\(\frac{{x - 2004}}{{2002}} + \frac{{x - 2004}}{{2000}} < \frac{{x - 2004}}{{2001}} + \frac{{x - 2004}}{{1999}}\).
Chuyển vế và biến đổi được: \(\left( {x - 2004} \right)\left( {\frac{1}{{2002}} + \frac{1}{{2000}} - \frac{1}{{2001}} - \frac{1}{{1999}}} \right) < 0\).
Nghiệm của (1) là nghiệm của bất phương trình x – 2024 < 0.
x = 2023 thỏa mãn nghiệm của bất phương trình (1).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng.
Cộng hai vế bất phương trình với −2, được:
\(\frac{{x - 2}}{{2002}} + \frac{{x - 4}}{{2000}} - 2 < \frac{{x - 3}}{{2001}} + \frac{{x - 5}}{{1999}} - 2\)
\(\frac{{x - 2}}{{2002}} - 1 + \frac{{x - 4}}{{2000}} - 1 < \frac{{x - 3}}{{2001}} - 1 + \frac{{x - 5}}{{1999}} - 1\)
\(\frac{{x - 2004}}{{2002}} + \frac{{x - 2004}}{{2000}} < \frac{{x - 2004}}{{2001}} + \frac{{x - 2004}}{{1999}}\)
b) Đúng.
Chuyển vế và biến đổi, ta được:
\(\frac{{x - 2004}}{{2002}} + \frac{{x - 2004}}{{2000}} - \frac{{x - 2004}}{{2001}} - \frac{{x - 2004}}{{1999}} < 0\)
\(\left( {x - 2004} \right)\left( {\frac{1}{{2002}} + \frac{1}{{2000}} - \frac{1}{{2001}} - \frac{1}{{1999}}} \right) < 0\)
c) Sai.
Vì \(\frac{1}{{2002}} + \frac{1}{{2000}} - \frac{1}{{2001}} - \frac{1}{{1999}} < 0\) nên x – 2004 > 0
Vậy nghiệm của (1) là nghiệm của bất phương trình x – 2004 > 0.
c) Sai.
Giải x – 2004 > 0 được x > 2004.
Do đó, x = 2003 không là nghiệm của bất phương trình.
Cộng hai vế của bất phương trình với 2 được
\(\frac{{x + 55}}{{32}} - \frac{{x + 55}}{{30}} \le \frac{{x + 55}}{{34}} - \frac{{x + 55}}{{36}}\).
Biến đổi bất phương trình được \[\left( {x + 55} \right)\left( {\frac{1}{{32}} - \frac{1}{{30}} - \frac{1}{{34}} + \frac{1}{{36}}} \right) \le 0\].
Nghiệm của (1) là nghiệm của bất phương trình x + 55 ≥ 0
Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là −54.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Cộng hai vế của bất phương trình với 2, được:
\(\frac{{x + 23}}{{32}} - \frac{{x + 25}}{{30}} + 2 \le \frac{{x + 21}}{{34}} - \frac{{x + 19}}{{36}} + 2\)
\(\frac{{x + 23}}{{32}} + 1 - \frac{{x + 25}}{{30}} + 1 \le \frac{{x + 21}}{{34}} + 1 - \frac{{x + 19}}{{36}} + 1\)
\(\frac{{x + 55}}{{32}} - \frac{{x + 55}}{{30}} \le \frac{{x + 55}}{{34}} - \frac{{x + 55}}{{36}}\).
b) Đúng.
Biến đổi bất phương trình được: \(\frac{{x + 55}}{{32}} - \frac{{x + 55}}{{30}} - \frac{{x + 55}}{{34}} + \frac{{x + 55}}{{36}} \le 0\)
\(\left( {x + 55} \right)\left( {\frac{1}{{32}} - \frac{1}{{30}} - \frac{1}{{34}} + \frac{1}{{36}}} \right) \le 0\)
c) Đúng.
Nhận thấy \(\frac{1}{{32}} - \frac{1}{{30}} - \frac{1}{{34}} + \frac{1}{{36}} < 0\) nên x + 55 ≥ 0.
Vậy nghiệm của (1) là nghiệm của x + 55 ≥ 0.
d) Sai.
Giải x + 55 ≥ 0 được x ≥ −55.
Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là −55.
Cho bất phương trình:
\(\frac{{x - 29}}{{1970}} + \frac{{x - 27}}{{1972}} + \frac{{x - 25}}{{1974}} > \frac{{x - 1970}}{{29}} + \frac{{x - 1972}}{{27}} + \frac{{x - 1974}}{{25}}\).
Tìm số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình trên.
Hướng dẫn giải
Đáp án: 1998
Ta có: \(\frac{{x - 29}}{{1970}} + \frac{{x - 27}}{{1972}} + \frac{{x - 25}}{{1974}} > \frac{{x - 1970}}{{29}} + \frac{{x - 1972}}{{27}} + \frac{{x - 1974}}{{25}}\)
\(\frac{{x - 29}}{{1970}} + \frac{{x - 27}}{{1972}} + \frac{{x - 25}}{{1974}} - 3 > \frac{{x - 1970}}{{29}} + \frac{{x - 1972}}{{27}} + \frac{{x - 1974}}{{25}} - 3\) \(\frac{{x - 29}}{{1970}} - 1 + \frac{{x - 27}}{{1972}} - 1 + \frac{{x - 25}}{{1974}} - 1 > \frac{{x - 1970}}{{29}} - 1 + \frac{{x - 1972}}{{27}} - 1 + \frac{{x - 1974}}{{25}} - 1\)
\(\frac{{x - 1999}}{{1970}} + \frac{{x - 1999}}{{1972}} + \frac{{x - 1999}}{{1974}} > \frac{{x - 1999}}{{29}} + \frac{{x - 1999}}{{27}} + \frac{{x - 1999}}{{25}}\)
\(\frac{{x - 1999}}{{1970}} + \frac{{x - 1999}}{{1972}} + \frac{{x - 1999}}{{1974}} - \frac{{x - 1999}}{{29}} - \frac{{x - 1999}}{{27}} - \frac{{x - 1999}}{{25}} > 0\)
\(\left( {x - 1999} \right)\left( {\frac{1}{{1970}} + \frac{1}{{1972}} + \frac{1}{{1974}} - \frac{1}{{29}} - \frac{1}{{27}} - \frac{1}{{25}}} \right) > 0\)
Nhận thấy \(\frac{1}{{1970}} + \frac{1}{{1972}} + \frac{1}{{1974}} - \frac{1}{{29}} - \frac{1}{{27}} - \frac{1}{{25}} < 0\)
Do đó, x – 1999 < 0
x < 1999.
Suy ra, nghiệm của bất phương trình là x < 1999.
Vậy số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình trên là 1998.
Cho bất phương trình:
\(\frac{{x + 1}}{{99}} + \frac{{x + 3}}{{97}} + \frac{{x + 5}}{{95}} < \frac{{x + 2}}{{98}} + \frac{{x + 4}}{{96}} + \frac{{x + 6}}{{94}}\)
Tìm số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình trên.
Hướng dẫn giải
Đáp án: −99.
Ta có: \(\frac{{x + 1}}{{99}} + \frac{{x + 3}}{{97}} + \frac{{x + 5}}{{95}} < \frac{{x + 2}}{{98}} + \frac{{x + 4}}{{96}} + \frac{{x + 6}}{{94}}\)
\(\frac{{x + 1}}{{99}} + 1 + \frac{{x + 3}}{{97}} + 1 + \frac{{x + 5}}{{95}} + 1 < \frac{{x + 2}}{{98}} + 1 + \frac{{x + 4}}{{96}} + 1 + \frac{{x + 6}}{{94}} + 1\)
\(\frac{{x + 100}}{{99}} + \frac{{x + 100}}{{97}} + \frac{{x + 100}}{{95}} < \frac{{x + 100}}{{98}} + \frac{{x + 100}}{{96}} + \frac{{x + 100}}{{94}}\)
\(\frac{{x + 100}}{{99}} + \frac{{x + 100}}{{97}} + \frac{{x + 100}}{{95}} - \frac{{x + 100}}{{98}} - \frac{{x + 100}}{{96}} - \frac{{x + 100}}{{94}} < 0\)
\(\left( {x + 100} \right)\left( {\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{97}} + \frac{1}{{95}} - \frac{1}{{98}} - \frac{1}{{96}} - \frac{1}{{94}}} \right) < 0\)
Nhận thấy \(\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{97}} + \frac{1}{{95}} - \frac{1}{{98}} - \frac{1}{{96}} - \frac{1}{{94}} < 0\) nên x + 100 > 0 hay x > −100.
Do đó, số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình trên là −99.
Cho bất phương trình:
\(\frac{{x + 1987}}{{2002}} + \frac{{x + 1988}}{{2003}} > \frac{{x + 1989}}{{2004}} + \frac{{x + 1990}}{{2005}}\)
Tìm số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình trên.
Hướng dẫn giải
Đáp án: 16
Ta có: \(\frac{{x + 1987}}{{2002}} + \frac{{x + 1988}}{{2003}} > \frac{{x + 1989}}{{2004}} + \frac{{x + 1990}}{{2005}}\)
\(\frac{{x + 1987}}{{2002}} - 1 + \frac{{x + 1988}}{{2003}} - 1 > \frac{{x + 1989}}{{2004}} - 1 + \frac{{x + 1990}}{{2005}} - 1\)
\(\frac{{x - 15}}{{2002}} + \frac{{x - 15}}{{2003}} > \frac{{x - 15}}{{2004}} + \frac{{x - 15}}{{2005}}\)
\(\frac{{x - 15}}{{2002}} + \frac{{x - 15}}{{2003}} - \frac{{x - 15}}{{2004}} - \frac{{x - 15}}{{2005}} > 0\)
\(\left( {x - 15} \right)\left( {\frac{1}{{2002}} + \frac{1}{{2003}} - \frac{1}{{2004}} - \frac{1}{{2005}}} \right) > 0\)
Nhận thấy \(\frac{1}{{2002}} + \frac{1}{{2003}} - \frac{1}{{2004}} - \frac{1}{{2005}} > 0\) nên x – 15 > 0 hay x > 15.
Vậy số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình trên là 16.
Cho bất phương trình:
\(\frac{{x + 1}}{{2029}} + \frac{{x + 2}}{{2028}} + \frac{{x + 3}}{{2027}} + \frac{{x + 4}}{{2026}} + 4 > 0\)
Tìm số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình trên.
Hướng dẫn giải
Đáp án: 1
Ta có: \(\frac{{x + 1}}{{2029}} + \frac{{x + 2}}{{2028}} + \frac{{x + 3}}{{2027}} + \frac{{x + 4}}{{2026}} + 4 > 0\)
\(\frac{{x + 1}}{{2029}} + 1 + \frac{{x + 2}}{{2028}} + 1 + \frac{{x + 3}}{{2027}} + 1 + \frac{{x + 4}}{{2026}} + 1 > 0\)
\(\frac{{x + 2030}}{{2029}} + \frac{{x + 2030}}{{2028}} + \frac{{x + 2030}}{{2027}} + \frac{{x + 2030}}{{2026}} > 0\)
\(\left( {x + 2030} \right)\left( {\frac{1}{{2029}} + \frac{1}{{2028}} + \frac{1}{{2027}} + \frac{1}{{2026}}} \right) > 0\)
Nhận thấy \(\frac{1}{{2029}} + \frac{1}{{2028}} + \frac{1}{{2027}} + \frac{1}{{2026}}\), do đó x + 2030 > 0 hay x > −2030.
Vậy số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình trên là 1.
Cho bất phương trình:
\(\frac{{x + 2004}}{{2005}} + \frac{{x + 2005}}{{2006}} < \frac{{x + 2006}}{{2007}} + \frac{{x + 2007}}{{2008}}\)
Tìm số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình trên.
Hướng dẫn giải
Đáp án: 0
Ta có: \(\frac{{x + 2004}}{{2005}} + \frac{{x + 2005}}{{2006}} < \frac{{x + 2006}}{{2007}} + \frac{{x + 2007}}{{2008}}\)
\(\frac{{x + 2004}}{{2005}} - 1 + \frac{{x + 2005}}{{2006}} - 1 < \frac{{x + 2006}}{{2007}} - 1 + \frac{{x + 2007}}{{2008}} - 1\)
\(\frac{{x - 1}}{{2005}} + \frac{{x - 1}}{{2006}} < \frac{{x - 1}}{{2007}} + \frac{{x - 1}}{{2008}}\)
\(\frac{{x - 1}}{{2005}} + \frac{{x - 1}}{{2006}} - \frac{{x - 1}}{{2007}} - \frac{{x - 1}}{{2008}} < 0\)
\(\left( {x - 1} \right)\left( {\frac{1}{{2005}} + \frac{1}{{2006}} - \frac{1}{{2007}} - \frac{1}{{2008}}} \right) < 0\)
Nhận thấy \(\frac{1}{{2005}} + \frac{1}{{2006}} - \frac{1}{{2007}} - \frac{1}{{2008}} > 0\) nên x – 1 < 0 hay x < 1.
Vậy số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là 0.
