Bài tập Bài 9. Tính chất ba đường phân giác của tam giác có đáp án
11 câu hỏi
Điểm nào nằm bên trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác?
Giao điểm ba đường phân giác trong tam giác cách đều ba cạnh của tam giác.
Vẽ và cắt hình tam giác ABC rồi gấp hình sao cho cạnh AB trùng với cạnh AC ta được nếp gấp AD (Hình 1). Đoạn thẳng AD nằm trên tia phân giác của góc nào của tam giác ABC?
Đoạn thẳng AD nằm trên tia phân giác của góc A của tam giác ABC.
Trong Hình 3, hãy vẽ các đường phân giác GM, EN và FP của tam giác EFG.
Ta có hình vẽ sau:
Vẽ một tam giác trên giấy. Cắt rời tam giác ra khỏi tờ giấy rồi gấp hình tam giác đó để xác định ba đường phân giác của tam giác (Hình 4). Em hãy quan sát và nhận xét xem ba đường phân giác có cùng đi qua một điểm không.
Thực hiện theo hướng dẫn ta thu được hình như sau:
Ta thấy ba đường phân giác của tam giác cùng đi qua một điểm.
Một nông trại nằm trên mảnh đất hình tam giác có ba cạnh tường rào tiếp giáp với ba con đường (Hình 7). Hỏi phải đặt trạm quan sát ở đâu để nó cách đều ba cạnh tường rào?
Ba cạnh tường rào tạo thành ba cạnh của một tam giác.
Để trạm quan sát cách đều ba cạnh tường rào thì trạm quan sát là giao điểm ba đường phân giác của tam giác tạo bởi ba cạnh tường rào.
Trong Hình 8, I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC.
a) Cho biết IM = 6 (Hình 8a). Tính IK và IN.
b) Cho biết IN = x + 3, IM = 2x - 3 (Hình 8b). Tìm x.
a) Ta có I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC nên I cách đều ba cạnh của tam giác ABC.
Do đó IM = IN = IK = 6 cm.
Vậy IK = IN = 6 cm.
b) Ta có I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC nên I cách đều ba cạnh của tam giác ABC.
Do đó IM = IN = IK.
Suy ra 2x - 3 = x + 3
Suy ra 2x - x = 3 + 3
Do đó x = 6.
Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc B cắt AM tại I. Chứng minh rằng CI là tia phân giác của góc C.
Do DABC cân tại A nên AB = AC.
Do AM là đường trung tuyến của DABC nên M là trung điểm của BC.
Xét DAMB và DAMC có:
AB = AC (chứng minh trên).
AM chung.
MB = MC (do M là trung điểm của BC).
Suy ra DAMB = DAMC (c.c.c).
Do đó MAB^=MAC^ (2 góc tương ứng).
Mà AM nằm giữa AB và AC nên AM là đường phân giác của BAC^.
Tam giác ABC có hai đường phân giác AM và BI cắt nhau tại I.
Mà ba đường phân giác của tam giác ABC đồng quy nên CI là tia phân giác của góc C.
Vậy CI là tia phân giác của góc C.
Cho tam giác ABC cân tại A. Tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại M. Tia AM cắt BC tại H. Chứng minh rằng H là trung điểm của BC.
Do DABC cân tại A nên AB = AC.
Tam giác ABC có M là giao điểm hai đường phân giác.
Mà ba đường phân giác của tam giác ABC đồng quy nên AM là đường phân giác của tam giác ABC.
Suy ra MAB^=MAC^ hay HAB^=HAC^.
Xét DAHB và DAHC có:
AB = AC (chứng minh trên).
HAB^=HAC^ (chứng minh trên).
AH chung.
Suy ra DAHB = DAHC (c.g.c).
Do đó HB = HC (2 cạnh tương ứng).
Mà H nằm giữa B và C nên H là trung điểm của BC.
Vậy H là trung điểm của BC.
Cho tam giác DEF. Tia phân giác của góc D và E cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với EF, đường thẳng này cắt DE tại M, cắt DF tại N. Chứng minh rằng ME + NF = MN.
Từ (1) và (2) ta có ME + NF = MI + NI = MN.
Vậy ME + NF = MN.
Cho tam giác AMN vuông tại A. Tia phân giác của góc M và N cắt nhau tại I. Tia MI cắt AN tại R. Kẻ RT vuông góc với AI tại T. Chứng minh rằng AT = RT.
Tam giác AMN có hai đường phân giác của góc M và N cắt nhau tại I.
Mà ba đường phân giác của tam giác AMN đồng quy nên AI là đường phân giác của A^.
Do đó IAR^=12MAN^=12.90°=45°.
Trong tam giác TAR vuông tại T: TAR^+TRA^=90° (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).
Suy ra TRA^=90°−TAR^=90°−45°=45°.
Tam giác TAR có TAR^=TRA^=45° nên tam giác TAR cân tại T.
Do đó AT = RT.
Ba thành phố A, B, C được nối với nhau bởi ba xa lộ (Hình 9). Người ta muốn tìm một địa điểm để làm một sân bay sao cho địa điểm này phải cách đều ba xa lộ đó. Hãy xác định vị trí của sân bay thỏa mãn điều kiện trên và giải thích cách thực hiện.
Ba xa lộ tạo thành ba cạnh của tam giác ABC.
Sân bay cách đều ba xa lộ AB, BC, CA nên địa điểm làm sân bay là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC.
Ta có hình vẽ sau:
