10 Bài tập Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc (có lời giải)

Vì G là trọng tâm ΔABC và AM là đường trung tuyến nên \[AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.9 = 6\] (cm).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác MNP có các tia phân giác góc N và góc P cắt nhau tại I nên I là giao điểm của ba đường phân giác trong ΔMNP.

Khi đó IE = ID = 5 cm (tính chất ba đường phân giác của tam giác).

Đáp án đúng là: C

Do BI, CI lần lượt là đường phân giác của \[\widehat {ACB}\] và \[\widehat {ABC}\] nên

\(\widehat {ABC} = 2\widehat {IBC} = 2 \cdot 23^\circ = 46^\circ ;\) \[\widehat {ACB} = 2\widehat {ICB} = 2 \cdot 37^\circ = 74^\circ .\]

Xét ∆ABC có \(\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra \(\widehat {BAC} = 180^\circ - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right) = 180^\circ - \left( {46^\circ + 74^\circ } \right) = 60^\circ .\)

Lại có hai đường phân giác BI, CI cắt nhau tại I nên AI là tia phân giác của \[\widehat {BAC}.\]

Khi đó \[x = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = 30^\circ .\]

Đáp án đúng là: A

Xét ΔBIC có \[\widehat {BIC} + \widehat {IBC} + \widehat {ICB} = 180^\circ \] (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra \[\widehat {IBC} + \widehat {ICB} = 180^\circ - \widehat {BIC} = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \].

Do BI, CI lần lượt là đường phân giác của \[\widehat {ACB}\] và \[\widehat {ABC}\] nên

\[\widehat {IBC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC};\,\,\widehat {ICB} = \frac{1}{2}\widehat {ACB}.\]

Suy ra \[\frac{1}{2}\widehat {ABC} + \frac{1}{2}\widehat {ACB} = 40^\circ \] hay \[\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 80^\circ .\]

Xét ΔABC có \[\widehat {ABC} + \widehat {ACB} + \widehat {BAC} = 180^\circ \] (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra \[\widehat {BAC} = 180^\circ - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ .\]

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Xét ∆ABC có I là giao điểm các đường phân giác trong của góc B và C nên AI là tia phân giác của góc BAC.

Suy ra ID = IE (tính chất tia phân giác).

Do đó: x – 3 = 2x – 9

Hay 2x – x = 9 – 3.

Vậy: x = 6 (cm).

Xét ∆ABC có I là giao điểm của hai tia phân giác \[\widehat A\] và \[\widehat B\] nên CI là tia phân giác của \(\widehat C.\)

Vì MN // BC nên \[{\widehat C_1} = {\widehat I_2}\] (hai góc so le trong).

Mà \[{\widehat C_1} = {\widehat C_2}\] nên \[{\widehat C_2} = {\widehat I_2}\]

Do đó ΔNIC cân tại N nên NC = NI.   (1)

Tương tự, ta có: MB = MI.        (2)

Từ (1) và (2) ta có: MI + IN = BM + CN hay MN = BM + CN.

Đáp án đúng là: C

Gọi Ax là tia đối của AB.

Ta có \[\widehat {BAD} = \widehat {DAC} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} = 60^\circ \] (vì AD là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\]) nên \[\widehat {CAx} = 60^\circ \]

Ta có \[\widehat {DAC} = \widehat {CAx} = 60^\circ \] nên AE là tia phân giác ngoài tại đỉnh A của ΔABD.

Xét ΔABD có AE là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh A, BE là tia phân giác của \[\widehat B\] và chúng cắt nhau tại E, nên DE là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh D (theo kết quả của Ví dụ 3)

Mà \[{\widehat D_2}\] là góc ngoài tại đỉnh D của ΔBED nên \[{\widehat D_2} = \widehat {BED} + {\widehat B_2}\].

Do đó \[\widehat {BED} = {\widehat D_2} - {\widehat B_2} = \frac{{\widehat {ADC}}}{2} - \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = \frac{{\widehat {ADC} - \widehat {ABC}}}{2}\]

Xét ΔABD có \(\widehat {ADC}\) là góc ngoài tại đỉnh D của tam giác nên \(\widehat {ADC} = \widehat {ABD} + \widehat {BAD}\)

Hay \(\widehat {ADC} = \widehat {ABC} + \widehat {BAD}\) nên \[\widehat {ADC} - \widehat {ABC} = \widehat {BAD}\]

Do đó \[\widehat {BED} = \,\,\frac{{\widehat {ADC} - \widehat {ABC}}}{2} = \frac{{\widehat {BAD}}}{2} = 30^\circ .\]

⦁ Tam giác BAC có M là trung điểm của BC nên suy ra MB = MC (1)

Xét ∆ABD có U là giao của hai đường trung tuyến BM và DE nên U là trọng tâm của ∆ABD.

Suy ra \[BU = \frac{2}{3}BM\]      (2)

Từ đó ta có: \[UM = BM - BU = BM - \frac{2}{3}BM = \frac{1}{3}BM\] (3)

Do đó khẳng định C là sai. Đến đây ta có thể chọn phương án C.

⦁ Xét phương án D:

Xét ∆ACD có V là giao của hai đường trung tuyến CM và DF nên V là trọng tâm của ∆ACD.

Suy ra \[CV = \frac{2}{3}CM\] (4)

Từ đó ta có: \[MV = CM - CV = CM - \frac{2}{3}CM = \frac{1}{3}CM\] (5)

Từ (1), (3), (5) ta có: \[UV = UM + MV = \frac{1}{3}MB + \frac{1}{3}MC = \frac{2}{3}MB\] (6)

Do đó khẳng định D là đúng.

⦁ Xét phương án A và B:

Từ (1), (2), (4), (6) ta có: \[BU = UV = VC = \frac{2}{3}MB\].

Do đó khẳng định A và B là đúng.

Vậy ta chọn phương án C.