10 Bài tập Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc (có lời giải)

Vì G là trọng tâm ΔABC và AM là đường trung tuyến nên \[AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.9 = 6\] (cm).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác MNP có các tia phân giác góc N và góc P cắt nhau tại I nên I là giao điểm của ba đường phân giác trong ΔMNP.

Khi đó IE = ID = 5 cm (tính chất ba đường phân giác của tam giác).

Đáp án đúng là: C

Do BI, CI lần lượt là đường phân giác của \[\widehat {ACB}\] và \[\widehat {ABC}\] nên

\(\widehat {ABC} = 2\widehat {IBC} = 2 \cdot 23^\circ = 46^\circ ;\)\[\widehat {ACB} = 2\widehat {ICB} = 2 \cdot 37^\circ = 74^\circ .\]

Xét ∆ABC có \(\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra \(\widehat {BAC} = 180^\circ - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right) = 180^\circ - \left( {46^\circ + 74^\circ } \right) = 60^\circ .\)

Lại có hai đường phân giác BI, CI cắt nhau tại I nên AI là tia phân giác của \[\widehat {BAC}.\]

Khi đó \[x = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = 30^\circ .\]

Đáp án đúng là: A

Xét ΔBIC có \[\widehat {BIC} + \widehat {IBC} + \widehat {ICB} = 180^\circ \] (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra \[\widehat {IBC} + \widehat {ICB} = 180^\circ - \widehat {BIC} = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \].

Do BI, CI lần lượt là đường phân giác của \[\widehat {ACB}\] và \[\widehat {ABC}\] nên

\[\widehat {IBC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC};\,\,\widehat {ICB} = \frac{1}{2}\widehat {ACB}.\]

Suy ra \[\frac{1}{2}\widehat {ABC} + \frac{1}{2}\widehat {ACB} = 40^\circ \] hay \[\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 80^\circ .\]

Xét ΔABC có \[\widehat {ABC} + \widehat {ACB} + \widehat {BAC} = 180^\circ \] (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra \[\widehat {BAC} = 180^\circ - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ .\]

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Xét ∆ABC có I là giao điểm các đường phân giác trong của góc B và C nên AI là tia phân giác của góc BAC.

Suy ra ID = IE (tính chất tia phân giác).

Do đó: x – 3 = 2x – 9

Hay 2x – x = 9 – 3.

Vậy: x = 6 (cm).

Xét ∆ABC có I là giao điểm của hai tia phân giác \[\widehat A\] và \[\widehat B\] nên CI là tia phân giác của \(\widehat C.\)

Vì MN // BC nên \[{\widehat C_1} = {\widehat I_2}\] (hai góc so le trong).

Mà \[{\widehat C_1} = {\widehat C_2}\] nên \[{\widehat C_2} = {\widehat I_2}\]

Do đó ΔNIC cân tại N nên NC = NI.   (1)

Tương tự, ta có: MB = MI.        (2)

Từ (1) và (2) ta có: MI + IN = BM + CN hay MN = BM + CN.

Đáp án đúng là: C

Gọi Ax là tia đối của AB.

Ta có \[\widehat {BAD} = \widehat {DAC} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} = 60^\circ \] (vì AD là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\]) nên \[\widehat {CAx} = 60^\circ \]

Ta có \[\widehat {DAC} = \widehat {CAx} = 60^\circ \] nên AE là tia phân giác ngoài tại đỉnh A của ΔABD.

Xét ΔABD có AE là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh A, BE là tia phân giác của \[\widehat B\] và chúng cắt nhau tại E, nên DE là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh D (theo kết quả của Ví dụ 3)

Mà \[{\widehat D_2}\] là góc ngoài tại đỉnh D của ΔBED nên \[{\widehat D_2} = \widehat {BED} + {\widehat B_2}\].

Do đó \[\widehat {BED} = {\widehat D_2} - {\widehat B_2} = \frac{{\widehat {ADC}}}{2} - \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = \frac{{\widehat {ADC} - \widehat {ABC}}}{2}\]

Xét ΔABD có \(\widehat {ADC}\) là góc ngoài tại đỉnh D của tam giác nên \(\widehat {ADC} = \widehat {ABD} + \widehat {BAD}\)

Hay \(\widehat {ADC} = \widehat {ABC} + \widehat {BAD}\) nên \[\widehat {ADC} - \widehat {ABC} = \widehat {BAD}\]

Do đó \[\widehat {BED} = \,\,\frac{{\widehat {ADC} - \widehat {ABC}}}{2} = \frac{{\widehat {BAD}}}{2} = 30^\circ .\]

⦁ Tam giác BAC có M là trung điểm của BC nên suy ra MB = MC (1)

Xét ∆ABD có U là giao của hai đường trung tuyến BM và DE nên U là trọng tâm của ∆ABD.

Suy ra \[BU = \frac{2}{3}BM\]      (2)

Từ đó ta có: \[UM = BM - BU = BM - \frac{2}{3}BM = \frac{1}{3}BM\] (3)

Do đó khẳng định C là sai. Đến đây ta có thể chọn phương án C.

⦁ Xét phương án D:

Xét ∆ACD có V là giao của hai đường trung tuyến CM và DF nên V là trọng tâm của ∆ACD.

Suy ra \[CV = \frac{2}{3}CM\] (4)

Từ đó ta có: \[MV = CM - CV = CM - \frac{2}{3}CM = \frac{1}{3}CM\] (5)

Từ (1), (3), (5) ta có: \[UV = UM + MV = \frac{1}{3}MB + \frac{1}{3}MC = \frac{2}{3}MB\] (6)

Do đó khẳng định D là đúng.

⦁ Xét phương án A và B:

Từ (1), (2), (4), (6) ta có: \[BU = UV = VC = \frac{2}{3}MB\].

Do đó khẳng định A và B là đúng.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: A

Xét DMNP có ba đường phân giác MA, NB, PC cắt nhau tại I nên I cách đều ba cạnh của tam giác. Điểm I không phải là giao điểm ba đường trung trực của tam giác nên không cách đều ba đỉnh. Do đó (I), (III) là sai.

Vì MI là tia phân giác của góc NMP nên \(\widehat {NMI} = \widehat {PMI} = \frac{1}{2}\widehat {PMN}\).

Vì NI là tia phân giác của góc MNP nên \(\widehat {MNI} = \widehat {PNI} = \frac{1}{2}\widehat {MNP}\).

Vì PI là đường phân giác của góc MPN nên \(\widehat {NPI} = \widehat {MPI} = \frac{1}{2}\widehat {MPN}\).

Xét DMIP có \(\widehat {MIP} + \widehat {MPI} + \widehat {PMI} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong một tam giác)

Nên \(\widehat {MIP} = 180^\circ - \left( {\widehat {MPI} + \widehat {PMI}} \right)\)

Suy ra \(\widehat {MIP} = 180^\circ - \frac{1}{2}\left( {\widehat {MPN} + \widehat {PMN}} \right)\).

Xét DMNP có \(\widehat {MNP} + \widehat {MPN} + \widehat {PMN} = 180^\circ \)(tổng ba góc trong một tam giác)

Nên \(\widehat {MPN} + \widehat {PMN} = 180^\circ - \widehat {MNP}\).

Do đó \(\widehat {MIP} = 180^\circ - \frac{1}{2}\left( {180^\circ - \widehat {MNP}} \right)\)

Hay \(\widehat {MIP} = 180^\circ - 90^\circ + \frac{1}{2}\widehat {MNP} = 90^\circ + \frac{1}{2}\widehat {MNP}\).

Ta có \(\widehat {MIP} + \widehat {PIA} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Nên \(\widehat {PIA} = 180^\circ - \widehat {MIP} = 180^\circ - \left( {90^\circ + \frac{1}{2}\widehat {MNP}} \right) = 90^\circ - \frac{1}{2}\widehat {MNP}\)(1)

Vì DINH vuông tại H nên \(\widehat {HIN} + \widehat {HNI} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Suy ra \(\widehat {HIN} = 90^\circ - \widehat {HNI} = 90^\circ - \frac{1}{2}\widehat {MNP}\)     (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {NIH} = \widehat {PIA}\). Do đó (II) là đúng.

Vậy ta chọn phương án B.