Bài tập Bài 3. Phép cộng, phép trừ đa thức một biến có đáp án

Để cộng hoặc trừ hai đa thức một biến ta làm một trong hai cách sau:

Cách 1. Cộng, trừ đa thức theo hàng ngang:

- Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;

- Viết tổng (hiệu) hai đa thức theo hàng ngang;

- Nhóm các đơn thức có cùng số mũ của biến với nhau;

- Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được tổng cần tìm.

Cách 2. Cộng, trừ đa thức theo cột dọc:

- Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;

- Đặt phép tính cộng, trừ hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột dọc tương ứng như cộng, trừ các số.

a) Ta có:

5x² + 7x² = (5 + 7)x² = 12x².

ax^k + bx^k = (a + b)x^k (k ∈ℕ*).

b) Quy tắc cộng hai đơn thức có cùng số mũ của biến:

Để cộng hai đơn thức có cùng số mũ của biến, ta cộng hai hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.

a)

Ta có:

P(x) = 5x² + 4 + 2x = 5x² + 2x + 4;

Q(x) = 8x + x² + 1 = x² + 8x + 1.

Vậy các đa thức P(x), Q(x) được sắp xếp theo số mũ giảm dần của biến là:

P(x) = 5x² + 2x + 4; Q(x) = x² + 8x + 1.

b) Ta điền vào bảng như sau:

Đa thức	Đơn thức có số mũ 2 của biến (Đơn thức chứa x2)	Đơn thức có số mũ 1 của biến (Đơn thức chứa x)	Số hạng tự do (Đơn thức không chứa x)
P(x)	5x2	2x	4
Q(x)	x2	8x	1
R(x)	6x2	10x	5

c) Dựa vào bảng trên ta thấy:

Đa thức R(x) có đơn thức chứa x²là 6x²; đơn thức chứa xlà 10x; đơn thức không chứa xlà 5.

Do đó đa thức R(x) = 6x² + 10x + 5.

Cách làm của bạn Dũng chưa đúng vì:

- Các đơn thức 3x và 6 không có cùng số mũ của biến nên chúng không được viết ở cùng cột.

- Các đơn thức – 1 và 2x không có cùng số mũ của biến nên chúng không được viết ở cùng cột.

- Các đơn thức 3x và 2x sẽ được viết cùng cột (cùng có số mũ của biến là 1); các đơn thức 6 và – 1 sẽ được viết cùng cột (cùng số mũ của biến là 0).

Cách viết đúng là:

+                       Px=6x2+3x−1                   Qx=8x2+2x +6   ¯       Px+Qx=14x2+5x+5 

a) P(x) = -2x² + 1 + 3x = -2x² + 3x + 1.

Q(x) = -5x + 3x² + 4 = 3x² + (-5x) + 4 = 3x² - 5x + 4.

Vậy các đa thức P(x) và Q(x) được sắp xếp theo số mũ giảm dần của biến là:

P(x) = -2x² + 3x + 1;Q(x) = 3x² - 5x + 4.

b) P(x) + Q(x) = (-2x² + 3x + 1) + (3x² - 5x + 4)

= -2x² + 3x + 1 + 3x² - 5x + 4.

c) P(x) + Q(x) = (-2x² + 3x²) + (3x - 5x) + (1 + 4).

d) P(x) + Q(x) = (-2x² + 3x²) + (3x - 5x) + (1 + 4)

= x² - 2x + 5.

Cách 1. Tính tổng theo hàng ngang:

P(x) + Q(x) = (2x³ + 32x² + 5x - 2) + (-8x³ + 4x² + 6 + 3x)

= 2x³ + 32x² + 5x - 2 - 8x³ + 4x² + 6 + 3x

= (2x³ - 8x³) + (32x² + 4x²) + (5x + 3x) + (-2 + 6)

= -6x³ + 112x² + 8x + 4.

Vậy P(x) + Q(x) = -6x³ + 112x² + 8x + 4.

Cách 2. Tính tổng theo cột dọc:

                  + Px=    2x3+32x2+5x−2Qx=−8x3+4x2+3x+6¯ Px+Qx=−6x3+112x2+8x+4

 

Vậy P(x) + Q(x) = -6x³ + 112x² + 8x + 4.

a) Ta thực hiện phép trừ như sau:

2x² - 6x² = (2 - 6)x² = -4x².

ax^k - bx^k = (a - b)x^k (k ∈ℕ*).

b) Quy tắc trừ hai đơn thức có cùng số mũ của biến:

Để trừ hai đơn thức có cùng số mũ của biến, ta trừ hai hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.

a) Ta có:

P(x) = 4x² + 1 + 3x = 4x² + 3x + 1.

Q(x) = 5x + 2x² + 3 = 2x² + 5x + 3.

Vậy các đa thức P(x), Q(x) được sắp xếp theo số mũ giảm dần của biến là:

P(x) = 4x² + 3x + 1;Q(x) = 2x² + 5x + 3.

b) Ta điền vào bảng như sau:

b)

Đa thức	Đơn thức có số mũ 2 của biến (Đơn thức chứa x2)	Đơn thức có số mũ 1 của biến (Đơn thức chứa x)	Số hạng tự do (Đơn thức không chứa x)
P(x)	4x2	3x	1
Q(x)	2x2	5x	3
S(x)	2x2	-2x	-2

c) Dựa vào bảng trên ta thấy:

Đa thức S(x) có đơn thức chứa x²là 2x²; đơn thức chứa xlà -2x; đơn thức không chứa xlà -2.

Do đó đa thức S(x) = 2x² - 2x - 2.

Sắp xếp đa thức theo thứ tự giảm dần số mũ của biến và đặt phép tính ta được:

−                  2x2−5x−13−6x4+5x2+3x+23¯   6x4     −3x2−8x   −1

 

Vậy P(x) - Q(x) = 6x⁴ - 3x² - 8x - 1.

a) Ta có:

P(x) = -3x² + 2 + 7x = -3x² + 7x + 2.

Q(x) = -4x + 5x² + 1 = 5x² + (-4x) + 1 = 5x² - 4x + 1.

Vậy các đa thức P(x) và Q(x) được sắp xếp theo số mũ giảm dần của biến là:

P(x) = -3x² + 7x + 2; Q(x) = 5x² - 4x + 1.

b) P(x) - Q(x) = -3x² + 7x + 2 - (5x² - 4x + 1)

c) P(x) - Q(x) = -3x² + 7x + 2 - (5x² - 4x + 1)

= -3x² + 7x + 2 - 5x² + 4x - 1

= (-3x² - 5x²) + (7x + 4x) + (2 - 1)

d) P(x) - Q(x) = (-3x² - 5x²) + (7x + 4x) + (2 - 1)

= -8x² + 11x + 1.

Vậy P(x) - Q(x) = -8x² + 11x + 1.

Cách 1. Tính hiệu theo hàng ngang:

P(x) - Q(x) = 6x³ + 8x² + 5x - 2 - (-9x³ + 6x² + 3 + 2x)

= 6x³ + 8x² + 5x - 2 + 9x³ - 6x² - 3 - 2x

= (6x³ + 9x³) + (8x² - 6x²) + (5x - 2x) + (-2 - 3)

= 15x³ + 2x² + 3x - 5.

Vậy P(x) - Q(x) = 15x³ + 2x² + 3x - 5.

Cách 2. Tính hiệu theo cột dọc:

Ta có: Q(x) = -9x³ + 6x² + 3 + 2x = -9x³ + 6x² + 2x + 3.

−6x3−9x3++8x26x2++5x2x−+23¯   15x3+2x2+3x−5

Vậy P(x) - Q(x) = 15x³ + 2x² + 3x - 5.

a) R(x) + S(x) = (-8x⁴ + 6x³ + 2x² - 5x + 1) + (x⁴ - 8x³ + 2x + 3)

= -8x⁴ + 6x³ + 2x² - 5x + 1 + x⁴ - 8x³ + 2x + 3.

= (-8x⁴ + x⁴) + (6x³ - 8x³) + 2x² + (-5x + 2x) + (1 + 3).

= -7x⁴ - 2x³ + 2x² - 3x + 4.

Vậy R(x) + S(x) = -7x⁴ - 2x³ + 2x² - 3x + 4.

b) R(x) - S(x) = (-8x⁴ + 6x³ + 2x² - 5x + 1) - (x⁴ - 8x³ + 2x + 3)

= -8x⁴ + 6x³ + 2x² - 5x + 1 - x⁴ + 8x³ - 2x - 3

= (-8x⁴ - x⁴) + (6x³ + 8x³) + 2x² + (-5x - 2x) + (1 - 3)

= -9x⁴ + 14x³ + 2x² - 7x - 2

Vậy R(x) - S(x) = -9x⁴ + 14x³ + 2x² - 7x - 2.

Ta có:

A(x) + B(x) = -8x⁵ + 6x⁴ + 2x² - 5x + 1 + 8x⁵ + 8x³ + 2x - 3.

= (-8x⁵ + 8x⁵) + 6x⁴ + 8x³ + 2x² + (-5x + 2x) + (1 - 3).

= 6x⁴ + 8x³ + 2x² - 3x - 2

Khi đó bậc của đa thức A(x) + B(x) bằng 4.

A(x) - B(x) = -8x⁵ + 6x⁴ + 2x² - 5x + 1 - (8x⁵ + 8x³ + 2x - 3)

= -8x⁵ + 6x⁴ + 2x² - 5x + 1 - 8x⁵ - 8x³ - 2x + 3

= (-8x⁵ - 8x⁵) + 6x⁴ - 8x³ + 2x² + (-5x - 2x) + (1 + 3)

= -16x⁵ + 6x⁴ - 8x³ + 2x² - 7x + 4

Khi đó bậc của đa thức A(x) - B(x) bằng 5.

a) Tiền lãi bác Ngọc nhận được ở ngân hàng thứ hai là:

80 . (x + 1,5)% = 80.x+1,5100 = 45(x + 1,5) (triệu đồng).

Khi đó tổng cả gốc và lãi bác Ngọc nhận được ở ngân hàng thứ hai là:

80 + 45(x + 1,5) (triệu đồng).

Vậy hết kì hạn 1 năm, bác Ngọc có được cả gốc và lãi ở ngân hàng thứ hai là  80+45(x+1,5) (triệu đồng).

b) Tiền lãi bác Ngọc nhận được ở ngân hàng thứ nhất là:

90 . x% = 90 . x100 = 910x (triệu đồng).

Tiền lãi bác Ngọc nhận được ở cả hai ngân hàng là:

45(x + 1,5) + 910x (triệu đồng).

Tiền gốc bác Ngọc gửi ở hai ngân hàng là:

90 + 80 = 170 (triệu đồng).

Khi đó tổng cả gốc và lãi bác Ngọc nhận được ở hai ngân hàng là:

170 + 45(x + 1,5) + 910x (triệu đồng).

Vậy hết kì hạn 1 năm, bác Ngọc có được cả gốc và lãi ở cả hai ngân hàng là  170+45(x+1,5)+910x (triệu đồng).

Thể tích nước trong can ban đầu là 10 lít = 10 dm³.

Thể tích nước trong bể khi mực nước có chiều cao h (cm) là:

20 . 20 . h = 400h (cm³).

Đổi 400h cm³ = 0,4h dm³.

Thể tích nước trong bể bằng thể tích nước trong can rót ra nên thể tích nước còn lại trong can là: 10 - 0,4h (dm³).

Vậy thể tích nước còn lại trong can là: 10 - 0,4h (dm³).

Minh và Quân nói như vậy là không đúng do tổng hoặc hiệu của hai đa thức bậc bốn có thể không phải là đa thức bậc bốn.

Chẳng hạn:

A(x) = x⁴ + 1; B(x) = -x⁴ + x³; C(x) = x⁴.

Khi đó A(x) + B(x) = x⁴ + 1 + (-x⁴ + x³) = x⁴ + 1 - x⁴ + x³ = (x⁴ - x⁴) + x³ + 1 = x³ + 1 là đa thức bậc ba.

A(x) - C(x) = x⁴ + 1 - x⁴ = (x⁴ - x⁴) + 1 = 1 là đa thức bậc không.