Bài tập Bài 13. Tính chất ba đường cao của tam giác có đáp án

Vì M, N, P lần lượt là hình chiếu của A, B, C trên các đường thẳng BC, CA, AB nên AM, BN, CP là ba đường cao tương ứng kẻ lần lượt từ ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC.

Do đó ba đường thẳng AM, BN, CP tương ứng là đường cao của các đoạn thẳng BC, CA, AB.

Ta có hình vẽ sau:

Đường cao đi qua B và vuông góc với AC là AB.

Đường cao đi qua C và vuông góc với AB là AC.

Ta thấy ba đường cao AM, BN, CP của tam giác ABC cùng đi qua điểm H.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB.

Do H là trực tâm của tam giác ABC nên CH $\perp$ AB, BH $\perp$ AC hay CN $\perp$ AB, BM $\perp$ AC.

Lại có H là trọng tâm của tam giác ABC nên BM, CN là các đường trung tuyến của tam giác ABC.

Khi đó BM vuông góc với AC tại trung điểm M của AC nên BM là đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Do đó BA = BC (1).

Do CN vuông góc với AB tại trung điểm N của AB nên CN là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Do đó CA = CB (2).

Từ (1) và (2) suy ra AB = BC = CA nên tam giác ABC đều.

a) H là trực tâm của tam giác ABC nên AH $\perp$ BC.

b) H là trực tâm của tam giác ABC nên BH $\perp$ CA.

c) H là trực tâm của tam giác ABC nên CH $\perp$ AB.

- Vẽ tam giác ABC nhọn.

- Từ ba đỉnh A, B, C của tam giác ta vẽ ba đường cao. Ba đường cao này cắt nhau tại điểm H. Khi đó H là trực tâm của tam giác ABC (H nằm trong tam giác ABC).

b) Cách vẽ:

- Vẽ tam giác ABC vuông tại A.

- Từ ba đỉnh A, B, C của tam giác ta vẽ ba đường cao.

Trong tam giác ABC có AB ⊥ AC, AC ⊥ AB.

Do đó AB và AC là hai đường cao của tam giác ABC.

Mà AB cắt AC tại A nên A là trực tâm của tam giác ABC.

Do đó A trùng H.

c) Cách vẽ:

- Vẽ tam giác ABC có góc A tù.

- Từ ba đỉnh A, B, C của tam giác ta vẽ ba đường cao. Ba đường cao này cắt nhau tại điểm H. Khi đó H là trực tâm của tam giác ABC (H nằm ngoài tam giác ABC).

Tam giác ABC có DA $\perp$ BC, DB $\perp$ CA.

Mà DA cắt DB tại D nên D là trực tâm của tam giác ABC.

Do đó DC $\perp$ AB.