Bài tập Bài 13. Tính chất ba đường cao của tam giác có đáp án

Vì M, N, P lần lượt là hình chiếu của A, B, C trên các đường thẳng BC, CA, AB nên AM, BN, CP là ba đường cao tương ứng kẻ lần lượt từ ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC.

Do đó ba đường thẳng AM, BN, CP tương ứng là đường cao của các đoạn thẳng BC, CA, AB.

Hình chiếu M của điểm A trên đường thẳng BC nên AM ^ BC tại M.

Ta sử dụng thước ê ke để vẽ AM ^ BC tại M như sau:

+ Một cạnh góc vuông của thước ê ke trùng với cạnh BC;

+ Cạnh góc vuông còn lại của thước ê ke đi qua điểm A.

Khi đó, ta vẽ đường thẳng theo cạnh góc vuông đó của ê ke, đường thẳng này cắt cạnh BC tại một điểm, điểm này là điểm M cần vẽ.

Ta có hình vẽ sau:

Đường cao đi qua B và vuông góc với AC là AB.

Đường cao đi qua C và vuông góc với AB là AC.

Vậy đường cao đi qua B là AC, đường cao đi qua C là AB.

Ta thấy ba đường cao AM, BN, CP của tam giác ABC cùng đi qua điểm H.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB.

Do H là trực tâm của tam giác ABC nên CH ⊥ AB, BH ⊥ AC hay CN ⊥ AB, BM ⊥ AC.

Lại có H là trọng tâm của tam giác ABC nên BM, CN là các đường trung tuyến của tam giác ABC.

Khi đó BM vuông góc với AC tại trung điểm M của AC nên BM là đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Do đó BA = BC (1).

Do CN vuông góc với AB tại trung điểm N của AB nên CN là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Do đó CA = CB (2).

Từ (1) và (2) suy ra AB = BC = CA nên tam giác ABC đều.

Tam giác ABC có H là trực tâm, H không trùng với đỉnh nào của tam giác nên tam giác ABC không phải là tam giác vuông.

Một số tính chất của cặp đường thẳng như sau:

a) H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC.

b) H là trực tâm của tam giác ABC nên BH ⊥ CA.

c) H là trực tâm của tam giác ABC nên CH ⊥ AB.

a) Cách vẽ:

- Vẽ tam giác ABC nhọn.

- Từ ba đỉnh A, B, C của tam giác ta vẽ ba đường cao. Ba đường cao này cắt nhau tại điểm H. Khi đó H là trực tâm của tam giác ABC (H nằm trong tam giác ABC).

Ta có hình vẽ sau:

Ta thấy H nằm trong tam giác ABC.

b) Cách vẽ:

- Vẽ tam giác ABC vuông tại A.

- Từ ba đỉnh A, B, C của tam giác ta vẽ ba đường cao.

Trong tam giác ABC có AB ⊥ AC, AC ⊥ AB.

Do đó AB và AC là hai đường cao của tam giác ABC.

Mà AB cắt AC tại A nên A là trực tâm của tam giác ABC.

Do đó A trùng H.

Ta có hình vẽ sau:

Ta thấy trong tam giác ABC: AB ⊥ AC, AC ⊥ AB.

Do đó AB và AC là hai đường cao của tam giác ABC.

Mà AB cắt AC tại A nên A là trực tâm của tam giác ABC.

Do đó A trùng H.

c) Cách vẽ:

- Vẽ tam giác ABC có góc A tù.

- Từ ba đỉnh A, B, C của tam giác ta vẽ ba đường cao. Ba đường cao này cắt nhau tại điểm H. Khi đó H là trực tâm của tam giác ABC (H nằm ngoài tam giác ABC).

 Ta có hình vẽ sau:

Ta thấy H nằm ngoài tam giác ABC.

Tam giác ABC có DA ⊥ BC, DB ⊥ CA.

Mà DA cắt DB tại D nên D là trực tâm của tam giác ABC.

Do đó DC ⊥ AB.

Do H là trực tâm của tam giác ABC nên CH ⊥ AB và AH ⊥ BC.

Do K là trực tâm của tam giác ADC nên AK ⊥ CD và CK ⊥ AD.

Do AB // CD nên AK ⊥ AB.

Mà CH ⊥ AB nên AK // CH.

Do AD // BC nên AH ⊥ AD.

Mà CK ⊥ AD nên AH // CK.

Vậy AK // CH, AH // CK (đpcm).

a)

b)