Bài tập Bài 11. Tính chất ba đường phân giác của tam giác có đáp án
10 câu hỏi
Bạn Ngân gấp một miếng bìa hình tam giác để các nếp gấp tạo thành ba tia phân giác của các góc ở đỉnh của tam giác đó (Hình 109).
Ba nếp gấp đó có đặc điểm gì?
Ba nếp gấp chia ba góc tại ba đỉnh của tam giác thành hai góc bằng nhau tương ứng với mỗi đỉnh. Và chúng cắt nhau tại một điểm
Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D (Hình 110). Các đầu mút của đoạn thẳng AD có đặc điểm gì?
Hai đầu mút của đoạn thẳng AD là hai điểm A và D.
Ta thấy: A là đỉnh của tam giác ABC, D là giao điểm của đường phân giác của góc A và cạnh BC.
Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường phân giác AD. Chứng minh AD cũng là đường trung tuyến của tam giác đó.
Quan sát các đường phân giác AD, BE, CK của tam giác ABC (Hình 114), cho biết ba đường phân giác đó có cùng đi qua một điểm hay không.
Quan sát Hình 114, ta thấy ba đường phân giác AD, BE, CK của tam giác ABC cùng đi qua điểm I.
Do đó, ba đường phân giác AD, BE, CK cùng đi qua một điểm.
Tìm số đo x trong Hình 115.
Ta thấy đường phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I nên I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC.
Do đó AI là đường phân giác của BAC^.
Suy ra x=BAI^=CAI^=30o.
Suy ra x = 30o.
Quan sát giao điểm I của ba đường phân giác trong tam giác ABC (Hình 116) và so sánh độ dài ba đoạn thẳng IM, IN, IP.
Cho tam giác ABC có I là giao điểm của ba đường phân giác. M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: IA, IB, IC lần lượt là đường trung trực của các đoạn thẳng NP, PM, MN.
+) Chứng minh IA là đường trung trực của NP.
Do IP = IN nên I thuộc đường trung trực của NP.
Xét ΔAIP vuông tại P và ΔAIN vuông tại N có:
AI chung.
IP = IN (theo giả thiết).
Do đó ΔAIP=ΔAIN (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra AP = AN (hai cạnh tương ứng).
Do AP = AN nên A thuộc đường trung trực của NP.
Do đó IA là đường trung trực của NP.
+) Chứng minh IB là đường trung trực của PM.
Do IP = IM nên I thuộc đường trung trực của PM.
Xét ΔBIP vuông tại P và ΔBIM vuông tại M có:
Cạnh BI chung.
IP = IM (theo giả thiết).
Do đó ΔBIP=ΔBIM (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra BP = BM (hai cạnh tương ứng).
Do BP = BM nên B thuộc đường trung trực của PM.
Do đó IB là đường trung trực của PM.
+) Chứng minh IC là đường trung trực của MN.
Do IM = IN nên I thuộc đường trung trực của MN.
Xét ΔCIM vuông tại M và ΔCIN vuông tại N có:
Cạnh CI chung.
IM = IN (theo giả thiết).
Do đó ΔCIM=ΔCIN (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra CM = CN (hai cạnh tương ứng).
Do CM = CN nên C thuộc đường trung trực của MN.
Do đó IC là đường trung trực của MN.
Vậy IA, IB, IC lần lượt là đường trung trực của các đoạn thẳng NP, PM, MN.
Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB.
a) Các tam giác IMN, INP, IPM có là tam giác cân không? Vì sao?
b) Các tam giác ANP, BPM, CMN có là tam giác cân không? Vì sao?
a) Tam giác ABC có I là giao điểm ba đường phân giác nên I cách đều 3 cạnh của tam giác ABC.
Do đó IM = IN = IP.
Do IM = IN nên tam giác IMN cân tại I.
Do IN = IP nên tam giác INP cân tại I.
Do IP = IM nên tam giác IPM cân tại I.
Vậy các tam giác IMN, INP, IPM là tam giác cân.
b) Xét ΔAIP vuông tại P và ΔAIN vuông tại N có:
AI chung.
IP = IN (theo giả thiết).
Do đó ΔAIP=ΔAIN (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra AP = AN (hai cạnh tương ứng).
Tam giác ANP có AP = AN nên tam giác ANP cân tại A.
Xét ΔBIP vuông tại P và ΔBIM vuông tại M có:
BI chung.
IP = IM (theo giả thiết).
Do đó ΔBIP=ΔBIM (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra BP = BM (hai cạnh tương ứng).
Tam giác BPM có BP = BM nên tam giác BPM cân tại B.
Xét ΔCIM vuông tại M và ΔCIN vuông tại N có:
CI chung.
IM = IN (theo giả thiết).
Do đó ΔCIM=ΔCIN (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra CM = CN (hai cạnh tương ứng).
Tam giác CMN có CM = CN nên tam giác CMN cân tại C.
Vậy các tam giác ANP, BPM, CMN là tam giác cân.
Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Chứng minh:
a) IAB^+IBC^+ICA^=90°;
b) BIC^=90°+12BAC^.
Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I và AB < AC.
a) Chứng minh CBI^>ACI^;
b) So sánh IB và IC.
