Bài tập Áp dụng định nghĩa và tính chất nguyên hàm lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Cho hàm số f(x) = 3x2 + 2x. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ.
F1(x) = x3 + x2 – 4;
\({F_2}\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}\);
F3(x) = x3 − x2 + 1;
F4(x) = 3x3 + x2.
Đáp án đúng là: A
Vì F1'(x) = 3x2 + 2x = f(x).
Do đó F1(x) = x3 + x2 – 4 là một nguyên hàm của f(x) = 3x2 + 2x trên ℝ.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = x - \frac{1}{{\sqrt x }}\). Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (0; +∞).
\({F_1}\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \sqrt x \);
\({F_2}\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \sqrt x \);
\({F_3}\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + 2\sqrt x \);
\({F_4}\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - 2\sqrt x \).
Đáp án đúng là: D
Có \({F'_4}\left( x \right) = x - \frac{1}{{\sqrt x }} = f\left( x \right)\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 3 + \frac{1}{x}\). Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của f(x) trên (0; +∞).
\({F_1}\left( x \right) = 3x - \frac{1}{{{x^2}}}\);
\({F_2}\left( x \right) = 3x + \ln x\);
\({F_3}\left( x \right) = 3x + \frac{1}{{{x^2}}}\);
F4(x) = 3x – lnx.
Đáp án đúng là: B
Có \({F'_2}\left( x \right) = 3 + \frac{1}{x} = f\left( x \right)\).
Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu
F'(x) = −f(x), ∀x K;
f'(x) = F(x), ∀x K;
F'(x) = f(x), ∀x K;
f'(x) = −F(x), ∀x K.
Đáp án đúng là: C
Theo định nghĩa thì hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu F'(x) = f(x), ∀x K.
Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) xác định trên khoảng K. Mệnh đề nào dưới đây sai?
F(x) = f'(x);
F'(x) = f(x);
\({\left( {\int {f\left( x \right)dx} } \right)^\prime } = F'\left( x \right)\);
\(\int {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + C\).
Đáp án đúng là: A
Theo định nghĩa suy ra A sai.
Cho \(\int {f\left( x \right)dx} = {F_1}\left( x \right),\int {g\left( x \right)dx} = {F_2}\left( x \right)\). Tính \(I = \int {\left[ {2g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]} dx\).
2F1(x) – F2(x) + C;
F2(x) – F1(x) + C;
2F2(x) – F1(x) + C;
|F1(x) + F2(x)| + C.
Đáp án đúng là: C
\(I = \int {\left[ {2g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]} dx\)\( = 2\int {g\left( x \right)} dx - \int {f\left( x \right)} dx = 2{F_2}\left( x \right) - {F_1}(x) + C\).
Khẳng định nào sau đây sai?
\(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} dx = \int {f\left( x \right)dx} + \int {g\left( x \right)dx} \);
\(\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} dx = \int {f\left( x \right)dx} - \int {g\left( x \right)dx} \);
\(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} ,\forall k \in \mathbb{R}\);
\(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} ,\forall k \in \mathbb{R},k \ne 0\).
Đáp án đúng là: C
\(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} ,\forall k \in \mathbb{R},k \ne 0\) nên đáp án C sai.
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ. Số nguyên hàm của hàm số f(x) là
Vô số;
0;
2;
1.
Đáp án đúng là: A
Hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ thì có vô số nguyên hàm trên ℝ.
Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x2. Biểu thức F'(25) bằng
5;
625;
25;
125.
Đáp án đúng là: B
Vì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x2 nên F'(x) = f(x) = x2.
Do đó F'(25) = 252 = 625.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
F(x) = cos2x + 24 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = −sin2x;
F(x) = tanx + 12 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 + tan2x;
F(x) = 362x là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{{1296}^x}}}{{\ln 1296}}\);
F(x) = x(x – 2) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{x + 1}}\) trên (−1; +∞).
Đáp án đúng là: C
Có F(x) = 362x = 1296x. Suy ra F'(x) = 1296x.ln1296.
Cho hàm số \(f(x) = {x^2} - 2x\). Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên tập số thực?
\(F(x) = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2}\).
\(F(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}\).
\(F(x) = {x^3} - {x^2}\).
F(x) = 2x − 2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có \(F'(x) = {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)^\prime } = {x^2} - 2x = f(x)\) với mọi x thuộc tập số thực.
Do đó hàm số \(F(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}\) là một nguyên hàm của hàm số f(x).
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^2} + x\).
\(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + C\).
\(\int {f(x)dx} = {x^3} + {x^2} + C\).
\(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2} + C\).
\(\int {f(x)dx} = 2x + 1 + C\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Kiểm tra các phương án bằng định nghĩa nguyên hàm:
Xét phương án A, ta có: \({\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + C} \right)^\prime } = 3 \cdot \frac{{{x^2}}}{3} + 2 \cdot \frac{x}{2} = {x^2} + x = f(x)\).
Do đó, họ các nguyên hàm của hàm số f(x) là \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + C\).
Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x + \frac{1}{x}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?
\(F(x) = \frac{1}{2}{x^2} - \ln x\).
\(F(x) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x\).
\(F(x) = 1 - \frac{1}{{{x^2}}}\).
\(F(x) = {x^2} + \ln x\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có \(F'(x) = {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + \ln x} \right)^\prime } = x + \frac{1}{x} = f(x)\) với mọi x > 0.
Do đó hàm số \(F(x) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x\) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = - \frac{3}{2}{x^2}\).
\(\int {f(x)dx} = - \frac{3}{2}{x^3} + C\).
\(\int {f(x)dx} = - \frac{1}{2}{x^3} + C\).
\(\int {f(x)dx} = - 3x + C\).
\(\int {f(x)dx} = - \frac{1}{6}{x^3} + C\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta xét đạo hàm của phương án B: \({\left( { - \frac{1}{2}{x^3} + C} \right)^\prime } = - \frac{1}{2} \cdot 3{x^2} = - \frac{3}{2}{x^2} = f(x)\).
Vậy họ các nguyên hàm của hàm số f(x) là \(\int {f(x)dx} = - \frac{1}{2}{x^3} + C\).
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 4x{\left( {x - 1} \right)^2}\).
\(\int {f(x)dx} = {x^4} - \frac{8}{3}{x^3} + 2{x^2} + C\).
\(\int {f(x)dx} = {x^4} - 8{x^3} + 4{x^2} + C\).
\(\int {f(x)dx} = 4{x^4} - \frac{8}{3}{x^3} + 2{x^2} + C\).
\(\int {f(x)dx} = {x^4} + \frac{8}{3}{x^3} + 2{x^2} + C\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có biến đổi: \(4x{\left( {x - 1} \right)^2} = 4x\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = 4{x^3} - 8{x^2} + 4x\).
Kiểm tra đạo hàm phương án A:
\({\left( {{x^4} - \frac{8}{3}{x^3} + 2{x^2} + C} \right)^\prime } = 4{x^3} - \frac{8}{3} \cdot 3{x^2} + 2 \cdot 2x = 4{x^3} - 8{x^2} + 4x = f(x)\).
Vậy \(\int {f(x)dx} = {x^4} - \frac{8}{3}{x^3} + 2{x^2} + C\).
Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'(x) = f(x)\) với mọi x thuộc K.
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số F(x) - C không phải là nguyên hàm của f(x) trên K.
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C (C là hằng số).
Kí hiệu họ các nguyên hàm của f(x) trên K là \(\int {f(x)dx} = F(x) + C\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Đây là định nghĩa cơ bản của nguyên hàm.
b) Sai. Vì \({\left( {F(x) - C} \right)^\prime } = F'(x) = f(x)\), nên F(x) - C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.
c) Đúng. Theo tính chất họ các nguyên hàm của một hàm số.
d) Đúng. Đây là kí hiệu chuẩn mực của họ các nguyên hàm.
Cho hàm số \(f(x) = {x^3}\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Hàm số \(F(x) = \frac{{{x^4}}}{4}\) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên tập số thực.
Hàm số \(G(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - 5\) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên tập số thực.
\(\int {{x^3}dx} = 3{x^2} + C\) với C là hằng số.
Tồn tại duy nhất một hằng số C để nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thỏa mãn F(2) = 5.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Vì \(F'(x) = {\left( {\frac{{{x^4}}}{4}} \right)^\prime } = {x^3} = f(x)\).
b) Đúng. Vì \(G'(x) = {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - 5} \right)^\prime } = {x^3} = f(x)\).
c) Sai. Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) là \(\int {{x^3}dx} = \frac{{{x^4}}}{4} + C\). Biểu thức \(3{x^2}\) là đạo hàm của hàm số f(x).
d) Đúng. Nguyên hàm có dạng \(F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} + C\). Để F(2) = 5 thì \(\frac{{{2^4}}}{4} + C = 5\), suy ra 4 + C = 5 hay C = 1. Đây là giá trị duy nhất thỏa mãn.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), biết \(f'(x) = 2x - \frac{3}{{{x^2}}}\) và f(1) = 2. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Hàm số f(x) là một nguyên hàm của hàm số \(2x - \frac{3}{{{x^2}}}\).
Họ các nguyên hàm của hàm số \(2x - \frac{3}{{{x^2}}}\) là \({x^2} - \frac{3}{x} + C\).
Hàm số f(x) cần tìm là \(f(x) = {x^2} + \frac{3}{x} - 2\).
Giá trị của f(3) bằng 8.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Từ \(f'(x) = 2x - \frac{3}{{{x^2}}}\) suy ra f(x) là một nguyên hàm của hàm số \(2x - \frac{3}{{{x^2}}}\).
b) Sai. Xét đạo hàm của biểu thức \({x^2} + \frac{3}{x} + C\) ta có: \({\left( {{x^2} + \frac{3}{x} + C} \right)^\prime } = 2x - \frac{3}{{{x^2}}}\). Do đó họ nguyên hàm của \(2x - \frac{3}{{{x^2}}}\) phải là \({x^2} + \frac{3}{x} + C\).
c) Đúng. Vì \(f(x) = {x^2} + \frac{3}{x} + C\). Thay x = 1 ta được f(1) = 1 + 3 + C = 4 + C.
Mà f(1) = 2 nên C = −2. Vậy \(f(x) = {x^2} + \frac{3}{x} - 2\).
d) Đúng. Thay x = 3 vào hàm số, ta có \(f(3) = {3^2} + \frac{3}{3} - 2 = 9 + 1 - 2 = 8\).
Xét việc tính nguyên hàm \(I = \int {\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{x^3}}}dx} \) với x > 0. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
\(\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{x^3}}} = \frac{4}{x} + \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}\).
\(\int {\frac{4}{x}dx} = 4\ln x + C\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(\int {\frac{4}{{{x^2}}}dx} = \frac{4}{x} + C\).
\(I = 4\ln x - \frac{4}{x} - \frac{1}{{2{x^2}}} + C\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Khai triển tử số và chia cho mẫu số ta được: \(\frac{{4{x^2} + 4x + 1}}{{{x^3}}} = \frac{4}{x} + \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}\).
b) Đúng. Vì \({\left( {4\ln x} \right)^\prime } = 4 \cdot \frac{1}{x} = \frac{4}{x}\) (với x > 0).
c) Sai. Vì \({\left( {\frac{4}{x}} \right)^\prime } = - \frac{4}{{{x^2}}}\), nên một nguyên hàm của \(\frac{4}{{{x^2}}}\) phải là \( - \frac{4}{x}\).
d) Đúng. Kiểm tra bằng đạo hàm:
\({\left( {4\ln x - \frac{4}{x} - \frac{1}{{2{x^2}}} + C} \right)^\prime } = 4 \cdot \frac{1}{x} - 4\left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) - \frac{1}{2}\left( { - \frac{2}{{{x^3}}}} \right) = \frac{4}{x} + \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}\).
Do đó \(I = 4\ln x - \frac{4}{x} - \frac{1}{{2{x^2}}} + C\).
Cho hai hàm số \(f(x) = 3{x^2}\) và \(g(x) = 2x\) xác định trên tập số thực. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Một nguyên hàm của hàm số f(x) trên tập số thực là hàm số \({x^3}\).
Họ các nguyên hàm của hàm số g(x) là \(\int {g(x)dx} = {x^2} + C\).
Nguyên hàm của một hiệu được tính bằng công thức \(\int {\left[ {f(x) - g(x)} \right]dx} = {x^3} - {x^2} + C\).
Nguyên hàm của một tích được tính bằng công thức \(\int {f(x) \cdot g(x)dx} = \int {f(x)dx} \cdot \int {g(x)dx} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Ta có \({\left( {{x^3}} \right)^\prime } = 3{x^2} = f(x)\) nên \({x^3}\) là một nguyên hàm của f(x).
b) Đúng. Ta có \({\left( {{x^2} + C} \right)^\prime } = 2x = g(x)\).
c) Đúng. Áp dụng tính chất nguyên hàm của một hiệu:
\(\int {\left[ {f(x) - g(x)} \right]dx} = \int {f(x)dx} - \int {g(x)dx} = {x^3} - {x^2} + C\).
d) Sai. Nguyên hàm không có tính chất
\(\int {f(x) \cdot g(x)dx} = \int {f(x)dx} \cdot \int {g(x)dx} .\)
Ta phải tính trực tiếp \(\int {f(x) \cdot g(x)dx} = \int {6{x^3}dx} = \frac{3}{2}{x^4} + C\).
Cho hàm số f(x) liên tục trên tập số thực, có đạo hàm \(f'(x) = 2x\) và thỏa mãn f(1) = 3. Tính giá trị của f(2).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 6
Ta có \({\left( {{x^2}} \right)^\prime } = 2x\) nên f(x) là một nguyên hàm của 2x, suy ra \(f(x) = {x^2} + C\).
Vì f(1) = 3 nên \(1 + C = 3\), suy ra C = 2.
Vậy \(f(x) = {x^2} + 2\).
Giá trị của f(2) là \(f(2) = {2^2} + 2 = 6\).
Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 4{x^3}\) trên tập số thực và thỏa mãn điều kiện F(0) = 2. Tính giá trị của F(1).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 3
Ta có \({\left( {{x^4}} \right)^\prime } = 4{x^3} = f(x)\) nên hàm số F(x) có dạng \(F(x) = {x^4} + C\).
Theo giả thiết F(0) = 2 nên \({0^4} + C = 2\), suy ra C = 2.
Vậy hàm số cần tìm là \(F(x) = {x^4} + 2\).
Giá trị của hàm số tại x = 1 là \(F(1) = {1^4} + 2 = 3\).
Biết \(\int {f(x)dx} = 3{x^2} + 2x + 1 + C\). Tính giá trị của f(1).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 8
Theo định nghĩa nguyên hàm, ta có:
\(f(x) = {\left( {3{x^2} + 2x + 1 + C} \right)^\prime } = 6x + 2\).
Thay x = 1 vào hàm số f(x), ta được \(f(1) = 6 \cdot 1 + 2 = 8\).
Cho hàm số \(F(x) = {x^2} + 2x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên tập số thực. Tính giá trị của biểu thức \(P = f(1) + f(2)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 10
Theo định nghĩa nguyên hàm, ta có \(f(x) = F'(x) = {\left( {{x^2} + 2x} \right)^\prime } = 2x + 2\).
Khi đó, \(f(1) = 2 \cdot 1 + 2 = 4\)và \(f(2) = 2 \cdot 2 + 2 = 6\)
Vậy \(P = f(1) + f(2) = 4 + 6 = 10\).
Cho hàm số f(x) xác định trên tập số thực, có đạo hàm \(f'(x) = 3{x^2} - 2x\) và thỏa mãn f(2) = 5. Tính giá trị của f(−1).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: −1
Ta thấy f(x) là một nguyên hàm của \(f'(x) = 3{x^2} - 2x\).
Ta có \({\left( {{x^3} - {x^2}} \right)^\prime } = 3{x^2} - 2x\), do đó \(f(x) = {x^3} - {x^2} + C\).
Theo đề bài f(2) = 5, suy ra \({2^3} - {2^2} + C = 5\), hay 8 − 4 + C = 5 nên 4 + C = 5,
suy ra C = 1.
Vậy \(f(x) = {x^3} - {x^2} + 1\).
Giá trị của f(−1) là \(f( - 1) = {\left( { - 1} \right)^3} - {\left( { - 1} \right)^2} + 1 = - 1 - 1 + 1 = - 1\).
