Bài tập
9 câu hỏi
Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB. M là một điẻm bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A, C), BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB
a, Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp
b, Chứng minh: ACM^=ACK^
c, Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C
d, Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại điểm A; cho P là điểm nằm trên d ao cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nưanr mặt phẳng bờ AB và AP.MBMA=R. Chứng minh đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK
a, Chứng minh được HCB^=HKB^=900
b, ACK^=HBK^ (CBKH nội tiếp)
Lại có: ACM^=HBK^=12sđAM⏜
=> ACM^=ACK^
c, Chứng minh được:
DMCA = DECB (c.g.c) => MC = CE
Ta có: CMB^=CAB^=12sđCB⏜=450
=> DMCE vuông cân tại C
d, Gọi PB∩HK=I
Chứng minh được DHKB đồng dạng với DAMB (g.g)
=> HKKB=MAMB=APR => HK=AP.BKR
Mặt khác: ∆BIK:∆BPA(g.g) => (ĐPCM)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC). Hai tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M, AM cắt (O) tại điểm thứ hai D. Gọi E là trung diểm củ đoạn AD, EC cắt (O) tại điẻm thứ hai F. Chứng minh:
a, Tứ giác OEBM là tứ giác nội tiếp
b, MB2=MA.MB
c, BFC^=MOC^
d, BF song song AM
a, OBM^=OEM^=900
=> Tứ giác OEBM nội tiếp
b, Chứng minh được: ∆ABM:∆BDM (g.g) => MB2=MA.MB
c, DOBC cân tại O có OM vừa là trung trực vừa là phân giác
=> MOC^=12BOC^=12sđBC⏜
Mà BFC^=12BC⏜ => MOC^=BFC^
d, OEM^=OCM^=900 => Tứ giác EOCM nội tiếp
=> MEC^=MOC^=BFC^ mà 2 góc ở vị trí đồng vị => FB//AM
Cho đường tròn (O) điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Đường thẳng MO cắt (O) tại E và F (ME < MF).Vẽ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MC của (O) (C là tiếp điểm, A nằm giữa hai điểm M và B, A và C nằm khác phía đối với đường thẳng MO)
a, Chứng minh MA. MB = ME.MF
b, Gọi H là hình chiêu vuông góc của điểm c lên đuờng thẳng MO. Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp
c, Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính MF; nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại E của (O) ở K. Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng CO và KF. Chứng minh các đường thẳng MS và KC vuông góc nhau
d, Gọi P và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EFS và ABS và T là trung điểm của KS. Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng
a, HS tự chứng minh
b, MH.MO = MA.MB ( = MC2)
=> ∆MAH:∆MOB (c.g.c)
=> MHA^=MBO^
MBO^+AHO^=MHA^+AHO^=1800
=> AHOB nội tiếp
c, MK2 = ME.MF = MC2 Þ MK = MC
∆MKS = ∆MCS (ch-cgv) => SK = SC
=> MS là đường trung trực của KC
=> MS ^ KC tại trung của CK
d, Gọi MS∩KC = I
MI.MS = ME.MF = MC2 => EISF nội tiếp đường tròn tâm P Þ PI = PS. (1)
MI.MS = MA.MB (= MC2) => AISB nội tiếp đường tròn tâm Q Þ QI = QS. (2)
Mà IT = TS = TK (do DIKS vuông tại I). (3)
Từ (1), (2) và (3) => P, T, Q thuộc đường trung trực của IS => P, T, Q thẳng hàng
Cho tam giác ABC có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi E' là điểm đối xứng H qua AC, F' là điểm đối xứng H qua AB. Chứng minh:
a, Tứ giác BCE'F' nội tiếp đường tròn (O)
b, Năm điểm A, F', B, C, E' cùng thuộc một đường tròn
c, AO và EF vuông góc nhau
d, Khi A chạy trên (O) thì bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF không đổi
a, ∆CHE' cân tại C => CE'H^=CHE'^
DBHF' cân tại B => BF'H^=BHF'^
Mà => CHE'^=BHF'^ (đối đỉnh)
=> CE'H^=BF'H^
=> Tứ giác BCE'F' nội tiếp đường tròn tâm (O)
b, Có BFC'^=BE'C^=CHE'^=CAB^
Vậy A, F', E' cùng chắn BC dưới góc bằng nhau
=> 5 điểm B, F', A, E', C cùng thuộc một đường tròn tâm (O)
c, AF' = AE' (=AH) => AO là trung trực của EF => AO ^ E'F'. DHE'F' có EF là đường trung bình => EF//E'F'
=> AO ^ FE
d, AFH^=AEH^=900 => AFHE nội tiếp đường tròn đường kính AH. Trong (O): Kẻ đường kính AD, lấy I trung điểm BC
=> OI = 12AH, BC cố định => OI không đổi
=> Độ dài AH không đổi
=> Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆AEF không đổi
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính BC. Lấy điểm A trên tia đối của tia CB. Kẻ tiếp tuyến AF của nửa đường tròn (O) (vói F là tiếp điểm), tia AF cắt tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn tại D. Cho biết AF = 4R3
a, Chứng minh tứ giác OBDF nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác này
b, Tính côsin góc DAB^
c, Kẻ OM ^ BC (M Î AD). Chứng minh BDDM-DMAM=1
d, Tính diện tích phần hình tứ giác OBDM ở bên ngoài nửa đường tròn (O) theo R
a, Chứng minh được DBOF nội tiếp đường tròn tâm I là trung điểm của DO
b, OA=OF2+AF2=5R3 => cosDAB^=AFAO=45
c, ∆AMO:∆ADB(g.g) => DMAM=OBOA
mà MOD^=ODB^=ODM^ => DM = OM
=> DBDM=DBOM=ADAM. Xét vế trái BDDM-DMAM=AD-DMAM=1
d, DB=AB.tanDAB^=8R3.34=2R => OM=AO.tanDAB^=5R4
=> SOMDB=13R28
SOMDB ngoài = SOMDB-14SO,R=R2813-2π
Cho tam giác ABC nhọn, có H là trực tâm, nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AM = 2R
a, Chứng minh tứ giác BHCM là hình bình hành
b, Gọi N là điểm đối xứng của M qua AB. Chứng minh tứ giác AHBN nội tiếp được trong một đường tròn
c, Gọi E là điểm đối xứng của M qua AC. Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng
d, Giả sử AB = R3. Tính diện tích phần chung của đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHBN
a, BH ^ AC và CM ^ AC Þ BH//CM
Tương tự => CH//BM
=> BHCM là hình bình hành
b, Chứng minh BNHC là hình bình hành
=> NH//BC
=> AH ^ NH => AHM^=900
Mà ABN^=900 => Tứ giác AHBN nội tiếp
c, Tương tự ý b, ta có: BHEC là hình bình hành. Vậy NH và HE//BC => N, H, E thẳng hàng
d, ABN^=900 => AN là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHBN
AN = AM = 2R, AB = R3 => AmB⏜=1200
SAOB=12SABM=R234
SAmB⏜=SatAOB-SAOB=R2124π-33
=> S cần tìm = 2SAmB⏜=R264π-33
Cho tam giác ABC có BAC^=450, các góc B và C đều nhọn. Đường tròn đường kính BC cắt AB và AC lần lượt tai D và E. Gọi H là giao điểm của CD và BE
a, Chứng minh AE = BE
b, Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp. Xác định tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ giác này
c, Chứng minh OE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE
d, Cho BC = 2a. Tính diện tích viên phân cung DE⏜ của đường tròn (O) theo a
a, HS tự chứng minh
b, HS tự chứng minh
c, DAEH vuông nên ta có: KE = KA = 12AH
=> DAKE cân tại K
=> KAE^=KEA^
DEOC cân ở O => OCE^=OEC^
H là trực tâm => AH ^ BC
Có AEK^+OEC^=HAC^+ACO^=900
(K tâm ngoại tiếp) => OE ^ KE
d, HS tự làm
Cho đường tròn (O) và một dây BC cố định không đi qua O. Trên tia đối của tia BC lấy một điểm A bất kì. Vẽ các tiếp tuyến AM, AN tới (O) (M, N là các tiếp điểm). MN cắt các đưòng AO và BC lần lượt ở H và K. Gọi I là trung điểm của BC
a, Chứng minh: AH.AO = AB.AC = MA2
b, Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp
c, Vẽ dây MP song song với BC. Chứng minh N, I, P thẳng hàng
d, Khi A di động trên tia đôi của tia BC, chứng minh trọng tâm tam giác MBC chạy trên một đường tròn cố định
a, b, c HS tự làm
d, Gợi ý: G' ÎOI mà IG'IO=13 => G' thuộc (G';13R)
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đển (O) (A, B là các tiếp điểm). Qua M kẻ cát tuyên MNP (MN < MP) đến (O). Gọi K là trung điểm của NP
a, Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ hai
b, Chứng minh tia KM là phân giác của góc AKB^
c, Gọi Q là giao điểm thứ hai của BK với (O). Chứng minh AQ song song NP
d, Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh: MA2 = MH.MO = MN.MP
e, Chứng minh bốn điểm N, H, O, P cùng thuộc một đường tròn
HS tự chứng minh
