Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Kẻ SH $\perp$ (ABC). Đường thẳng AH cắt BC tại I.

Do S.ABC là hình chóp tam giác đều nên H là trọng tâm của ΔABC.

Do đó

Thể tích khối chóp S.ABC là:

Kẻ SH $\perp$ (ABC) và HA’, HB’ , HC’ lần lượt vuông góc với BC, CA, AB. Theo định lí ba đường vuông góc ta có SA′ $\perp$ BC, SB′ $\perp$ CA, SC′ $\perp$ AB

Từ đó suy ra $\angle$SA′H = $\angle$SB′H = $\angle$SC′H = 60$°$.

Do đó các tam giác vuông SHA’ , SHB’ , SHC’ bằng nhau. Từ đó suy ra HA’ = HB’ = HC’ . Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Do tam giác cân ở A nên AH vừa là đường phân giác , vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến. Từ đó suy ra A, H, A’ thẳng hàng và A’ là trung điểm của BC.

Do đó, $\mathrm{AA}{\text{'}}^2={\mathrm{AB}}^2-\mathrm{BA}{\text{'}}^2=25{\mathrm{a}}^2-9{\mathrm{a}}^2=16{\mathrm{a}}^2$

Vậy AA’ = 4a

Gọi p là nửa chu vi của tam giác ABC, r là bán kính đường tròn nội tiếp của nó.

Khi đó SABC = 6a.4a/2 = 12a2 = pr = 8ar

Từ đó suy ra r = 3a/2

Do đó

Thể tích khối chóp là:

Ta có

Vì AD $\subset$ (SAB) nên AD $\perp$ BC

Mặt khác AD $\perp$ SB nên AD $\perp$ (SBC)

Từ đó suy ra AD $\perp$ SC

⇒ SC $\perp$ DE hay SE $\perp$ (ADE)

Trong tam giác vuông SAB ta có: SA.AB = AD.SB

Tương tự, trong tam giác vuông SAC ta có:

Do AD $\perp$ (SBC) nên AD $\perp$ DE. Từ đó suy ra:

Vậy

Gọi d là khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB)

Ta có:

Kết hợp với kết quả trong câu a)

ta suy ra 

Ta có tứ diện đều ABCD, M là một điểm trong của nó. Gọi V là thể tích, S là diện tích mỗi mặt của tứ diện đều ABCD, ${\mathrm{h}}_{\mathrm{A}}, {\mathrm{h}}_{\mathrm{B}}, {\mathrm{h}}_{\mathrm{C}}, {\mathrm{h}}_{\mathrm{D}}$ lần lượt là khoảng cách từ M đến các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC).

Khi đó ta có:

V = ${\mathrm{V}}_{\mathrm{MBCD}}+{\mathrm{V}}_{\mathrm{MCDA}}+{\mathrm{V}}_{\mathrm{MDAB}}+{\mathrm{V}}_{\mathrm{MABCV}}$

= S(${\mathrm{h}}_{\mathrm{A}}+{\mathrm{h}}_{\mathrm{B}}+{\mathrm{h}}_{\mathrm{C}}+{\mathrm{h}}_{\mathrm{D}}$)/3

Từ đó suy ra ${\mathrm{h}}_{\mathrm{A}}+{\mathrm{h}}_{\mathrm{B}}+{\mathrm{h}}_{\mathrm{C}}+{\mathrm{h}}_{\mathrm{D}}$ = 3V/S

Thể tích khối chóp M.AB’C bằng thể tích khối chóp B’AMC. Ta có:

Do đó

Gọi h là khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’C)

Khi đó

Vì ${\mathrm{AC}}^2=\mathrm{B}\text{'}{\mathrm{C}}^2=5{\mathrm{a}}^2$ nên tam giác ACB’ cân tại C. Do đó, đường trung tuyến CI của tam giác ACB’ cũng là đường cao.

Ta có:

Do đó

Từ đó suy ra

Thể tích khối chóp D’.DMN bằng thể tích khối chóp D.D’MN

Ta có: ${\mathrm{S}}_{\mathrm{D}\text{'}\mathrm{MN}}={\mathrm{S}}_{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}\mathrm{D}\text{'}}-\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{D}\text{'}\mathrm{A}\text{'}\mathrm{M}}+{\mathrm{S}}_{\mathrm{D}\text{'}\mathrm{C}\text{'}\mathrm{N}}+{\mathrm{S}}_{\mathrm{B}\text{'}\mathrm{MN}}\right)$

Thể tích khối chóp

Từ đó suy ra tỷ số giữa thể tích khối chóp D’.DMN và thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ bằng 1/8

Giả sử (AEF) cắt CC’ tại I. Khi đó ta có AE// FI, AF // EI nên tứ giác AEIF là hình bình hành. Trên cạnh CC’ lấy điểm J sao cho CJ = DF. Vì CJ song song và bằng DF nên JF song song và bằng CD. Do đó tứ giác CDFJ là hình chữ nhật. Từ đó suy ra FJ song song và bằng AB. Do đó AF song song và bằng BJ. Vì AF cũng song song và bằng EI nên BJ song song và bằng EI.

Từ đó suy ra IJ = EB = DF = JC = c/3

Ta có

Nên ${\mathrm{V}}_{\left(\mathrm{H}\right)}={\mathrm{V}}_{\mathrm{A}.\mathrm{BCIE}}+{\mathrm{V}}_{\mathrm{A}.\mathrm{DCIF}}$

Vì thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ bằng abc nên

Từ đó suy ra