8 bài tập Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế (có lời giải)
8 câu hỏi
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế
a)\[\left\{ \begin{array}{l}x - y = 3\\3x - 4y = 2\end{array} \right.\]
b) \[\left\{ \begin{array}{l}7x - 3y = 5\\4x + y = 2\end{array} \right.\]
c)\[\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = - 2\\5x - 4y = 11\end{array} \right.\]
a) Ta có: \[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - y = 3\\3x - 4y = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = x - 3\\3 - 4y = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = x - 3\\3x - 4(x - 3) = 2\end{array} \right.\end{array}\] \[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = x - 3\\ - x + 12 = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = x - 3\\x = 10\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 7\end{array} \right.\end{array}\] Vậy hệ có nghiệm duy nhất: (10;7) | b)\[\left\{ \begin{array}{l}7x - 3y = 5\\4x + y = 2\end{array} \right.\] \[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}7x - 3y = 5\\y = 2 - 4x\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}7x - 3(2 - 4x) = 5\\y = 2 - 4x\end{array} \right.\end{array}\] \[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}7x - 6 + 12x = 5\\y = 2 - 4x\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}19x = 11\\y = 2 - 4x\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{11}}{{19}}\\y = \frac{{ - 6}}{{19}}\end{array} \right.\end{array}\] Vậy hệ có nghiệm duy nhất: \[\left( {\frac{{11}}{{19}};\frac{{ - 6}}{{19}}} \right)\] |
c)
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = - 2\\5x - 4y = 11\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 - 3y\\5( - 2 - 3y) - 4y = 11\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 - 3y\\ - 10 - 19y - 4y = 11\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{25}}{{19}}\\y = \frac{{ - 21}}{{19}}\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy hệ có nghiệm duy nhất \[\left( {\frac{{25}}{{19}};\frac{{ - 21}}{{19}}} \right)\]
Giải phương trình sau bằng phương pháp thế
a) \[\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 11\\4x - 5y = 3\end{array} \right.\]
b) \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1\\5x - 8y = 3\end{array} \right.\]
a) Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có y = \[\frac{{3x - 11}}{2}\] thay y vào phương trình thứ 2
\[4x - 5 \cdot \frac{{3x - 11}}{2}\]= 3
\( - 7x = - 49\)hay \[x = 7\]
Từ đó: y = \[\frac{{3.7 - 11}}{2} = 5\]
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (7;5)
b)Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
\[\begin{array}{l}\frac{y}{3} = \frac{x}{2} - 1\\y = \frac{{3.x}}{2} - 3\end{array}\]
Thế y vào phương trình thứ 2: \[5x - 8.(\frac{{3x}}{2} - 3) = 3\,\,hay - 7x = - 21\]
Suy ra: \[x = 3.\]Từ đó y = \[\frac{{3.3}}{2} - 3 = \frac{3}{2}\]
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: (3; \[\frac{3}{2}\])
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
a)\[\left\{ \begin{array}{l}x + y\sqrt 5 = 0\\x\sqrt 5 + 3y = 1 - \sqrt 5 \end{array} \right.\]
b)\[\left\{ \begin{array}{l}(2 - \sqrt 3 )x - 3y = 2 + 5\sqrt 3 \\4x + y = 4 - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\]
a)Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có: \[x = - y\sqrt 5 \]. Thay vào phường trình thứ 2 ta được: \[\begin{array}{l}( - y\sqrt 5 ).\sqrt 5 + 3y = 1 - \sqrt 5 \\ - 2y = 1 - \sqrt 5 \\y = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}\end{array}\]
Từ đó: \[x = - \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}.\sqrt 5 = \frac{{\sqrt 5 - 5}}{2}\]
Vậy hệ có nghiệm duy nhất \[\left( {\frac{{\sqrt 5 - 5}}{2};\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}} \right)\]
b)Từ phương trình thứ 2 của hệ ta có: \[y = 4 - 2\sqrt 3 - 4x\] thay y vào phương trình thứ 2 ta được: \[(2 - \sqrt 3 ).x - 3.(4 - 2\sqrt 3 - 4x) = 2 + 5\sqrt 3 \]
\[(14 - \sqrt 3 ).x = 14 - \sqrt 3 \,hay\,x = 1\]. Từ đó \[y = - 2\sqrt 3 \]
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[(1; - 2\sqrt 3 )\]
Giải hệ phương trình sau \[\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 1\\({a^2} + 1).x + 6y = 2a\end{array} \right.\] Trong mỗi trường hợp sau
a) a = -1 b) a = 0 c) a = 1
a)Với a = -1 ta có hệ : \[\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 1\\2x + 6y = - 2\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3y\\2(1 - 3y) + 6y = - 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3y\\2 = - 2\end{array} \right.\end{array}\]
Hệ phương trình vô nghiệm
b)Với \[\]\[a = 0\]ta có hệ \[\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 1\\x + 6y = 0\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3y\\1 - 3y + 6y\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3y\\y = \frac{{ - 1}}{3}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = \frac{{ - 1}}{3}\end{array} \right.\end{array}\]
Hệ có nghiệm (2;\[\frac{{ - 1}}{3}\])
c)Với a= 1 ta có hệ
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 1\\2x + 6y = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 1\\2x + 6y = 2\end{array} \right.\end{array}\]
Hệ có vô số nghiệm theo công thức \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3y\\y \in R\end{array} \right.\]
Giải phương trình sau bằng phương pháp thế:
a) \[\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 5\\5x + 2y = 23\end{array} \right.\]
b) \[\left\{ \begin{array}{l}3x + 5y = 1\\2x - y = - 8\end{array} \right.\]
c)\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{y} = \frac{2}{3}\\x + y - 10 = 0\end{array} \right.\]
a)Ta có:
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 5\\5x + 2y = 23\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 3x - 5\\5x + 2(3x - 5) = 23\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 3x - 5\\11x = 33\end{array} \right.\end{array}\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 4\end{array} \right.\]
Vậy hệ có nghiệm (3;4)
b)
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3x + 5y = 1\\2x - y = - 8\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 2x + 8\\3x + 5(2x + 8) = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 2x + 8\\13x = - 39\end{array} \right.\end{array}\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = 2\end{array} \right.\]
Vậy hệ có nghiệm (-3;2)
c)
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{y} = \frac{2}{3}\\x + y - 10 = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}3x = 2y\\y = 10 - x\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 10 - x\\3x = 2(10 - x)\end{array} \right.\end{array}\]
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 10 - x\\5x = 20\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 6\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy hệ có nghiệm (4;6)
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a) \[\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1\\x + y\sqrt 3 = \sqrt 2 \end{array} \right.\]
b)\[\left\{ \begin{array}{l}x - 2\sqrt 2 y = \sqrt 5 \\x\sqrt 2 + y = 1 - \sqrt {10} \end{array} \right.\]
c)\[\left\{ \begin{array}{l}(\sqrt 2 - 1)x - y = \sqrt 2 \\x + (\sqrt 2 + 1)y = 1\end{array} \right.\]
a)
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1\\x + y\sqrt 3 = \sqrt 2 \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt 2 - y\sqrt 3 \\\sqrt 2 (\sqrt 2 - y\sqrt 3 ) - y\sqrt 3 = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt 2 - y\sqrt 3 \\y = \frac{1}{{\sqrt 3 (\sqrt 2 + 1)}}\end{array} \right.\end{array}\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = \frac{{\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right.\]
Vậy hệ có nghiệm \[(1;\frac{{\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 3 }})\]
\[\begin{array}{l}b)\left\{ \begin{array}{l}x - 2\sqrt 2 y = \sqrt 5 \\x\sqrt 2 + y = 1 - \sqrt {10} \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\sqrt 2 + \sqrt 5 \\\sqrt 2 (2\sqrt 2 y + 5) + y = 1 - \sqrt {10} \end{array} \right.\end{array}\]
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\sqrt 2 y + \sqrt 5 \\5y = 1 - 2\sqrt {10} \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2\sqrt 2 - 3\sqrt 5 }}{5}\\y = \frac{{1 - 2\sqrt {10} }}{5}\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy hệ có nghiệm \[\left( {\frac{{2\sqrt 2 - 3\sqrt 5 }}{5};\frac{{1 - 2\sqrt {10} }}{5}} \right)\]
c)
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}(\sqrt 2 - 1)x - y = \sqrt 2 \\x + (\sqrt 2 + 1)y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = (\sqrt 2 - 1)x - \sqrt 2 \\x + (\sqrt 2 + 1)\left[ {(\sqrt 2 - 1)x - \sqrt 2 } \right] = 1\end{array} \right.\end{array}\]
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = (\sqrt 2 - 1)x - \sqrt 2 \\3x = 3 + \sqrt 2 \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{3 + \sqrt 2 }}{2}\\y = (\sqrt 2 - 1).\frac{{3 + \sqrt 2 }}{2} - \sqrt 2 = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy hệ có nghiệm :\[\left[ {\frac{{3 + \sqrt 2 }}{2};\frac{{ - 1}}{2}} \right]\]
a) Xác định hệ số a,b biết rằng hề phương trình
\[\left\{ \begin{array}{l}2x + by = - 4\\bx - ay = - 5\end{array} \right.\] Có nghiệm là (\[\sqrt 2 - 1;\sqrt 2 \])
b)Cũng hỏi như vậy, nếu hệ phương trình có nghiệm là: \[(\sqrt 2 - 1;\sqrt 2 )\]
a) Vì: (1;-2) là nghiệm của hệ nên thay x=1, y=-2 vào hệ ta có:
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2 - 2b = - 4\\b + 2a = - 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = 3\\a = \frac{{ - 5 - b}}{2} = - 4\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy với \[a = - 4,{\rm{ }}b = 3\]thì hệ đã cho có nghiệm (1; -2)
b) Tương tự thay x = \[\sqrt 2 - 1,y = \sqrt 2 \] vào hệ ta được.
Vậy với a= \[\frac{{ - 2 + 5\sqrt 2 }}{2}\] và \[b = - 2 - \sqrt 2 \]
Thì hệ đã cho có nghiệm (\[\sqrt 2 - 1;\sqrt 2 \])
Biết rằng: Đa thức P(x) chia hết cho đa thức x-a khi và chỉ khi P(a) = 0
Hãy tìm các giá trị của n sao cho đa thức sau đông thời chia hết cho x+1 và x-3
\[P(x) = m{x^3} + (m - 2){x^2} - (3n - 5)x - 4n\]
\({\rm{P(x)}}\) chia hết cho
\(\begin{array}{l}x + 1\\P( - 1) = - m + (m - 2) + (3n - 5) - 4n = 0\end{array}\)
\( - 7 - n = 0\) (1)
\({\rm{P}}(x)\) chia hết cho
\(\begin{array}{l}x - 3\\{\rm{P}}( - 3) = 27m + 9(m - 2) - 3(3n - 5) - 4n = 0\end{array}\)
\(36m - 13n = 3\) (2)
Từ (1), (2) ta có hệ phương trình ẩn \(m\) và \(n\)
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - 7 - n = 0\\36m - 13n = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}n = - 7\\m = \frac{{ - 22}}{9}\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy với \(m = - \frac{{22}}{9}\) và \(n = - 7\) thì đa thức P(x) đồng thời chia hết cho \(x + 1\) và \(x - 3\)
