7 câu Trắc nghiệm Toán 7 Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác có đáp án (Vận dụng)

Đáp án A

Ta có: $MB=MC$ (vì AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của $\Delta ABC$); $BE=CF\left(gt\right)$

Mà $ME=MB+BE;MF=MC+CF$

Suy ra $ME=MF$

Do đó AM là đường trung tuyến ứng với cạnh EF của $\Delta AEF$

Mặt khác $AG=\frac{2}{3}AM$ (do G là trọng tâm $\Delta ABC$)

Vậy G là trọng tâm $\Delta AEF$

Đáp án A

Theo câu trước ta có: G là trọng tâm $\Delta AEF$ nên $EG=\frac{2}{3}EN$ (tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)

Mà $GI=\frac{1}{2}EG$ (Vì I là trung điểm của EG)

Suy ra $GI=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}EN=\frac{1}{3}EN$

Mặt khác $GN=\frac{1}{3}EN$ (vì G là trọng tâm $\Delta AEF$)

Do đó $GI=GN$

Theo câu trước ta có: $AG=\frac{2}{3}AM$ mà $GH=\frac{1}{2}AG$ (vì H là trung điểm của AG)

Suy ra $GH=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}AM=\frac{1}{3}AM$

Mặt khác $GM=\frac{1}{3}AM$ (vì G là trọng tâm $\Delta AEF$)

Do đó: $GH=GM$

Xét $\Delta GHI$ và $\Delta GMN$ có:

$GI=GN$ (cmt)

$\widehat{HGI}=\widehat{NGM}$ (hai góc đối đỉnh)

$GH=GM$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta GHI=\Delta GMN(c.g.c)\Rightarrow HI=MN$ (hai cạnh tương ứng), $\widehat{IHG}=\widehat{NMG}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{IHG},\widehat{NMG}$ ở vị trí so le trong nên HI//MN

Đáp án D

Gọi MH là đường cao kẻ từ M xuống cạnh BC, NK là đường cao kẻ từ N xuống cạnh ME

Hai đường trung tuyến ME và NF cắt nhau tại O nên O là trọng tâm tam giác MNP, do đó $MO=\frac{2}{3}ME$

Có ME là trung tuyến ứng với cạnh NP nên E là trung điểm của NP, suy ra $NP=2NE$

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{S_{MNO}}{S_{MNE}}=\frac{\frac{1}{2}.NK.MO}{\frac{1}{2}.NK.ME}=\frac{\frac{1}{2}.NK.\frac{2}{3}.ME}{\frac{1}{2}.NK.ME}=\frac{2}{3}\\ \Rightarrow S_{MNO}=\frac{2}{3}{S}_{MNE}\\ \frac{S_{MNE}}{S_{MNP}}=\frac{\frac{1}{2}.MH.NE}{\frac{1}{2}.MH.NP}=\frac{\frac{1}{2}.MH.NE}{\frac{1}{2}.MH\mathrm{.2.}NE}=\frac{1}{2}\\ \Rightarrow S_{MNE}=\frac{1}{2}{S}_{MNP}\end{array}$

Từ đó suy ra:

$S_{MNP}=2.S_{MNE}=3.S_{MNO}\Rightarrow S_{MNP}=3.8=24c{m}^2$

Đáp án D

Gọi MH là đường cao kẻ từ M xuống cạnh BC, NK là đường cao kẻ từ N xuống cạnh ME

Hai đường trung tuyến ME và NF cắt nhau tại O nên O là trọng tâm tam giác MNP, do đó $MO=\frac{2}{3}ME$

Có ME là trung tuyến ứng với cạnh NP nên E là trung điểm của NP, suy ra $NP=2NE$

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{S_{MNO}}{S_{MNE}}=\frac{\frac{1}{2}.NK.MO}{\frac{1}{2}.NK.ME}=\frac{\frac{1}{2}.NK.\frac{2}{3}.ME}{\frac{1}{2}.NK.ME}=\frac{2}{3}\\ \Rightarrow S_{MNO}=\frac{2}{3}{S}_{MNE}\\ \frac{S_{MNE}}{S_{MNP}}=\frac{\frac{1}{2}.MH.NE}{\frac{1}{2}.MH.NP}=\frac{\frac{1}{2}.MH.NE}{\frac{1}{2}.MH\mathrm{.2.}NE}=\frac{1}{2}\\ \Rightarrow S_{MNE}=\frac{1}{2}{S}_{MNP}\end{array}$

Từ đó suy ra:

$S_{MNP}=2.S_{MNE}=3.S_{MNO}\Rightarrow S_{MNP}=3.12=36c{m}^2$

Đáp án B

$\Delta ABC$ có G là trọng tâm và các đường trung tuyến AM,BN,CP nên theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có:

$AG=\frac{2}{3}AM;BG=\frac{2}{3}BN;CG=\frac{2}{3}CP$

Vì G là trung điểm của AD nên $GD=AG$ mà $AG=\frac{2}{3}AM$ (cmt), do đó $GD=\frac{2}{3}AM$

Ta có: $GD=AG=2GM$ (tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)

Mà $GD=GM+MD\Rightarrow 2GM=GM+MD\Rightarrow GM=MD$

Xét $\Delta BMD$ và $\Delta CMG$ có:

$GM=MD$

$\widehat{BMD}=\widehat{CMG}$ (hai góc đối đỉnh)

$BM=MC$ (vì AM là đường trung tuyến của $\Delta ABC$)

$\Rightarrow \Delta BMD=\Delta CMG(c.g.c)$

$\Rightarrow BD=CG$ (hai cạnh tương ứng) mà $CG=\frac{2}{3}CP\left(cmt\right)$ nên $BD=\frac{2}{3}CP\left(cmt\right)$

Vậy $BG=\frac{2}{3}BN;GD=\frac{2}{3}AM;BD=\frac{2}{3}CP$

Đáp án C

Vì AM, DB là hai đường trung tuyến của tam giác ABC và chúng cắt nhau tại I nên I là trọng tâm tam giác ABC

Khi đó: $BI=\frac{2}{3}BD=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}BE=\frac{1}{3}BE$ (1)    

Vì AN, ED là hai đường trung tuyến của tam giác ACE và chúng cắt nhau tại K nên K là trọng tâm tam giác ACE nên

$EK=\frac{2}{3}ED=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}BE=\frac{1}{3}BE$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $IK=\frac{1}{3}BE$ từ đó $BI=EK=IK$

Đáp án B

Ta có: DE = DB mà BD + DE = BE nên

$2BD=BE\Rightarrow BD=DE=\frac{1}{2}BE$

Vì AM, DB là hai đường trung tuyến của tam giác ABC và chúng cắt nhau tại I nên I là trọng tâm tam giác ABC

Khi đó: $BI=\frac{2}{3}BD=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}BE=\frac{1}{3}BE$ (1)    

Vì AN, ED là hai đường trung tuyến của tam giác ACE và chúng cắt nhau tại K nên K là trọng tâm tam giác ACE nên

$EK=\frac{2}{3}ED=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}BE=\frac{1}{3}BE$ (2)

Mặt khác $BI+IK+KE=BE$ kết hợp với (1);(2) suy ra

$\frac{1}{3}BE+IK+\frac{1}{3}BE=BE\Rightarrow IK=\frac{1}{3}BE$

Do đó: $BE=3IK=3.3=9cm$