7 câu Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số. Phương pháp Fre-Nen (Vận dụng cao)

Đáp án C

$y_1-y_2=8cos\left(7\pi t-\frac{\pi }{12}\right)-6cos\left(7\pi t+\frac{\pi }{4}\right)$

+ Cách 1: Tổng hợp dao động

$=8cos\left(7\pi t-\frac{\pi }{12}\right)+6cos\left(7\pi t+\frac{\pi }{4}+\pi \right)$

Biên độ dao động tổng hợp:

$$\begin{gathered} A=\sqrt{8^2+6^2+\mathrm{2.8.6}cos\left(\pi +\frac{\pi }{4}-\left(-\frac{\pi }{12}\right)\right)}=\sqrt{52}cm \\ \Rightarrow y_1-y_2=\sqrt{52}cos\left(7\pi t+\phi \right) \end{gathered}$$

+ Cách 2: Sử dụng máy tính

Bấm $8\angle -\frac{\pi }{12}-6\angle \frac{\pi }{4}SHIFT 2 3=2\sqrt{13}\angle -1,066$

$\Rightarrow y_1-y_2=2\sqrt{13}cos\left(7\pi t+\phi \right)$

Ta có:

Khoảng cách giữa hai chất điểm: $d=\sqrt{{\left(y_1-y_2\right)}^2+{15}^2}$

Lại có ${(y_1-y_2)}_{max}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}cm$

=> Khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm là $d=\sqrt{5^2+{15}^2}=16,6cm$

Đáp án A

Ta có:

$\begin{array}{l}\text{Δ}y=y_1-y_2=6cos\left(4\pi t+\frac{\pi }{12}\right)-8cos\left(4\pi t+\frac{7\pi }{12}\right)\\ =6cos\left(4\pi t+\frac{\pi }{12}\right)+8cos\left(4\pi t+\frac{7\pi }{12}+\pi \right)\\ =10cos\left(4\pi t+\phi \right)\end{array}$

+ Khoảng cách giữa hai chất điểm tại VTCB: d=24cm

Khoảng cách giữa hai chất điểm là $\text{Δ}d=\sqrt{d^2+\text{Δ}{y}^2}$

=> Khoảng cách giữa hai chất điểm lớn nhất khi $\text{Δ}{y}_{\text{max}}=10cm$

$\to \text{Δ}{d}_{max}=\sqrt{d^2+\text{Δ}{y}_{max}^2}=\sqrt{{24}^2+{10}^2}=26cm$

Đáp án B

Ta có: Khoảng cách  giữa hai vật nhỏ của con lắc bằng: $d=\sqrt{3^2+{\left|x_1-x_2\right|}^2}$

Ta có:

$$\begin{gathered} x_1-x_2=3c\text{os}\left(\omega t\right)-6c\text{os}\left(\omega t+\frac{\pi }{3}\right) \\ =3c\text{os}\left(\omega t\right)+6c\text{os}\left(\omega t+\frac{\pi }{3}+\pi \right) \end{gathered}$$

Biên độ tổng hợp: của $x_1 - x_2$ là

$$\begin{gathered} A^2=3^2+6^2+\mathrm{2.3.6.}c\text{os}(\pi +\frac{\pi }{3})\to A\approx 5,2cm \\ {d}_{max}\leftrightarrow {\left|x_1-x_2\right|}_{\text{max}}=A \\ \to d_{max}=\sqrt{3^2+{(5,2)}^2}=6cm \end{gathered}$$

Đáp án C

Ta có: Khoảng cách  giữa hai vật nhỏ của con lắc bằng: $d=\sqrt{5^2+{\left|x_1-x_2\right|}^2}$

$x_1=3c\text{os}\left(\omega t+\frac{\pi }{6}\right)$ và $x_2=4c\text{os}\left(\omega t+\frac{\pi }{3}\right)cm$

Ta có:

$\begin{array}{l}{x}_1-x_2=3c\text{os}\left(\omega t+\frac{\pi }{6}\right)-4c\text{os}\left(\omega t+\frac{\pi }{3}\right)\\ =3c\text{os}\left(\omega t+\frac{\pi }{6}\right)+4c\text{os}\left(\omega t+\frac{\pi }{3}+\pi \right)\end{array}$

+ Biên độ tổng hợp: của $x_1-x_2$ là

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}{A}^2=3^2+4^2+\mathrm{2.3.4.}cos(\pi +\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6})\\ \to A\approx 2,05cm\end{array} \\ {d}_{max}\leftrightarrow {\left|x_1-x_2\right|}_{\text{max}}=A \\ \to d_{max}=\sqrt{5^2+{(2,05)}^2}=5,4cm \end{gathered}$$

Đáp án C

Ta có:

$$\begin{gathered} \frac{A}{\sin 60}=\frac{6}{\sin (30+\phi )}=\frac{A_1}{\sin (90-\phi )} \\ \Rightarrow A=\frac{6.\sin 60}{\sin (30+\phi )} \end{gathered}$$

Để $A_{min}$ thì $\sin (30+\phi )max=1\to \phi ={60}^0$

Vậy dao động tổng hợp có pha ban đầu là $- {60}^0$

Đáp án B

$\begin{array}{l}\frac{10}{\sin 30}=\frac{A_2}{\sin (60+\phi )}=\frac{A}{\sin (90-\phi )}\\ \Rightarrow A=\frac{10\sin (90-\phi )}{\sin 30}\end{array}$

Năng lượng dao động cực đại thì

$A_{max}\Rightarrow \sin \left(90-\phi \right)=1\Rightarrow \phi =0$

Khi đó: $\left\{\begin{array}{l}A=\frac{10sin90}{sin30}=20cm\\ A_2=\frac{10.sin60}{sin30}=10\sqrt{3}cm\end{array}\right.$

Đáp án C

Từ đồ thị ta có được

- Hai dao động có cùng chu kì T

- Chất điểm 1:

$+ A_1 = 4cm$

+ Tại t = 0 vật đang ở biên dương $\Rightarrow {\phi }_1=0rad$

- Chất điểm 2:

$+ A_2 = 2cm$

+ Tại t = 0 vật qua li độ x = 1cm theo chiều dương

$\Rightarrow {\phi }_2=-\frac{\pi }{3}rad$

- Phương trình dao động của hai dao động là:

$\begin{array}{l}{x}_1=4\cos \left(\omega t\right)cm\\ x_2=2\cos (\omega t-\frac{\pi }{3})cm\end{array}$

- Khoảng cách của hai vật trong quá trình dao động:

$d=\left|x_1-x_2\right|=d_{\max }\cos (\omega t+\phi )$

Với $d_{max}$ là khoảng cách lớn nhất giữa hai vật trong quá trình dao động

$$\begin{gathered} d=\left|x_1-x_2\right|=\left|x_1+(-x_2)\right| \\ {x}_2=2\cos (\omega t-\frac{\pi }{3}) \\ -x_2=-2\cos (\omega t-\frac{\pi }{3}) \\ =2cos(\omega t-\frac{\pi }{3}+\pi )=2cos(\omega t+\frac{2\pi }{3}) \end{gathered}$$

Do đó

$$\begin{gathered} d_{\max }=\sqrt{{A_1}^2+{A_2}^2+2A_1{A}_2\cos \left(\text{Δ}\phi \right)} \\ =\sqrt{4^2+2^2+\mathrm{2.2.4.}cos\frac{2\pi }{3}}=3,46cm \end{gathered}$$