67 bài tập Tìm nguyên hàm của một số hàm số thường gặp (dùng bảng nguyên hàm) (có lời giải)

\(\int {{x^6}} \;{\rm{d}}x = \frac{1}{7}{x^7} + C\)

\(\int {{x^2}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{3} + C\) trên \(\mathbb{R}\).

\(\int {\frac{1}{{\sqrt x }}} \;{\rm{d}}x = \int {{x^{ - \frac{1}{2}}}} \;{\rm{d}}x = 2{x^{\frac{1}{2}}} + C = 2\sqrt x  + C\).

\(\int {{x^4}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{x^5}}}{5} + C\)

\(\int {\frac{1}{{{x^3}}}} \;{\rm{d}}x = \int {\left( {{x^{ - 3}}} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}} + C =  - \frac{1}{{2{x^2}}} + C\)

\(\int {\sqrt x } \;{\rm{d}}x = \int {{x^{\frac{1}{2}}}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{3} = \frac{{2x\sqrt x }}{3} + C\)

Hàm só́ \(f(x)\) cân tìm là một nguyên hàm của hảm số \({f^\prime }(x) = 2x + \frac{1}{{{x^2}}}\).

Ta có: \(\int {\left( {2x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} {\rm{d}}x = \int 2 x\;{\rm{d}}x + \int {\frac{1}{{{x^2}}}} \;{\rm{d}}x = {x^2} - \frac{1}{x} + C.\)

Do đó, hàm só́ \(f(x)\) có dạng \(f(x) = {x^2} - \frac{1}{x} + C,x \in (0; + \infty )\).

Theo già thiết, \(f(1) = {1^2} - 1 + C = 1\) nên \(C = 1\) và \(f(x) = {x^2} - \frac{1}{x} + 1,x \in (0; + \infty )\).

Đáp số: \(f(4) = \frac{{67}}{4}\).

\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \;{\rm{d}}x =  - \cot x + C\) trên \((0;\pi )\).

\(\int 2 \sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}\;{\rm{d}}x = \int {\sin } x\;{\rm{d}}x =  - \cos x + C{\rm{. }}\)

\(\int {{3^x}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\).

\(\int {{e^{2x}}} \;{\rm{d}}x = \int {{{\left( {{e^2}} \right)}^x}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{e^{2x}}}}{{\ln {e^2}}} + C = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + C\).

\(\int {\frac{{2\sin x}}{3}} \;{\rm{d}}x = \frac{2}{3}\int {\sin } x\;{\rm{d}}x =  - \frac{2}{3}\cos x + C\)

\(\int {\frac{{{3^{x - 1}}}}{2}} \;{\rm{d}}x = \frac{1}{2}\int {\frac{{{3^x}}}{3}} \;{\rm{d}}x = \frac{1}{6}\int {{3^x}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{3^x}}}{{6\ln 3}} + C\)

\(\int {\left( { - \frac{{\cos x}}{4}} \right)} {\rm{d}}x =  - \frac{1}{4}\int {\cos } x\;{\rm{d}}x =  - \frac{1}{4}\left( {\sin x + {C_1}} \right) =  - \frac{1}{4}\sin x + C\left( {C =  - \frac{{{C_1}}}{4}} \right)\).

 \(\int {{2^{2x + 1}}} \;{\rm{d}}x = 2\int {{4^x}} \;{\rm{d}}x = 2\left( {\frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + {C_1}} \right) = \frac{{{4^x}}}{{\ln 2}} + C\left( {C = 2{C_1}} \right)\).

∫3cosx−4xdx=3∫cosx dx−4∫1x dx=3sinx−4ln|x|+C(x≠0)

∫(2x+1)3 dx=∫8x3+12x2+6x+1dx=8∫x3 dx+12∫x2 dx+6∫x dx+∫1 dx =2x4+4x3+3x2+x+C

∫3x3+2x35dx=3∫x3 dx+2∫x−35 dx=3⋅x44+2⋅x2525+C=3x44+5x25+C

∫3cos2x−1sin2xdx=3∫1cos2x dx−∫1sin2x dx=3tanx+cotx+C

∫3cos2x−1sin2xdx=3∫1cos2x dx−∫1sin2x dx=3tanx+cotx+C

∫x5 dx=x66+C

∫1x23 dx=∫x−23 dx=3x13+C=3x3+C(x>0)

∫7x dx=7xln7+C

∫3x5x dx=∫35x dx=35xln35+C=3x(ln3−ln5)5x+C

∫2x5+3dx=2∫x5 dx+3∫dx=x63+3x+C

∫(5cosx−3sinx)dx=5∫cosx dx−3∫sinx dx=5sinx+3cosx+C

∫x2−2xdx =12∫x12 dx−2∫1x dx=12⋅13⋅x32−2lnx+C=13xx−2lnx+C(x>0)

∫ex−2−2sin2xdx =1e2∫ex dx−2∫1sin2x dx=exe2+2cotx+C=ex−2+2cotx+C

∫x(2x−3)2 dx=∫4x3−12x2+9xdx=4∫x3 dx−12∫x2 dx+9∫x dx=x4−4x3+9x22+C

∫sin2x2 dx=∫1−cosx2 dx=12∫dx−∫cosx dx=12(x−sinx)+C

∫tan2x dx=∫1cos2x−1dx=∫1cos2x dx−∫dx=tanx−x+C

∫23x⋅3x dx=∫24x dx=24xln24+C

∫3x2dx=3∫x2dx=3⋅x33+C=x3+C

∫−32x2dx=−32∫x2dx=−32⋅x33+C=−12x3+C

∫x2+xdx=∫x2 dx+∫x dx=x33+x22+C

∫4x3−3x2dx=4∫x3dx−3∫x2dx=x4−x3+C

∫3x2+1dx=x3+x+C

∫(2x−1)2 dx=(2x−1)36+C

∫xdx=∫x12dx=x12112+1+C=23x32+C=23xx+C

∫1x3 dx=∫x−3 dx=x−3+1−3+1+C=−12x−2+C=−12x2+C

∫2x2+3xdx=∫2x2 dx+∫3x dx=2∫x2 dx+3∫1x dx=23x3+6x+C

∫1x4 dx=−13x3+C

∫xx dx=2x2x5+C

∫3x−5x3dx=3ln|x|−15xx34+C

∫(cosx+sinx)dx=∫cosxdx+∫sinxdx=sinx−cosx+C

∫2cosx−1cos2xdx=2∫cosxdx−∫1cos2xdx=2sinx−tanx+C

∫(3cosx−4sinx)dx=3sinx+4cosx+C; 

∫1cos2x−1sin2xdx=tanx+cotx+C. 

∫2xdx=2xln2+C

∫13xdx=∫13xdx=13xln13+C=−13xln3+C

∫2ex−5xdx=2∫exdx−∫5xdx=2ex−5xln5+C

∫4x dx=4xln4+C

 ∫1ex dx=−1ex+C (Lưu ý: GV gợi ý cách viết 1ex=1ex và ln1e=−1)

∫2⋅3x−13⋅7xdx=2⋅3xln3−7x3ln7+C

Dùng tính chất và công thức nguyên hàm của hàm số luỹ thừa.

Đáp số: \(\int {\left( {3{x^2} + 2x - 1} \right)} {\rm{d}}x = {x^3} + {x^2} - x + C\).

Đáp số: ∫x3−xdx=x44−x22+C

Ta có \({\left[ {{{(2x + 1)}^3}} \right]^\prime } = 3{(2x + 1)^2}{(2x + 1)^\prime } = 6{(2x + 1)^2}\). Do đó \(\frac{{{{(2x + 1)}^3}}}{6}\) là một nguyên hàm của hàm số \({(2x + 1)^2}\) trên \(\mathbb{R}\). Vậy \(\int {{{(2x + 1)}^2}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{{(2x + 1)}^3}}}{6} + C\).

GV có thể hướng dẵn HS khai triển hằng đẳng thức và dùng tính chất của nguyên hàm kết hợp với bảng nguyên hàm.

Ta có \(f(x) = {\left( {2x - \frac{1}{x}} \right)^2} = 4{x^2} - 4 + \frac{1}{{{x^2}}}\) nên

\(\int {{{\left( {2x - \frac{1}{x}} \right)}^2}} \;{\rm{d}}x = \int 4 {x^2}\;{\rm{d}}x - \int 4 \;{\rm{d}}x + \int {\frac{1}{{{x^2}}}} \;{\rm{d}}x = \frac{{4{x^3}}}{3} - 4x - \frac{1}{x} + C\).

Ta có:

\(\int {\left( {3\sqrt x  + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)} {\rm{d}}x = \int 3 \sqrt x \;{\rm{d}}x + \int {\frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \;{\rm{d}}x = 3\int {{x^{\frac{1}{2}}}} \;{\rm{d}}x + \int {{x^{ - \frac{1}{3}}}} \;{\rm{d}}x = 3 \cdot \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2}{x^{\frac{2}{3}}} + C\)

Đáp số: \(\int {\left( {3\sqrt x  + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)} {\rm{d}}x = 2x\sqrt x  + \frac{3}{2}\sqrt[3]{{{x^2}}} + C\).

Phån tích tương tưu, ta có:

\(\int {\sqrt x } \left( {7{x^2} - 3} \right){\rm{d}}x = \int 7 {x^{\frac{5}{2}}}\;{\rm{d}}x - \int 3 {x^{\frac{1}{2}}}\;{\rm{d}}x = 7 \cdot \frac{2}{7}{x^{\frac{7}{2}}} - 3 \cdot \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + C{\rm{. }}\)

Đap só: \(\int {\sqrt x } \left( {7{x^2} - 3} \right){\rm{d}}x = 2\left( {{x^3} - x} \right)\sqrt x  + C\).

Khai triên \({(2x + 1)^2} = 4{x^2} + 4x + 1\) và chia cho \({x^2}\). Dùng tính chắt của nguyên hàm.

Đáp số; \(\int {\frac{{{{(2x + 1)}^2}}}{{{x^2}}}} \;{\rm{d}}x = 4x + 4\ln |x| - \frac{1}{x} + C\).

Đáp số: ∫2x+3x2dx=2xln2−3x+C

Đáp số: ∫2cosx−3sin2xdx=2sinx+3cotx+C

Biến đối 4sin2x2=4⋅1−cosx2=2(1−cosx)Đáp số: ∫4sin2x2 dx=2(x−sinx)+C

Biến đời sinx2−cosx22=sin2x2−2sinx2cosx2+cos2x2=1−sinx

Đáp số: ∫sinx2−cosx22 dx=x+cosx+C

Sử dụng còng thức biến đôi \(1 + {\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) ta được

\(\int {\left( {x + {{\tan }^2}x} \right)} {\rm{d}}x = \int {\left( {x - 1 + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)} {\rm{d}}x = \int x \;{\rm{d}}x - \int {\rm{d}} x + \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \;{\rm{d}}x.\)

Đap só: \(\int {\left( {x + {{\tan }^2}x} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{2} - x + \tan x + C\).

Từ ý nghĩa hình học của đạo hàm, ta đà biết hệ số góc tiếp tuyến của đô thị \(({\rm{C}})\) tại điểm \(M(x;f(x)) \in (C)\) là \({k_M} = {f^\prime }(x)\). Do đó, hàm só́ \(f(x)\) có đạo hàm \({f^\prime }(x) = {(x - 1)^2}\). Vì \(f(0) = 0\) ta được \(f(x) = \frac{{{{(x - 1)}^3} + 1}}{3}\) là hàm số cần tìm.