(Trả lời ngắn) 18 bài tập Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp (có lời giải)

Ta có \[F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = } \int {\left( {3{x^2} - 4x + 1} \right)dx = {x^3} - 2{x^2} + x + C} \]. Mà \(F\left( 2 \right) = 2\) nên suy ra \(C = 0\)

Vậy hàm số \(F\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + x\). Suy ra \(F\left( 3 \right) = 12\).     

Trả lời: \(0,49\)

Ta có: \(f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 2} \right)\left( {2x + 1} \right)\)\( = 2{x^3} + {x^2} - 4x - 2\).

Suy ra \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int {\left( {2{x^3} + {x^2} - 4x - 2} \right){\rm{d}}x} \)

                      \( = \int {2{x^3}{\rm{d}}x}  + \int {{x^2}{\rm{d}}x}  - \int {4x{\rm{d}}x}  - \int {2{\rm{d}}x} \)

                       \( = \frac{1}{2}{x^4} + \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} - 2x + C,\,C \in \mathbb{R}\)

Mà \(F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{6}\) nên suy ra \(C = 0\).

Vậy hàm số \(F\left( x \right) =  = \frac{1}{2}{x^4} + \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} - 2x \Rightarrow F\left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{47}}{{96}} \approx 0,49\)

Trả lời: 11

Ta có: \(h\left( t \right) = \int {v\left( t \right){\rm{d}}t}  = \int {\left( { - 9,81t + 29,43} \right){\rm{d}}t}  =  - \frac{{9,81}}{2}{t^2} + 29,43t + C\).

Vì vật được ném lên từ độ cao 300 m nên \(h\left( 0 \right) = 300 \Rightarrow C = 300\).

Vậy \(h\left( t \right) =  - \frac{{9,81}}{2}{t^2} + 29,43t + 300\). Khi vật bắt đầu chạm đất ứng với \(h\left( t \right) = 0\).

Nên ta có: \( - \frac{{9,81}}{2}{t^2} + 29,43t + 300 = 0 \Leftrightarrow t \approx 11\) hoặc \(t \approx  - 5\).

Do \(t > 0\) nên \(t \approx 11\,\left( {\rm{s}} \right)\).

a) quãng đường xe ô tô đi được trong thời gian \(t\) (giây) là một nguyên hàm của \(v\left( t \right)\) nên:

\(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} dx = \int {\left( { - 3t + 15} \right)} \,dx =  - \frac{{3{t^2}}}{2} + 15t + C\)

\( \Rightarrow s\left( t \right) =  - \frac{{3{t^2}}}{2} + 15t + C\)

Chọn \(t = 0 \Rightarrow s\left( 0 \right) = 0\)

\( \Rightarrow C = 0\)

\( \Rightarrow s\left( t \right) =  - \frac{{3{t^2}}}{2} + 15t\)

Khi xe dừng hẳn thì \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow  - 3t + 15 = 0 \Rightarrow t = 5\).

Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là 5 giây

b) Sau khi đạp phanh đến khi dừng hẳn, xe đi được quãng đường:

\(s\left( 5 \right) =  - \frac{{{{3.5}^2}}}{2} + 15.5 = 37,5\left( m \right)\)

Do \(50 > 37,5\) nên xe ô tô dừng hẳn trước khi va chạm chướng ngại vật. Vì thế tai nạn không xảy ra.

c) người lái xe nhìn thấy chướng ngại vật trên đường, sau đó 1 giây mới phản ứng đạp phanh nên xe đi được quãng đường \[15m\] trong 1 giây

Tổng quãng đường xe đi được đến khi dừng hẳn là : \[15 + 37,5 = 52,5\left( m \right)\]

Do \(50 < 52,5\) nên xe ô tô va chạm chướng ngại vật. Vì thế tai nạn xảy ra.

a) quãng đường xe ô tô đi được trong thời gian \(t\) (giây) là một nguyên hàm của \(v\left( t \right)\) nên:

\[s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} dx = \int {\left( { - 10t + 20} \right)\,} \,dx =  - 5{t^2} + 20t + C\]

\( \Rightarrow s\left( t \right) =  - 5{t^2} + 20t + C\)

Chọn \(t = 0 \Rightarrow s\left( 0 \right) = 0\)

\( \Rightarrow C = 0\)

\( \Rightarrow s\left( t \right) =  - 5{t^2} + 20t\)

Khi xe dừng hẳn thì \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow  - 10t + 20 = 0 \Rightarrow t = 2\).

Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là 2 giây

b) Sau khi đạp phanh đến khi dừng hẳn, xe đi được quãng đường:

\(s\left( 2 \right) =  - {5.2^2} + 20.2 = 20\left( m \right)\)

Do \(40 > 20\) nên xe ô tô dừng hẳn trước khi va chạm chướng ngại vật. Vì thế tai nạn không xảy ra.

c) \[72\;km/h = 20m/s\]

người lái xe nhìn thấy chướng ngại vật trên đường, sau đó 1 giây mới phản ứng đạp phanh nên xe đi được quãng đường \[20m\] trong 1 giây

Tổng quãng đường xe đi được đến khi dừng hẳn là : \[20 + 20 = 40\left( m \right)\]

Do chướng ngại vật trên đường cách đó \(40m\) xe khi bắt đầu đạp phanh nên xe ô tô va chạm chướng ngại vật. Vì thế tai nạn xảy ra.

a) Quãng đường viên đạn đi được là: \(s\left( t \right) = \int {\left( {24,5 - 9,8t} \right)} \,dx = 24,5t - 4,9{t^2} + C\)

\( \Rightarrow s\left( t \right) = 24,5t - 4,9{t^2} + C\)

Chọn \(t = 0 \Rightarrow s\left( 0 \right) = 0\)

\( \Rightarrow C = 0\)

\( \Rightarrow s\left( t \right) = 24,5t - 4,9{t^2}\)

sau 2 giây đầu quãng đường viên đạn đi là \(s\left( 2 \right) = 24,5.2 - {4,9.2^2} = 29,4m\)

b) khi viên đạt đạt độ cao lớn nhất thì \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 24,5 - 9,8t = 0 \Leftrightarrow t = 2,5\left( s \right)\)

quãng đường viên đạn đi từ lúc bắn lên cho tới khi rơi xuống đất là: \(s\left( {2,5} \right) = 2\left( {24,5.2,5 - {{4,9.2,5}^2}} \right) = 61,25m\)

Ta có :

\(h'\left( t \right) = 10t + 500\)

\( \Rightarrow h\left( t \right) = \int {\left( {10t + 500} \right)} dx = 5{t^2} + 500t + C\)

\( \Rightarrow h\left( t \right) = 5{t^2} + 500t + C\)

Chọn \(t = 0 \Rightarrow h\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\)

\( \Rightarrow h\left( t \right) = 5{t^2} + 500t\)

thủy điện đã xả lũ trong 40 phút = 2400 giây thì thoát đi một lượng nước là:

\(h\left( {2400} \right) = {5.2400^2} + 500.2400 = {3.10^3}\left( {{m^3}} \right)\)

Ta có :

\(h'\left( t \right) = 3a{t^2} + bt\)

\[ \Rightarrow h\left( t \right) = \int {\left( {3a{t^2} + bt} \right)} dt = a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2} + C\]

\[ \Rightarrow h\left( t \right) = a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2} + C\]

Chọn \(t = 0 \Rightarrow h\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\)

\[ \Rightarrow h\left( t \right) = a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2}\]

Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là : \[h\left( 5 \right) = 150 \Leftrightarrow 125a + \frac{{25}}{2}b = 150\]

Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là :\[h\left( {10} \right) = 1100 \Leftrightarrow 1000a + 50b = 1100\]

Ta có hệ : \[\left\{ \begin{array}{l}125a + \frac{{25}}{2}b = 150\\1000a + 50b = 1100\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow h\left( t \right) = {t^3} + {t^2}\]

thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây là \[h\left( {20} \right) = {20^3} + {20^2} = 8400{m^3}\]

Ta có :

\(h'\left( t \right) = \frac{1}{5}\sqrt[3]{t}\)

\( \Rightarrow h\left( t \right) = \int {\frac{1}{5}\sqrt[3]{t}} dx = \frac{1}{5}\int {{t^{\frac{1}{3}}}} dx = \frac{1}{5}\frac{{{t^{\frac{1}{3} + 1}}}}{{\frac{1}{3} + 1}} + C = \frac{3}{{20}}t\sqrt[3]{t} + C\)

\( \Rightarrow h\left( t \right) = \frac{3}{{20}}t\sqrt[3]{t} + C\)

Chọn \(t = 0 \Rightarrow h\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\)

\( \Rightarrow h\left( t \right) = \frac{3}{{20}}t\sqrt[3]{t}\)

mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây: \(h\left( 6 \right) = \frac{3}{{20}}.6\sqrt[3]{6} \approx 1,64m\)

Ta có :

\(N'\left( t \right) = \frac{{1000}}{t}\)

\( \Rightarrow N\left( t \right) = \int {\frac{{1000}}{t}dt = 1000\ln \left| t \right|}  + C\)

\( \Rightarrow N\left( t \right) = 1000\ln \left| t \right| + C\)

Chọn \(t = 1 \Rightarrow N\left( 1 \right) = 250000 \Rightarrow C = 250000\)

\( \Rightarrow N\left( t \right) = 1000\ln \left| t \right| + 250000\)

số lượng vi rút sau 10 ngày là: \(N\left( {10} \right) = 1000\ln 10 + 250000 \approx 252302\)

Ta có: \(h'(t) = \frac{1}{{\sqrt[4]{t}}}\)\( \Rightarrow h(t) = \int {\frac{1}{{\sqrt[4]{t}}}} dt = \int {{t^{ - \frac{1}{4}}}} dt = \frac{{{t^{ - \frac{1}{4} + 1}}}}{{^{ - \frac{1}{4} + 1}}} + C = \frac{4}{3}\sqrt[4]{{{t^3}}} + C\)\( \Rightarrow h(t) = \frac{4}{3}\sqrt[4]{{{t^3}}} + C\)

năm đầu tiên cây cao 1m nên \(h(1) = 1,5 \Leftrightarrow 1,5 = \frac{4}{3}\sqrt[4]{1} + C \Rightarrow C = \frac{1}{6}\)

\( \Rightarrow h(t) = \frac{4}{3}\sqrt[4]{{{t^3}}} + \frac{1}{6}\)

cây cao được 3m nên \(h(t) = 3 \Leftrightarrow \frac{4}{3}\sqrt[4]{{{t^3}}} + \frac{1}{6} = 3 \Leftrightarrow \sqrt[4]{{{t^3}}} = \frac{{17}}{8} \Rightarrow t \approx 2,73\)