20 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Khẳng định nào dưới đây sai?
\(\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C,n \ne - 1\).
\(\int {{e^x}dx} = {e^x} + C\).
\(\int {\frac{1}{{{x^2}}}dx} = \frac{1}{x} + C\).
\(\int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C\).
Chọn C
\(\int {\frac{1}{{{x^2}}}dx} = - \frac{1}{x} + C\).
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x + \cos x\) là
\(F\left( x \right) = \sin x + \cos x + C\).
\(F\left( x \right) = \sin x - \cos x + C\).
\(F\left( x \right) = - \sin x + \cos x + C\).
\(F\left( x \right) = - \sin x - \cos x + C\).
Chọn B
\(F\left( x \right) = \int {\left( {\sin x + \cos x} \right)dx} = \sin x - \cos x + C\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2x}} + \sin 3x\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(\int {f\left( x \right)dx} = {e^{2x}} - \frac{1}{3}\cos 3x + C\).
\(\int {f\left( x \right)dx} = {e^{2x}} - \cos 3x + C\).
\(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + \frac{1}{3}\sin 3x + C\).
\(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{e^{2x}}}}{2} - \frac{1}{3}\cos 3x + C\).
Chọn D
\(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{e^{2x}}}}{2} - \frac{1}{3}\cos 3x + C\).
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {5^x}\) là
\(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{5^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C\).
\(\int {f\left( x \right)dx} = {5^x} + C\).
\(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{5^x}}}{{\ln 5}} + C\).
\(\int {f\left( x \right)dx} = {5^x}\ln 5 + C\).
Chọn C
\(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{5^x}}}{{\ln 5}} + C\).
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 4{\sin ^2}x\) là
\(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{4{{\sin }^3}x}}{3} + C\).
\(\int {f\left( x \right)dx} = 2x - \sin 2x + C\).
\(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{\cos 2x}}{2} + C\).
\(\int {f\left( x \right)dx} = 2x - 2\sin 2x + C\).
Chọn B
Ta có \(f\left( x \right) = 4{\sin ^2}x = 2\left( {1 - \cos 2x} \right) = 2 - 2\cos 2x\).
Lúc đó \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {2 - 2\cos 2x} \right)dx} = 2x - \sin 2x + C\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{1}{x} + C\).
\(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{2}{x} + C\).
\(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^2} - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)dx} \).
\(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C\).
Chọn D
\(\int {f\left( x \right)} dx = \int {\frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}}dx} = \int {\left( {{x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C\).
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x + {3^x}\) là
\(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\).
\(F\left( x \right) = 1 + \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\).
\(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + {3^x} + C\).
\(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + {3^x}\ln 3 + C\).
Chọn A
\(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {x + {3^x}} \right)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\).
Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{ - x}} + \cos x\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(F\left( x \right) = {e^{ - x}} + \sin x + 2019\).
\(F\left( x \right) = {e^{ - x}} + \cos x + 2019\).
\(F\left( x \right) = - {e^{ - x}} + \sin x + 2019\).
\(F\left( x \right) = - {e^{ - x}} - \cos x + 2019\).
Chọn C
\(F'\left( x \right) = {\left( { - {e^{ - x}} + \sin x + 2019} \right)^\prime } = {e^{ - x}} + \cos x\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^x} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\). Khẳng định nào đúng?
\(\int {f\left( x \right)dx} = {e^x} - \frac{1}{{\cos x}} + C\).
\(\int {f\left( x \right)dx} = {e^x} + \tan x + C\).
\(\int {f\left( x \right)dx} = {e^x} - \tan x + C\).
\(\int {f\left( x \right)dx} = {e^x} + \frac{1}{{\cos x}} + C\).
Chọn B
\(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{e^x} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx} = {e^x} + \tan x + C\).
Nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = {e^x} - 3{e^{ - x}}\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 4\) là
\(F\left( x \right) = {e^x} - 3{e^{ - x}}\).
\(F\left( x \right) = {e^x} + 3{e^{ - 2x}}\).
\(F\left( x \right) = {e^x} + 3{e^{ - x}}\).
\(F\left( x \right) = {e^x} + 3{e^{ - x}} + 4\).
Chọn C
\(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {{e^x} - 3{e^{ - x}}} \right)dx} = {e^x} + 3{e^{ - x}} + C\).
mà \(F\left( 0 \right) = 4\)\( \Rightarrow 1 + 3 + C = 4 \Rightarrow C = 0\).
Do đó \(F\left( x \right) = {e^x} + 3{e^{ - x}}\).
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Biết \(F\left( x \right) = 3{x^2} + 2x - \ln x + C,x \in \left( {0; + \infty } \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\).
a) \(f\left( x \right) = 6x + 2 - \frac{1}{x},x \in \left( {0; + \infty } \right)\).
b) \(F\left( 1 \right) = 3\). Khi đó \(F\left( 2 \right) = 14 - \ln 2\).
c) \(f\left( 1 \right) = 1\).
d) Bất phương trình \(f\left( x \right) + \frac{1}{x} - 8 < 0\) có tập nghiệm là \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
a) \(F'\left( x \right) = f\left( x \right) = 6x + 2 - \frac{1}{x}\).
b) Có \(F\left( 1 \right) = {3.1^2} + 2.1 - \ln 1 + C = 3 \Rightarrow C = - 2\).
Khi đó \(F\left( x \right) = 3{x^2} + 2x - \ln x - 2\). Khi đó \(F\left( 2 \right) = {3.2^2} + 2.2 - \ln 2 - 2 = 14 - \ln 2\).
c) \(f\left( 1 \right) = 6.1 + 2 - \frac{1}{1} = 7\).
d) \(f\left( x \right) + \frac{1}{x} - 8 < 0\)\( \Leftrightarrow 6x + 2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} - 8 < 0\)\( \Leftrightarrow 6x - 6 < 0\)\( \Leftrightarrow x < 1\).
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - \sin 2x\).
a) Hàm số \(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + \cos 2x + 2\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\).
b) Biết hàm số \(f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right)\), khi đó phương trình \(g\left( x \right) + 2\cos 2x = 0\) có đúng một nghiệm.
c) Họ nguyên hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{\cos 2x}}{2} + C\).
d) Gọi \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) và \(G\left( \pi \right) = \frac{{{\pi ^4}}}{4} + \frac{1}{2}\). Khi đó \(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{{\pi ^4}}}{{16}} - \frac{1}{2}\).
a) Có \(F'\left( x \right) = {x^3} - 2\sin 2x\).
Do đó \(F\left( x \right)\) không là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\).
b) Có \(g\left( x \right) = f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2\cos 2x\).
Suy ra \(g\left( x \right) + 2\cos 2x = 0\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
Vậy phương trình \(g\left( x \right) + 2\cos 2x = 0\) có đúng một nghiệm.
c) Có \(G\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^3} - \sin 2x} \right)dx} = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{\cos 2x}}{2} + C\).
d) Có \(G\left( \pi \right) = \frac{{{\pi ^4}}}{4} + \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow \frac{{{\pi ^4}}}{4} + \frac{{\cos 2\pi }}{2} + C = \frac{{{\pi ^4}}}{4} + \frac{1}{2} \Rightarrow C = 0\).
Khi đó \(G\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{\cos 2x}}{2}\).
Khi đó \(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{{\pi ^4}}}{{64}} - \frac{1}{2}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\) trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) thỏa mãn \(F\left( { - 2} \right) = 0\) (với C là một số thực bất kì).
a) \(F\left( { - 2e} \right) = 1\).
b) \(F\left( { - 3} \right) = \ln \frac{3}{2}\).
c) \(f\left( { - 4} \right) = \ln 2\).
d) \(F'\left( { - 1} \right) = - 1\).
Ta có \(F\left( x \right) = \int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C = \ln \left( { - x} \right) + C\) vì \(x \in \left( { - \infty ;0} \right)\).
Mà \(F\left( { - 2} \right) = 0\) nên \(\ln 2 + C = 0 \Rightarrow C = - \ln 2\). Do đó \(F\left( x \right) = \ln \left( { - x} \right) - \ln 2\).
a) \(F\left( { - 2e} \right) = \ln \left( {2e} \right) - \ln 2 = \ln 2 + 1 - \ln 2 = 1\).
b) \(F\left( { - 3} \right) = \ln 3 - \ln 2 = \ln \frac{3}{2}\).
c) \(f\left( { - 4} \right) = \frac{1}{{ - 4}} = - \frac{1}{4}\).
d) \(F'\left( { - 1} \right) = f\left( { - 1} \right) = - 1\).
Đáp án: a) Đúng;b) Đúng; c) Sai;d) Đúng.
Một vật chuyển động với gia tốc \(a\left( t \right) = 4\cos t\) (m/s2). Tại thời điểm bắt đầu chuyển động vật có vận tốc bằng 0.
a) Vận tốc của vật được biểu diễn bởi hàm số \(v\left( t \right) = 4\cos t\) (m/s).
b) Vận tốc của vật tại thời điểm \(t = \frac{\pi }{6}\) là 2 m/s.
c) Tại thời điểm \(t = \frac{\pi }{4}\) (s) sau khi xuất phát thì vận tốc của vật là \(\sqrt 2 \) m/s.
d) Gia tốc của vật tại thời điểm \(t = \frac{\pi }{4}\) (s) là \(2\sqrt 2 \) (m/s2).
a) \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {4\cos t} dt = 4\sin t + C\).
Mà \(v\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow 4\sin 0 + C = 0 \Rightarrow C = 0\).
Khi đó \(v\left( t \right) = 4\sin t\) m/s.
b) \(v\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 4\sin \frac{\pi }{6} = 2\) m/s.
c) \(v\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 4\sin \frac{\pi }{4} = 2\sqrt 2 \) m/s.
d) \(a\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 4\cos \frac{\pi }{4} = 2\sqrt 2 \) m/s2.
Đáp án: a) Sai;b) Đúng; c) Sai;d) Đúng.
Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {2^x}\), thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 2}}\).
a) \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).
b) \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {{2^x}dx} = {2^x}\ln 2 + C\).
c) \(F\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\).
d) \(T = F\left( 0 \right) + F\left( 1 \right) + ... + F\left( {2024} \right) + F\left( {2025} \right) = \frac{{{2^{2025}} - 1}}{{\ln 2}}\).
a) \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {2^x}\) nên \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).
b) \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {{2^x}dx} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\).
c) Vì \(F\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 2}}\) nên \(\frac{1}{{\ln 2}} + C = \frac{1}{{\ln 2}} \Rightarrow C = 0\).
Do đó \(F\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\).
d) Ta có \(F\left( 0 \right) = \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}}\); \(F\left( 1 \right) = \frac{{{2^1}}}{{\ln 2}}\); …; \(F\left( {2024} \right) = \frac{{{2^{2024}}}}{{\ln 2}}\); \(F\left( {2025} \right) = \frac{{{2^{2025}}}}{{\ln 2}}\).
Khi đó \(T = F\left( 0 \right) + F\left( 1 \right) + ... + F\left( {2024} \right) + F\left( {2025} \right) = \)\[ = \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}} + \frac{{{2^1}}}{{\ln 2}} + ... + \frac{{{2^{2024}}}}{{\ln 2}} + \frac{{{2^{2025}}}}{{\ln 2}}\]
\[ = \frac{1}{{\ln 2}}\left( {{2^0} + {2^1} + ... + {2^{2024}} + {2^{2025}}} \right)\]\[ = \frac{{{2^{2026}} - 1}}{{\ln 2}}\].
Đáp án: a) Đúng;b) Sai; c) Đúng;d) Sai.
PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} + \frac{1}{{2x + 1}}\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 0\). Đặt \(F\left( 1 \right) = a + \frac{b}{c}\ln 3\) trong đó a, b, c là các số nguyên dương và \(\frac{b}{c}\) là phân số tối giản. Khi đó giá trị biểu thức \(a + b + c\) bằng bao nhiêu (kết quả là số nguyên).
\(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{x^2} + \frac{1}{{2x + 1}}} \right)dx} \)\( = {x^3} + \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + C\).
Có \(F\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\).
Khi đó \(F\left( x \right) = {x^3} + \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right|\).
Vậy \(F\left( 1 \right) = {1^3} + \frac{1}{2}\ln \left| {2.1 + 1} \right| = 1 + \frac{1}{2}\ln 3\).
Suy ra \(a = 1;b = 1;c = 2 \Rightarrow a + b + c = 4\).
Trả lời: 4.
Nhằm tri ân người dân địa phương đã luôn tin tưởng, đồng hành với doanh nghiệp. Tập đoàn NXS đã tổ chức ngày hội cảm ơn vào ngày 10/07/2024. Trong chuỗi sự kiện đặc biệt này, tất cả người dân địa phương đều được miễn phí vé vào cổng, thỏa thích tận hưởng các trò chơi, tham quan các công trình kỳ thú, ấn tượng tại 5 công viên chủ đề được đầu tư, xây dựng hoành tráng với hàng trăm tiện ích. Gọi B(t) là hàm số biểu thị số lượng khách tham quan sau t giờ mở cửa. Khi tốc độ thay đổi lượng khách tham quan trong ngày được biểu diễn bằng hàm số \(B'\left( t \right) = 4{t^3} - 3{t^2} + 200\), trong đó t tính bằng giờ (\(0 \le t \le 8\)), \(B'\left( t \right)\) tính bằng khách/giờ. Sau 2 giờ đã có 1200 người có mặt. Hỏi sau 6 giờ lượng khách tham quan là bao nhiêu người?
Ta có \(B\left( t \right) = \int {\left( {4{t^3} - 3{t^2} + 200} \right)dt} = {t^4} - {t^3} + 200t + C\).
Mà \(B\left( 2 \right) = 1200\)\( \Rightarrow {2^4} - {2^3} + 200.2 + C = 1200 \Rightarrow C = 792\).
Khi đó \(B\left( t \right) = {t^4} - {t^3} + 200t + 792\).
Sau 6 giờ lượng khách tham quan là \(B\left( 6 \right) = {6^4} - {6^3} + 200.6 + 792 = 3072\) (khách).
Trả lời: 3072.
Nguyên hàm \(\int {\left( {7 + 5{{\cot }^2}x} \right)dx} = ax + b{\cot ^c}x + C\) (với a, b, c là các số nguyên dương).
Tính \(a + 4b + c\).
Ta có \(\int {\left( {7 + 5{{\cot }^2}x} \right)dx} = \int {\left( {2 + 5\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right)} \right)dx} \)\( = \int {\left( {2 + \frac{5}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \)\( = 2x - 5\cot x + C\).
Suy ra \(a = 2;b = - 5;c = 1\). Vậy \(a + 4b + c = 2 - 20 + 1 = - 17\).
Trả lời: −17.
Biết \(F\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right)\sqrt {2x - 3} \) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{20{x^2} - 30x + 7}}{{\sqrt {2x - 3} }}\) trên khoảng \(\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\). Tính \(P = abc\).
Theo đề ta có \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).
Ta có \(F'\left( x \right) = \left( {2ax + b} \right)\sqrt {2x - 3} + \left( {a{x^2} + bx + c} \right).\frac{1}{{\sqrt {2x - 3} }}\)\( = \frac{{\left( {2ax + b} \right).\left( {2x - 3} \right) + \left( {a{x^2} + bx + c} \right)}}{{\sqrt {2x - 3} }}\)
\( = \frac{{5a{x^2} + \left( { - 6a + 3b} \right)x + \left( { - 3b + c} \right)}}{{\sqrt {2x - 3} }}\).
Vì \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}5a = 20\\ - 6a + 3b = - 30\\ - 3b + c = 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = - 2\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow P = - 8\).
Trả lời: −8.
Cho \(F\left( x \right) = {e^x} + {x^2} + 2024\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\). Tính \(f\left( 1 \right)\)(làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
\(f\left( x \right) = F'\left( x \right) = {e^x} + 2x\).
Khi đó \(f\left( 1 \right) = e + 2 \approx 4,7\).
Trả lời: 4,7.
