20 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

a) \(F'\left( x \right) = f\left( x \right) = 6x + 2 - \frac{1}{x}\).

b) Có \(F\left( 1 \right) = {3.1^2} + 2.1 - \ln 1 + C = 3 \Rightarrow C =  - 2\).

Khi đó \(F\left( x \right) = 3{x^2} + 2x - \ln x - 2\). Khi đó \(F\left( 2 \right) = {3.2^2} + 2.2 - \ln 2 - 2 = 14 - \ln 2\).

c) \(f\left( 1 \right) = 6.1 + 2 - \frac{1}{1} = 7\).

d) \(f\left( x \right) + \frac{1}{x} - 8 < 0\)\( \Leftrightarrow 6x + 2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} - 8 < 0\)\( \Leftrightarrow 6x - 6 < 0\)\( \Leftrightarrow x < 1\).

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(\left( { - \infty ;1} \right)\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;    c) Sai;   d) Đúng.

a) Có \(F'\left( x \right) = {x^3} - 2\sin 2x\).

Do đó \(F\left( x \right)\) không là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\).

b) Có \(g\left( x \right) = f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2\cos 2x\).

Suy ra \(g\left( x \right) + 2\cos 2x = 0\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Vậy phương trình \(g\left( x \right) + 2\cos 2x = 0\) có đúng một nghiệm.

c) Có \(G\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {{x^3} - \sin 2x} \right)dx}  = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{\cos 2x}}{2} + C\).

d) Có \(G\left( \pi  \right) = \frac{{{\pi ^4}}}{4} + \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow \frac{{{\pi ^4}}}{4} + \frac{{\cos 2\pi }}{2} + C = \frac{{{\pi ^4}}}{4} + \frac{1}{2} \Rightarrow C = 0\).

Khi đó \(G\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{\cos 2x}}{2}\).

Khi đó \(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{{\pi ^4}}}{{64}} - \frac{1}{2}\).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;    c) Đúng;   d) Sai.

Ta có \(F\left( x \right) = \int {\frac{1}{x}dx}  = \ln \left| x \right| + C = \ln \left( { - x} \right) + C\) vì \(x \in \left( { - \infty ;0} \right)\).

Mà \(F\left( { - 2} \right) = 0\)      nên \(\ln 2 + C = 0 \Rightarrow C =  - \ln 2\). Do đó \(F\left( x \right) = \ln \left( { - x} \right) - \ln 2\).

a) \(F\left( { - 2e} \right) = \ln \left( {2e} \right) - \ln 2 = \ln 2 + 1 - \ln 2 = 1\).

b) \(F\left( { - 3} \right) = \ln 3 - \ln 2 = \ln \frac{3}{2}\).

c) \(f\left( { - 4} \right) = \frac{1}{{ - 4}} =  - \frac{1}{4}\).

d) \(F'\left( { - 1} \right) = f\left( { - 1} \right) =  - 1\).

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng;   c) Sai; d) Đúng.

a) \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt}  = \int {4\cos t} dt = 4\sin t + C\).

Mà \(v\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow 4\sin 0 + C = 0 \Rightarrow C = 0\).

Khi đó \(v\left( t \right) = 4\sin t\) m/s.

b) \(v\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 4\sin \frac{\pi }{6} = 2\) m/s.

c) \(v\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 4\sin \frac{\pi }{4} = 2\sqrt 2 \) m/s.

d) \(a\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 4\cos \frac{\pi }{4} = 2\sqrt 2 \) m/s2.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng;   c) Sai; d) Đúng.

a) \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {2^x}\) nên \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

b) \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  = \int {{2^x}dx}  = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\).

c) Vì \(F\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 2}}\) nên \(\frac{1}{{\ln 2}} + C = \frac{1}{{\ln 2}} \Rightarrow C = 0\).

Do đó \(F\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\).

d) Ta có \(F\left( 0 \right) = \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}}\); \(F\left( 1 \right) = \frac{{{2^1}}}{{\ln 2}}\); …; \(F\left( {2024} \right) = \frac{{{2^{2024}}}}{{\ln 2}}\); \(F\left( {2025} \right) = \frac{{{2^{2025}}}}{{\ln 2}}\).

Khi đó \(T = F\left( 0 \right) + F\left( 1 \right) + ... + F\left( {2024} \right) + F\left( {2025} \right) = \)\[ = \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}} + \frac{{{2^1}}}{{\ln 2}} + ... + \frac{{{2^{2024}}}}{{\ln 2}} + \frac{{{2^{2025}}}}{{\ln 2}}\]

\[ = \frac{1}{{\ln 2}}\left( {{2^0} + {2^1} + ... + {2^{2024}} + {2^{2025}}} \right)\]\[ = \frac{{{2^{2026}} - 1}}{{\ln 2}}\].

Đáp án: a) Đúng; b) Sai;   c) Đúng; d) Sai.

\(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {3{x^2} + \frac{1}{{2x + 1}}} \right)dx} \)\( = {x^3} + \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + C\).

Có \(F\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\).

Khi đó \(F\left( x \right) = {x^3} + \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right|\).

Vậy \(F\left( 1 \right) = {1^3} + \frac{1}{2}\ln \left| {2.1 + 1} \right| = 1 + \frac{1}{2}\ln 3\).

Suy ra \(a = 1;b = 1;c = 2 \Rightarrow a + b + c = 4\).

Trả lời: 4.

Ta có \(B\left( t \right) = \int {\left( {4{t^3} - 3{t^2} + 200} \right)dt}  = {t^4} - {t^3} + 200t + C\).

Mà \(B\left( 2 \right) = 1200\)\( \Rightarrow {2^4} - {2^3} + 200.2 + C = 1200 \Rightarrow C = 792\).

Khi đó \(B\left( t \right) = {t^4} - {t^3} + 200t + 792\).

Sau 6 giờ lượng khách tham quan là \(B\left( 6 \right) = {6^4} - {6^3} + 200.6 + 792 = 3072\) (khách).

Trả lời: 3072.

Ta có \(\int {\left( {7 + 5{{\cot }^2}x} \right)dx}  = \int {\left( {2 + 5\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right)} \right)dx} \)\( = \int {\left( {2 + \frac{5}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \)\( = 2x - 5\cot x + C\).

Suy ra \(a = 2;b =  - 5;c = 1\). Vậy \(a + 4b + c = 2 - 20 + 1 =  - 17\).

Trả lời: −17.

Theo đề ta có \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

Ta có \(F'\left( x \right) = \left( {2ax + b} \right)\sqrt {2x - 3}  + \left( {a{x^2} + bx + c} \right).\frac{1}{{\sqrt {2x - 3} }}\)\( = \frac{{\left( {2ax + b} \right).\left( {2x - 3} \right) + \left( {a{x^2} + bx + c} \right)}}{{\sqrt {2x - 3} }}\)

\( = \frac{{5a{x^2} + \left( { - 6a + 3b} \right)x + \left( { - 3b + c} \right)}}{{\sqrt {2x - 3} }}\).

Vì \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}5a = 20\\ - 6a + 3b =  - 30\\ - 3b + c = 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b =  - 2\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow P =  - 8\).

Trả lời: −8.

\(f\left( x \right) = F'\left( x \right) = {e^x} + 2x\).

Khi đó \(f\left( 1 \right) = e + 2 \approx 4,7\).

Trả lời: 4,7.