64 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp có đáp án - Đề 1
32 câu hỏi
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 2x + 6\) là
\[{x^2} + C\].
\[{x^2} + 6x + C\].
\[2{x^2} + C\].
\[2{x^2} + 6x + C\].
Chọn B
∫2x+6dx=x2+6x+C
\(\int {{x^2}dx} \) bằng
\(2x + C\).
\(\frac{1}{3}{x^3} + C\).
\({x^3} + C\).
\(3{x^3} + C\)
Chọn B
Ta có ∫x2dx=13x3+C
Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 3{x^2} + 1\) là
\({x^3} + C\)
\(\frac{{{x^3}}}{3} + x + C\)
\(6x + C\)
\({x^3} + x + C\)
Chọn D
∫3x2+1dx=x3+x+C.
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + x\) là
\(\frac{1}{4}{x^4} + \frac{1}{2}{x^2} + C\)
\(3{x^2} + 1 + C\)
\({x^3} + x + C\)
\({x^4} + {x^2} + C\)
Chọn A
∫x3+x2dx=14x4+12x2+C
Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^4} + {x^2}\] là
\[\frac{1}{5}{x^5} + \frac{1}{3}{x^3} + C\]
\[{x^4} + {x^2} + C\]
\[{x^5} + {x^3} + C\].
\[4{x^3} + 2x + C\]
Chọn A
∫fxdx=∫x4+x2dx=15x5+13x3+C
Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số \(y = {x^{2022}}\)?
\(\frac{{{x^{2023}}}}{{2023}} + 1\).
\(\frac{{{x^{2023}}}}{{2023}}\).
\(y = 2022{x^{2021}}\).
\(\frac{{{x^{2023}}}}{{2023}} - 1\).
Chọn C
Ta có: \(\int {{x^{2022}}{\rm{d}}} x = \frac{{{x^{2023}}}}{{2023}} + C,{\rm{ }}C\)là hằng số.
Nên các phương án A, B, D đều là nguyên hàm của hàm số \(y = {x^{2022}}\).
Nguyên hàm của hàm số \[f(x) = \] \(\frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + x - 2024\) là
\[\frac{1}{{12}}{x^4} - \frac{2}{3}{x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} + C\].
\(\frac{1}{9}{x^4} - \frac{2}{3}{x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 2024x + C\).
\(\frac{1}{{12}}{x^4} - \frac{2}{3}{x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 2024x + C\).
\(\frac{1}{9}{x^4} + \frac{2}{3}{x^3} - \frac{{{x^2}}}{2} - 2024x + C\).
Chọn C
Sử dụng công thức \(\int {{x^n}dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C} \) ta được:
\(\int {\left( {\frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + x - 2024} \right)dx = } \frac{1}{3}.\frac{{{x^4}}}{4} - 2.\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 2024x + C = \frac{1}{{12}}{x^4} - \frac{2}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} - 2024x + C.\)
Tìm nguyên \[F\left( x \right)\] của hàm số \[f\left( x \right)\, = \,\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)?\]
\[F\left( x \right)\, = \,\frac{{{x^4}}}{4}\, - \,6{x^3}\, + \,\frac{{11}}{2}{x^2} - \,6x\, + \,C\].
\[F\left( x \right)\, = \,{x^4}\, + \,6{x^3}\, + \,11{x^2} + \,6x\, + \,C\].
\[F\left( x \right)\, = \,\frac{{{x^4}}}{4}\, + 2{x^3}\, + \,\frac{{11}}{2}{x^2} + \,6x\, + \,C\].
\[F\left( x \right)\, = \,{x^3}\, + \,6{x^2}\, + \,11{x^2} + \,6x\, + \,C\].
Chọn C
Ta có: \[f\left( x \right)\, = \,\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = \,{x^3} + \,6{x^2}\, + \,11x\, + \,6\]
\[ \Rightarrow \,\,F\left( x \right)\, = \,\int {\left( {{x^3} + \,6{x^2}\, + \,11x\, + \,6} \right)} dx\, = \,\,\frac{{{x^4}}}{4}\, + 2{x^3}\, + \,\frac{{11}}{2}{x^2} + \,6x\, + \,C\].
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}\).
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{1}{x} + C\).
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C\).
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{1}{x} + C\).
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{2}{x} + C\).
Chọn A
Ta có \(\int {\left( {{x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C\).
Tính ∫xxxdx
\(\frac{4}{{15}}x\sqrt[{15}]{{{x^7}}} + C\).
\(\frac{8}{{15}}x\sqrt[{15}]{{{x^7}}} + C\).
\(\frac{8}{{15}}x\sqrt[{15}]{x} + C\).
\(\frac{4}{{15}}x\sqrt[{15}]{x} + C\).
Chọn B
\(\int {\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } dx} = \int {\sqrt {x\sqrt {x.{x^{\frac{1}{2}}}} } dx} = \int {\sqrt {x.{x^{\frac{3}{4}}}} dx} = \int {{x^{\frac{7}{8}}}dx} = \frac{{{x^{\frac{7}{8} + 1}}}}{{\frac{7}{8} + 1}} + C = \frac{8}{{15}}x\sqrt[{15}]{{{x^7}}} + C\)
Tính: ∫x- 2x23 + 1x4dx
\[x\sqrt[5]{x} - 2x\sqrt[{17}]{{{x^5}}} + \sqrt[4]{{{x^3}}} + C\].
\[\frac{4}{5}x\sqrt[5]{x} - \frac{{24}}{{17}}x\sqrt[{17}]{{{x^5}}} + \frac{4}{3}\sqrt[4]{{{x^3}}} + C\].
\[x\sqrt[5]{x} - \frac{{24}}{{17}}x\sqrt[{17}]{{{x^5}}} + \sqrt[4]{{{x^3}}} + C\].
\[\frac{4}{5}x\sqrt[5]{x} - 2x\sqrt[{17}]{{{x^5}}} + \frac{4}{3}\sqrt[4]{{{x^3}}} + C\].
Chọn B
\[\int {\frac{{\sqrt x - 2\sqrt[3]{{{x^2}}} + 1}}{{\sqrt[4]{x}}}dx} = \int {\frac{{{x^{\frac{1}{2}}} - 2{x^{\frac{2}{3}}} + 1}}{{{x^{\frac{1}{4}}}}}dx = } \int {\left( {\frac{{{x^{\frac{1}{2}}}}}{{{x^{\frac{1}{4}}}}} - 2\frac{{{x^{\frac{2}{3}}}}}{{{x^{\frac{1}{4}}}}} + \frac{1}{{{x^{\frac{1}{4}}}}}} \right)dx} \]
\[ = \int {\left( {{x^{\frac{1}{4}}} - 2{x^{\frac{5}{{12}}}} + {x^{ - \frac{1}{4}}}} \right)dx = \frac{4}{5}} x\sqrt[5]{x} - \frac{{24}}{{17}}x\sqrt[{17}]{{{x^5}}} + \frac{4}{3}\sqrt[4]{{{x^3}}} + C\]
Cho hàm số \(f(x) = {x^2} + 4\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\int f (x)dx = 2x + C\).
\(\int f (x)dx = {x^2} + 4x + C\).
\(\int f (x)dx = \frac{{{x^3}}}{3} + 4x + C\).
\(\int f (x)dx = {x^3} + 4x + C\).
Ta có: \(f(x) = {x^2} + 4 \Rightarrow \int f (x)dx = \frac{{{x^3}}}{3} + 4x + C\)
Chọn C
Trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^{\frac{3}{2}}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\int {f\left( x \right)} dx = \frac{3}{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C\).
\(\int {f\left( x \right)} dx = \int {\sqrt {{x^3}} } dx\).
\(\int {f\left( x \right)} dx = \frac{2}{5}{x^{\frac{5}{2}}} + C\).
\(\int {f\left( x \right)} dx = \frac{2}{3}{x^{\frac{1}{2}}} + C\).
Ta có:\(\int {f\left( x \right)} dx = \int {{x^{\frac{3}{2}}}} dx = \frac{2}{5}{x^{\frac{5}{2}}} + C\).
Chọn C
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = } \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{1}{x} + C\).
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = } \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{2}{x} + C\).
\[\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = } \int {\left( {{x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)} {\rm{d}}x\].
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = } \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C\).
Ta có: \[\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = } \int {\frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}}} {\rm{d}}x = \int {\left( {{x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C\].
Chọn D
Hàm số \(F(x) = 2{x^3} - 2x + 1\) là nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
\(f\left( x \right) = 6{x^2} - 2\)
\(f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^4} - {x^2} + x\)
\(f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^4} - {x^2} + x + C\).
\(f\left( x \right) = 6{x^2} - 2 + C\).
Chọn A
Ta có: \(f(x) = F'(x) = {\left( {2{x^3} - 2x + 1} \right)^\prime } = 6{x^2} - 2\).
Phát biểu nào sau đây là đúng?
\(\int {F'\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} \).
\(\int {F\left( x \right)dx = F'\left( x \right) + C} \).
\(\int {F\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} \).
\(\int {F'\left( x \right)dx = F'\left( x \right) + C} \).
Chọn A
Phát biểu nào sau đây là đúng?
\[\int {{e^{ - 3x}}dx} = {e^{ - 3x}} + C\].
\[\int {{e^{ - 3x}}dx} = - \frac{1}{3}{e^{ - 3x}} + C\].
\[\int {{e^{ - 3x}}dx} = \frac{1}{3}{e^{ - 3x}} + C\].
\[\int {{e^{ - 3x}}dx} = - \frac{1}{3}{e^{ - 3x}}\].
Chọn B
\[\int {{{\left( {2x} \right)}^{\sqrt 2 }}{\rm{d}}x} \] bằng:
\[\frac{{{{\left( {2x} \right)}^{\sqrt 2 + 1}}}}{{\sqrt 2 + 1}} + C\].
\[\frac{{{2^{\sqrt 2 }}{x^{\sqrt 2 + 1}}}}{{\sqrt 2 + 1}} + C\].
\[\frac{{{{\left( {2x} \right)}^{\sqrt 2 }}}}{{\ln \left( {2x} \right)}} + C\].
\[{\left( {2x} \right)^{\sqrt 2 }} + C\].
Chọn B
Đặt \[t = 2x \Rightarrow {\rm{d}}t = 2{\rm{d}}x \Rightarrow {\rm{d}}x = \frac{1}{2}{\rm{d}}t\].
Ta có \[\int {{{\left( {2x} \right)}^{\sqrt 2 }}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\int {{t^{\sqrt 2 }}dt} = \frac{1}{2}\frac{{{t^{\sqrt 2 + 1}}}}{{\sqrt 2 + 1}} + C\].
Thay \[t = 2x\] ta có \[\int {{{\left( {2x} \right)}^{\sqrt 2 }}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\frac{{{{\left( {2x} \right)}^{\sqrt 2 + 1}}}}{{\sqrt 2 + 1}} + C = \frac{{{2^{\sqrt 2 }}{x^{\sqrt 2 + 1}}}}{{\sqrt 2 + 1}} + C\].
\[\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}{\rm{d}}x} \] bằng:
\[x - \cos x + C\].
\[{\left( { - \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}} \right)^2} + C\].
\[\frac{1}{3}{\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)^3} + C\].
\[x + \cos x + C\].
Chọn A
Ta có: \[{\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)^2} = {\sin ^2}\frac{x}{2} + 2\sin \frac{x}{2}.\cos \frac{x}{2} + {\cos ^2}\frac{x}{2} = 1 + \sin x\].
Khi đó \[\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \int {\left( {1 + \sin x} \right){\rm{d}}x} = \int {{\rm{d}}x} + \int {\sin x{\rm{d}}x = x - \cos x + C} \].
Hàm số \(F\left( x \right) = \cot x\) là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)
\({f_2}\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\).
\({f_1}\left( x \right) = - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\).
\({f_4}\left( x \right) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\).
\({f_3}\left( x \right) = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\).
Chọn D
Có \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = - \cot x + C\) suy ra \(F\left( x \right) = \cot x\) trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \({f_3}\left( x \right) = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\).
Cho hàm số \[f\left( x \right) = 1 + \sin x\]. Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = x - \cos x + C\).
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = x + \sin x + C\).
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = x + \cos x + C\).
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \cos x + C\).
Chọn A
Ta có \[\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {1 + \sin x} \right){\rm{d}}x} = \int {1{\rm{d}}x} + \int {\sin x{\rm{d}}x} = x - \cos x + C} \].
Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = {\cos ^2}\frac{x}{2}\)
\(F\left( x \right) = 2\cos \frac{x}{2} + C\)
\(F\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + \sin x} \right) + C\)
\(F\left( x \right) = 2\sin \frac{x}{2} + C\)
\(F\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {1 - \sin x} \right) + C\)
Chọn B
Ta có:\(f\left( x \right) = {\cos ^2}\frac{x}{2} \Rightarrow F\left( x \right) = \int {{{\cos }^2}\frac{x}{2}dx} = \int {\frac{{1 + \cos x}}{2}dx} = \frac{1}{2}\int {\left( {1 + \cos x} \right)dx} = \frac{1}{2}\left( {1 + \sin x} \right) + C\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 1 - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = x + \tan x + C\).
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = x + \cot x + C\).
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = x - \tan x + C\).
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = x - \cot x + C\).
Chọn C
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {1 - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right){\rm{d}}x} = x - \tan x + C\).
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \cos x + 6x\) là
\(\sin x + 3{x^2} + C\).
\( - \sin x + 3{x^2} + C\).
\(\sin x + 6{x^2} + C\).
\( - \sin x + C\).
Chọn A
Ta có \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {\cos x + 6x} \right){\rm{d}}x = \sin x + 3{x^2} + C} } \).
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 2\sin x + 3x\).
\(\int {\left( {2\sin x + 3x} \right)dx = - 2\cos x + \frac{3}{2}{x^2} + C} \)
\(\int {\left( {2\sin x + 3x} \right)dx = 2\cos x + 3{x^2} + C} \)
\(\int {\left( {2\sin x + 3x} \right)dx = {{\sin }^2}x + \frac{3}{2}x + C} \)
\(\int {\left( {2\sin x + 3x} \right)dx = \sin 2x + \frac{3}{2}{x^2} + C} \)
Chọn A
\(\int {\left( {2\sin x + 3x} \right)dx = - 2\cos x + \frac{3}{2}{x^2} + C} \)
Tính\(\int {\left( {x - \sin x} \right)} {\rm{d}}x\).
\(\frac{{{x^2}}}{2} + \sin x + C\).
\(\frac{{{x^2}}}{2} - \cos x + C\).
\(\frac{{{x^2}}}{2} - \sin x + C\).
\(\frac{{{x^2}}}{2} + \cos x + C\).
Chọn D
Ta có \(\int {\left( {x - \sin x} \right){\rm{d}}x\,{\rm{ = }}\,} \frac{{{x^2}}}{2} + \cos x + C\).
Họ nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = 3{x^2} + \sin x\] là
\[{x^3} + \cos x + C\].
\[6x + \cos x + C\].
\[{x^3} - \cos x + C\].
\[6x - \cos x + C\].
Chọn C
Ta có \[\int {\left( {3{x^2} + \sin x} \right){\rm{d}}x} = {x^3} - \cos x + C\].
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{x} + \sin x\) là
\(\ln x - \cos x + C\).
\( - \frac{1}{{{x^2}}} - \cos x + C\).
\(\ln \left| x \right| + \cos x + C\).
\(\ln \left| x \right| - \cos x + C\).
Chọn D
Ta có \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {\frac{1}{x} + \sin x} \right){\rm{d}}x} = \int {\frac{1}{x}{\rm{d}}x} + \int {\sin x{\rm{d}}x} = \ln \left| x \right| - \cos x + C\).
Cho \(\int {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = - \cos x + C\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(f\left( x \right) = - \sin x\).
\(f\left( x \right) = - \cos x\).
\(f\left( x \right) = \sin x\).
\(f\left( x \right) = \cos x\).
Chọn C
Áp dụng công thức \(\smallint {\rm{sin}}x{\rm{\;d}}x = - {\rm{cos}}x + C\). Suy ra \(f\left( x \right) = {\rm{sin}}x\).
Cho hàm số \(f(x) = \int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} \). Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} = \frac{1}{2}\sin + C\).
\(\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} = \frac{1}{2}\cos x + C\)
\(\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} = - \frac{1}{2}\sin x + C\).
\(\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} = - \frac{1}{2}\cos x + C\)
Chọn D
\(\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} = - \frac{1}{2}\cos x + C\)
Họ nguyên hàm của hàm số \[f(x) = {e^{3x}}\]là hàm số nào sau đây?
\[3{e^x} + C\].
\[\frac{1}{3}{e^{3x}} + C\].
\[\frac{1}{3}{e^x} + C\].
\[3{e^{3x}} + C\].
Chọn B
Cách 1:\[\int {{e^{3x}}} dx = \int {{{\left( {{e^3}} \right)}^x}} dx = \frac{{{{\left( {{e^3}} \right)}^x}}}{{\ln {e^3}}} + C = \frac{{{e^{3x}}}}{3} + C\]
Cách 2: Trắc nghiệm\[\int {{e^{3x}}{\rm{d}}x = \frac{1}{3}{e^{3x}} + C,} \] với \[C\] là hằng số bất kì.
Nguyên hàm của hàm số \(y = {{\rm{e}}^{2x - 1}}\) là
\({\rm{2}}{{\rm{e}}^{2x - 1}} + C\).
\({{\rm{e}}^{2x - 1}} + C\).
\(\frac{1}{2}{{\rm{e}}^{2x - 1}} + C\).
\(\frac{1}{2}{{\rm{e}}^x} + C\).
Chọn C
Cách 1: \(\int {{e^{2x - 1}}} dx = \int {{e^{ - 1}}.{{\left( {{e^2}} \right)}^x}} dx = {e^{ - 1}}.\frac{{{{\left( {{e^2}} \right)}^x}}}{{\ln {e^2}}} + C = \frac{{{e^{2x - 1}}}}{2} + C\)
Cách 2:\(\int {{{\rm{e}}^{2x - 1}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\int {{{\rm{e}}^{2x - 1}}{\rm{d}}\left( {2x - 1} \right) = } \frac{1}{2}{{\rm{e}}^{2x - 1}} + C\).
