6 bài tập Sử dụng tính chất của góc nội tiếp (có lời giải)
6 câu hỏi
Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ đường thẳng qua A cắt (O) tại M và cắt (O’) tại N (A nằm giữa M và N) . Hỏi MBN là tam giác gì? Tại sao?
Hai đường tròn (O) và (O’) bằng nhau nên hai cung nhỏ AB bằng nhau (vì cùng căng dây AB) .
Suy ra \(\widehat M = \widehat N\)(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
Vậy \(\Delta \)MBN là tam giác cân.
Xem hình 24 (hai đường tròn có tâm là B, C và điểm B nằm trên đường tròn tâm C)
a) Biết \(\widehat {MAN} = {30^o}\). Tính \(\widehat {PCQ}\).
b) Nếu \(\widehat {PCQ}\)=136o thì \(\widehat {MAN}\)có số đo là bao nhiêu?
a) \(\widehat {MAN} = 30^\circ \)\( \Rightarrow \widehat {MBN} = 60^\circ \Rightarrow \widehat {PCQ} = 120^\circ \)
b) \(\widehat {PCQ} = 136^\circ \)\( \Rightarrow \widehat {MBN} = 68^\circ \Rightarrow \widehat {MAN} = 34^\circ \).
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC và AD của hai đường tròn. Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng.
Giải (h.26)
Vẽ dây chung BA và các dây BC, BD.
Ta có :\(\widehat {ABC} = 90^\circ ;\,\,\widehat {ABD} = 90^\circ \)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra BC \( \bot \) BA và BD \( \bot \)BA.
Qua B chỉ vẽ được một đường thẳng vuông góc với AB mà thôi, suy ra ba điểm C, B, D thẳng hàng.
Cho đường tròn tâm (O) , đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn, SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi H là giao điểm của BM và AN. CHứng minh rằng SH vuông góc với AB.
Ta có: \(\widehat {AMB} = \widehat {ANB} = 90^\circ \)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB) .
Suy ra: AN \( \bot \)SB; BM \( \bot \)SA.
Xét ∆SAB có hai đường cao AN và BM cắt nhau tại H. Theo tính chất ba đường cao của tam giác gặp nhau tại một điểm, suy ra: SH \( \bot \) AB.
Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M kẻ hai đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B. Đường thẳng thứ hai cắt (O) tại C và D. Chứng minh: \[MA \cdot MB = MC \cdot MD.\]
Hướng dẫn: Xét cả hai trường hợp điểm M nằm bên trong và bên ngoài đường tròn. Trong mỗi trường hợp, xét hai tam giác đồng dạng.
Trường hợp điểm M nằm bên trong đường tròn (h.29)
∆MAC và ∆MDB có:
\(\widehat A = \widehat D\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
\(\widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}}\)(đối đỉnh)
Do đó: ΔMAC∽ ΔMDB (g.g) . Suy ra:
\(\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MB}}\), do đó: MA.MB = MC.MD
Trường hợp điểm M nằm bên ngoài đường tròn: cũng chứng minh tương tự.
Cho AB, BC, CA là ba dây của đường tròn (O) Tử điểm chính giữa M của cung AB vẽ dây MN song song với dây BC. Gọi giao điểm của MN và AC là S. Chứng minh SM = SC và \[SN = SA.\]
![Cho AB, BC, CA là ba dây của đường tròn (O) Tử điểm chính giữa M của cung AB vẽ dây MN song song với dây BC. Gọi giao điểm của MN và AC là S. Chứng minh SM = SC và \[SN = SA.\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/01/screenshot-5563-1769674612.png)
Ta có: MN//BC \( \Rightarrow \widehat M = \widehat {{C_1}}\)
(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
Suy ra: \(\widehat M = \widehat {{C_2}} \Rightarrow \Delta SMC\)cân.
\( \Rightarrow SM = SC\)
Ta có: \(\widehat {{A_1}} = \widehat M\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung CN)
\(\widehat {{C_2}} = \widehat N\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM)
Vì \(\widehat M = \widehat {{C_2}}\)(chứng minh trên) nên \(\widehat {{A_1}} = \widehat N\)
Suy ra: ∆SAN cân \( \Rightarrow \) SN = SA
