Bài tập Chứng minh hai đường thẳng vuông góc, song song, ba điểm thẳng hàng dựa vào tính chất góc nội tiếp lớp 9 (có lời giải)
10 câu hỏi
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH và nội tiếp đường tròn (O), đường kính AM. Gọi N là giao điểm của AH với đường tròn (O). Chọn khẳng định sai.
MN // BC.
BM > CN.
BM = CN.
\[\widehat {ANM} = 90^\circ \].
Đáp án đúng là: B
Xét ∆ABH và ∆AMC, có:
\[\widehat {BHA} = \widehat {MCA} = 90^\circ \],
\[\widehat {ABC} = \widehat {AMC}\] (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Do đó, ∆ABH ᔕ ∆AMC (gg)
Suy ra \[\widehat {BAH} = \widehat {OAC}\].
Do đó, .
Suy ra, \[\widehat {MNC} = \widehat {NCB}\] (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).
Mà hai góc ở vị trí so le trong nên MN // BC.
Do đó, NMCB là hình thang.
Lại có nên BN = MC hay NMBC là hình thang cân.
Suy ra NC = BM.
Có \[\widehat {ANM} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Do đó, khẳng định B sai.
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H Vẽ đường kính AF. Gọi M là trung điểm của BC. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây.
AH ⊥ BC.
OM // AH.
\[HM = \frac{{HF}}{2}.\]
OM ⊥ BF.
Đáp án đúng là: D
Có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H nên H là trực tâm của ∆ABC.
Do đó AH ⊥ BC.
Có M là trung điểm BC nên OM ⊥ BC.
Suy ra OM // AH.
Có BF // EC (cùng vuông với AB)
BD // FC (cùng vuông với AC)
Do đó, BHCF là hình bình hành, có M là trung điểm BC, nên M cũng là trung điểm của đường chép HF.
Mà OM // AH nên OM là đường trung bình của tam giác HAF.
Suy ra \[HM = \frac{{HF}}{2}.\]
Do đó, ý D sai.
Cho (O), đường kính AB, điểm D thuộc đường tròn. Gọi E là điểm đối xứng với A qua D. Gọi K là giao điểm của EB với (O). Chọn khẳng định sai?
OD // EB.
OD ⊥ AK.
AK ⊥ BE.
OD ⊥ AE.
Đáp án đúng là: D
Ta có: O là trung điểm của AB, D là trung điểm của AE.
Do đó OD là đường trung bình của ∆ABE.
Suy ra OD // EB.
Ta có: \[\widehat {AKB} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay AK ⊥ BE.
Mà OD // EB nên OD ⊥ AK.
Do đó, ý D sai.
Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') tiếp xúc trong với nhau tại A và R > R'. Qua điểm B bất kì trên (O') vẽ tiếp tuyến với (O') cắt (O) tại hai điểm M và N, AB cắt (O) tại C. Khi đó:
(I). MN ⊥ OC.
(II) AC là phân giác của \[\widehat {MAN}\].
(III). MN ⊥ AB.
Các phát biểu đúng là:
(I) và (III).
(II) và (III).
(I) và (II).
(I), (II) và (III).
Đáp án đúng là: C
Vì ∆O
'AB cân tại O' nên \[\widehat {O'AB} = \widehat {O'BA}\].
∆OAC cân tại O nên \[\widehat {OAC} = \widehat {OCA}\].
Suy ra \[\widehat {OCA} = \widehat {O'BA}\], mà hai góc này ở vị trí đồng vị, do đó, O'B // OC.
Mặt khác MN là tiếp tuyến của (O') tại B.
Do đó, O'B ⊥MN. Suy ra OC ⊥ MN.
Trong đường tròn (O), có ON là đường trung trực của MN.
Suy ra CM = CN từ đó .
Do đó, \[\widehat {MAC} = \widehat {NAC}\].
Hay AC là phân giác của góc MAN.
Cho đường tròn (O) đường kính AB và một cung AM có số đo bằng 90°. Vẽ các dây MC ⊥ AB, MD // AB. Khi đó,
(I). MC ⊥ MD.
(II). C, O, D thẳng hàng.
Chọn khẳng định đúng.
Chỉ (I) đúng.
Chỉ (II) đúng.
Cả (I), (II) đều đúng.
Cả (I), (II) đều sai.
Đáp án đúng là: C
Ta có MD
// AB mà AB ⊥ MC nên MC ⊥ MD.
Suy ra \[\widehat {DMC} = 90^\circ \].
Có góc DMC là góc nội tiếp lại có số đo bằng 90° nên CD là đường kính.
Suy ra ba điểm C, O, D thẳng hàng.
Vậy cả hai phát biểu (I), (II) đều đúng.
Cho tam giác ABC nhọn có \[\widehat {BAC} = 45^\circ \] nội tiếp đường tròn (O), Các đường cao BH, CK cắt đường tròn (O) lần lượt tại E và D. Khi đó,
(I). \[\widehat {KCA} = 90^\circ \].
(II). DE là đường kính.
(III). D, O, E thẳng hàng.
Số phát biểu đúng trong các phát biểu trên là
0.
1.
2.
3.
Đáp án đúng là: C
Ta có BH ⊥ AC nên tam giác ABH vuông tại H.
Mà \[\widehat {BAH} = 45^\circ \] nên \[\widehat {ABH} = 45^\circ \] hay \[\widehat {EBA} = 45^\circ \] (1)
Mặt khác, có CK ⊥ AB suy ra tam giác ACK vuông tại K.
Mà \[\widehat {KAC} = 45^\circ \] nên \[\widehat {KCA} = 45^\circ \].
Có \[\widehat {DBA} = \widehat {DCA}\] (cùng chắn cung AD) nên \[\widehat {ABD} = 45^\circ \](2)
Từ (1) và (2) suy ra \[\widehat {EBD} = \widehat {DBA} + \widehat {ABE} = 90^\circ \] nên DE là đường kính của (O) hay D, O, E thẳng hàng.
Do đó, phát biểu (II) và (III) là đúng.
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc Aa cắt BC ở D và cắt đường tròn (O) ở M (khác A). Kẻ tiếp tuyến AK với đường tròn (M; MB), K là tiếp điểm. Khi đó,
(I). ∆MBD ᔕ ∆MAB.
(II). ∆DMK ᔕ ∆KAM.
(III). DK ⊥ AM.
Số phát biểu đúng trong các phát biểu trên là
3.
2.
1.
0.
Đáp án đúng là: B
Ta có:
\[\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\] mà \[\widehat {{A_2}} = \widehat {{B_1}}\] (góc nội tiếp)
Nên \[\widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}}\].
Do đó, ∆MBD ᔕ ∆MAB (g.g)
Suy ra \[\frac{{MD}}{{MB}} = \frac{{MB}}{{MA}}\] suy ra \[\frac{{MD}}{{MK}} = \frac{{MK}}{{MA}}\].
Kết hợp với \[\widehat {DMK} = \widehat {KMA}\] nên ∆DMK ᔕ ∆KMA (g.g)
Suy ra \[\widehat {MDK} = \widehat {MKA}\] = 90°.
Vậy DK ⊥ AM.
Vậy phát biểu (I) và (III) là các phát biểu đúng.
Trong đường tròn (O) có dây AC và BD vuông góc với nhau tại I. Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó,
(I). MI = MB.
(II). \[\widehat {MBI} = \widehat {NID}\].
(III). MI ⊥ AD.
Các phát biểu đúng là
Chỉ (I) đúng.
Chỉ (I), (II) đúng.
Chỉ (II), (III) đúng.
Cả (I), (II), (III) đúng.
Đáp án đúng là: D
Gọi E là giao điểm của IM và AD.
Ta có: AC ⊥ BD tại I nên ∆BCI vuông tại I.
Mà MB = MC nên MI = MB (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông).
Do đó, ∆MBI cân.
Suy ra \[\widehat {MIB} = \widehat {MBI}\] mà \[\widehat {NID} = \widehat {BIM}\] đối đỉnh do đó \[\widehat {MBI} = \widehat {NID}\].
Ta có: \[\widehat {BDA} = \widehat {BCA}\](góc nội tiếp chắn cung AB)
Mà \[\widehat {BCA} + \widehat {MBI} = 90^\circ \] (tam giác BIC vuông tại I).
Suy ra \[\widehat {NID} + \widehat {BDA} = 90^\circ \] hay \[\widehat {AEI} = 90^\circ \] hay MI ⊥ AD.
Cho hình vuông ABCD, M là điểm tùy ý thuộc cạnh CD. Hai đường tròn đường kính CD và AM cắt nhau tại N (khác D). Gọi K là giao điểm của DN và BC. Khi đó,
(I). I, N, C thẳng hàng .
(II). ∆CDK = ∆MIC.
(III). AC ⊥ KM.
Số phát biểu đúng là
0.
1.
2.
3.
Đáp án đúng là: D
Gọi I là giao điểm của đường tròn (O) đường kính AM và CD.
Do đó, \[\widehat {AIM} = 90^\circ \].
Tứ giác DAIM là hình chữ nhật
(vì \[\widehat {AIM} = \widehat {IAD} = \widehat {ADM} = 90^\circ \])
Do đó, \[\widehat {IMD} = 90^\circ \] nên DI là đường kính của (O).
Suy ra \[\widehat {DNC} = 90^\circ \].
Ta có: \[\widehat {IND} + \widehat {DNC} = 90^\circ + 90^\circ \] hay \[\widehat {INC} = 180^\circ \].
Do đó, I, N, C thẳng hàng.
Xét ∆CDK và ∆MIC có:
\[\widehat {DCK} = \widehat {IMC} = 90^\circ \],
DC = MI = AD
\[\widehat {KDC} = \widehat {CIM}\] (cặp góc nhọn có cạnh tương ứng với góc)
Do đó, ∆CDK = ∆MIC, suy ra CK = MC.
Suy ra ∆CMK cân tại C.
CA là tia phân giác \[\widehat {MCK}\] (vì ABCD là hình vuông)
Suy ra AC ⊥ KM.
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau ở A và B, O nằm trên đường tròn (O'). Dây AC của (O) cắt (O') ở D, dây OE của (O') cắt (O) ở F như hình bên. Chọn khẳng định sai.
\[\widehat {BOD} = \widehat {BOC}\].
\[\widehat {BOD} = \widehat {DOC}\].
OD là đường trung tuyến trong ∆BOC.
OD ⊥ BC.
Đáp án đúng là: A
Dựng hai bán kính OB, OC của (O).
Xét đường tròn (O') ta có .
Mà suy ra (1)
Xét đường tròn (O) ta có: (2).
Từ (1) và (2) ta được \[\widehat {BOD} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}\] suy ra \[\widehat {BOD} = \widehat {DOC}\] hay OD là tia phân giác \[\widehat {BOC}\].
Ta lại có ∆BOC cân tại O nên OD vừa là phân giác vừa là đường cao, đường trung tuyến trong tam giác BOC.
Do đó, OD ⊥ BC.
