48 câu Chủ đề 1: Vectơ trong không gian
48 câu hỏi
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AC→+BD→=AD→+BC→=2MN→
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Sử dụng các đỉnh của hình hộp làm điểm đầu và điểm cuối của vectơ.
a) Hãy kể tên các vectơ bằng nhau lần lượt bằng các vectơ AB→,AC→,AD→,AA'→
Hãy kể tên các vectơ luôn có độ dài bằng nhau và bằng độ dài của vectơ BC→.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
a) Chứng minh SA→+SC→=SB→+SD→
b) Nếu ABCD là hình chữ nhật thì SA→2+SC→2=SB→2+SD→2
Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là các điểm trên các cạnh AD và BC sao cho AM=2MD,BC=3NC. Chứng minh ba vectơ AB→,CD→,MN→ đồng phẳng.
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có AA'→=a→,AB→=b→,AC→=c→. Hãy phân tích các vectơ B'C→,BC'→ qua các vectơ a→,b→,c→.
Cho hình chóp S.ABC. Lấy điểm M và N sao cho MS→=−2MA→ và NC→=−2NB→. Chứng minh rằng ba vectơAB→,MN→,SC→ đồng phẳng.
Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A', B', C' lần lượt thuộc các tia SA, Sb, SC sao cho SA=a.SA',SB=b.SB',SC=c.SC', trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng (A'B'C' đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a+b+c=3.
Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho MA→=−2MB→,ND→=−2NC→; các điểm I, J, K lần lượt thuộc AD,MN,BC sao cho IA→=k.ID→,JM→=k.JN→,KB→=k.KC→. Chứng minh rằng các điểm I, J, K thẳng hàng.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm của các tam giác BDA',CB'D'. Chứng minh các điểm A,G,G',C' thẳng hàng.
Cho bốn vectơ a→,b→,c→,d→ bất kỳ. Khẳng định nào sau đây sai?
a→=b→và c→=d→⇒a→+c→=b→+d→
a→=b→⇔a→=±b→
a→−c→=b→−d→⇔a→+d→=b→+c→
a→=−b→và c→=−d→⇒a→−d→=c→−b→
Trong không gian cho ba vectơ a→,b→,c→. Cho các khẳng định sau.
(1) Nếu các vectơ a→,b→,c→ đồng phẳng thì các vectơ a→,b→,c→ thuộc một mặt phẳng nào đó.
(2) Nếu các vectơ a→,b→,c→ đồng phẳng thì ba vectơ a→,b→,c→ cùng phương.
(3) Nếu tồn tại hai số thực m, n sao cho c→=ma→+nb→ thì các vectơ a→,b→,c→ đồng phẳng.
(4) Nếu các vectơ a→,b→,c→ đồng phẳng thì giá của chúng song song với mặt phẳng nào đó.
Có bao nhiêu khẳng định đúng?
4
3
2
1
Cho tam giác ABC có diện tích S. Giá trị nào của k thích hợp thỏa mãn S=12AB→2.AC→2−2kAB→.AC→2?
k=14
k=13
k=12
k = 1
Cho tứ diện ABCD. Hãy chọn khẳng định đúng?
AB→+CD→=AC→+DB→
AC→+BD→=AB→+CD→
AD→+BC→=AB→+DC→
BA→+CD→=BD→+CA→
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
Từ AB→=3AC→ta suy ra BA→=−3CA→.
Từ AB→=−3AC→ta suy ra CB→=2AC→.
Nếu AB→=−2AC→+5AD→thì bốn điểm A, B, C, Dcùng thuộc một mặt phẳng.
Nếu AB→=−12BC→thì B là trung điểm của đoạn AC.
Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây.
Cho hình chóp S.ABCD. Nếu có SB→+SD→=SA→+SC→thì tứ giác ABCD là hình bình hành.
Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB→=CD→.
Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB→+BC→+CD→+DA→=0→.
Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB→+AC→=AD→.
Cho a→=3,b→=5, góc giữa a→ và b→ bằng 1200. Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?
a→−b→=7
a→+b→=19
a→+2b→=9
a→−2b→=139
Cho tứ diện ABCD, O là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm của AD. Khẳng định nào dưới đây đúng?
OM→=13AB→−13AC→+16AD→
OM→=−23AB→+13AC→+16AD→
OM→=−13AB→−13AC→+16AD→
OM→=13AB→+13AC→−16AD→
Khẳng định nào sau đây sai?
Cho hai vectơ không cùng phương a→và b→. Khi đó ba vectơ a→,b→,c→đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, nlà duy nhất.
Nếu có ma→+nb→+pc→=0→ và một trong ba số m, n, pkhác 0 thì ba vectơ a→,b→,c→đồng phẳng.
Ba vectơ a→,b→,c→đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ đó cùng có giá thuộc một mặt phẳng.
Ba tia Ox,Oy,Ozvuông góc với nhau từng đôi một thì ba tia đó không đồng phẳng.
Cho 2 điểm phân biệt A, B và một điểm O bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM→=OB→=kBA→.
Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM→=OB→=kOB→−OA→.
Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM→=kOA→+1−kOB→.
Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM→=OA→+OB→.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Giá trị AB→.C'A'→ bằng
−a2
−a22
a22
a2
Khẳng định nào sau đây đúng?
Ba vectơ đồng phẳng là ba vectơ cùng nằm trong một mặt phẳng.
Ba vectơ a→,b→,c→đồng phẳng thì có c→=ma→+nb→với m, nlà các số duy nhất.
Ba vectơ a→,b→,c→không đồng phẳng khi có d→=ma→+nb→+pc→với d→là vectơ bất kì.
Cả ba mệnh đề trên đều sai.
Khẳng định nào sau đây sai?
Vì NM→+NP→=0→nên N là trung điểm của đoạn MP.
Vì I là trung điểm của đoạn AB nên từ một điểm O bất kì ta có OI=12OA→+OB→.
Từ hệ thức AB→=2AC→−8AD→ta suy ra ba vectơ AB→,AC→,AD→đồng phẳng.
Vì AB→+BC→+CD→+DA→=0→nên bốn điểm A,B,C,Dcùng thuộc một mặt phẳng.
Cho tứ diện SABC. Đặt SA→=a→,SB→=b→,SC→=c→. Gọi M là trung điểm của SA, N là điểm trên cạnh BC sao cho NC=3NB. Phân tích vectơ MN→ theo ba vectơ a→,b→ và c→ ta được
MN→=−12a→+34b→+14c→
MN→=12a→+34b→+14c→
MN→=−12a→+34b→−14c→
MN→=12a→−34b→+14c→
Cho tứ diện ABCD. Đặt AB→=a→,AC→=b→,AD→=c→. Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm trên cạnh CD sao cho ND=2NC. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng MN. Biểu diễn vectơ AO→ theo ba vectơ a→, b→ và c→ ta có
AO→=14a→+13b→+13c→
AO→=14a→+13b→+16c→
AO→=14a→+14b→+14c→
AO→=14a→+16b→+13c→
Trong không gian cho tam giác ABC. Tìm M sao cho giá trị của biểu thức P=MA2+MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ nhất.
M là trọng tâm tam giác ABC.
M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
M là trực tâm tam giác ABC.
M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G. Chọn khẳng định đúng?
AB2+AC2+AD2+BC2+BD2+CD2=3GA2+GB2+GC2+GD2
AB2+AC2+AD2+BC2+BD2+CD2=4GA2+GB2+GC2+GD2
AB2+AC2+AD2+BC2+BD2+CD2=6GA2+GB2+GC2+GD2
AB2+AC2+AD2+BC2+BD2+CD2=2GA2+GB2+GC2+GD2
Cho lăng trụ ABC.A'B'C'. Đặt a→=AA'→,b→=AB→,c→=AC→
Xét hai mệnh đề
(I) B'C→=−a→−b→+c→ (II) BC'→=a→−b→−c→
Mệnh đề nào đúng?
Chỉ (I).
Chỉ (II).
Không có.
Cả (I) và (II).
Cho lăng trụ ABC.A'B'C'. Đặt a→=AA'→,b→=AB→,c→=AC→. Gọi G' là trọng tâm của tam giác A'B'C'. Vectơ AG→ bằng
13a→+3b→+c→
133a→+b→+c→
13a→+b→+3c→
13a→+b→+c→
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Biết MA'→=k.MC→,NC'→=l.ND→. Khi MN song song với BD' thì khẳng định nào sau đây đúng?
k−l=−32
k+l=−3
k+l=−4
k+l=−2
Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bên và đáy đều bằng a và ABCD là hình vuông. Gọi M là trung điểm của CD. Giá trị MS→.CB→ bằng
a22
-a22
a23
2a22
Cho hình chóp S.ABC có SA→=a→,SB→=b→,SC→=c→ và các điểm M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, SC. Các điểm P, Q trên các đường thẳng SA, BN sao cho PQ//CM. Biểu diễn vectơ PQ→ theo ba vectơ a→,b→,c→ được kết quả
PQ→=−23a→−23b→+43c→
PQ→=13a→+13b→−23c→
PQ→=23a→+23b→−43c→
PQ→=−13a→−13b→+23c→
Khẳng định nào sau đây sai?
Ba vectơ AB→,AC→,AD→đồng phẳng ⇔bốn điểm A,B,C,Dcùng nằm trong một mặt phẳng.
ABCD là một tứ diện ⇔BC→,CD→,AC→không đồng phẳng.
Ba vectơ a→,b→,c→đồng phẳng chỉ khi giá của chúng cùng nằm trong một mặt phẳng.
Ba vectơ a→,b→,c→không đồng phẳng khi và chỉ khi trong ba vectơ đó, vectơ này không thể biểu diễn được theo hai vectơ kia.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác A'BC. Giá trị AG2 bằng
a2
2a23
3a2
a23
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Xét hai mệnh đề
(I). Nếu ABCD là hình bình hành thì SA→+SB→+SC→+SD→=4SO→ .
(II). Nếu SA→+SB→+SC→+SD→=4SO→ thì ABCD là hình bình hành.
Mệnh đề nào đúng?
Chỉ (I).
Chỉ (II).
Không có.
Cả (I) và (II).
Cho tứ diện S.ABC có SA=SB=SC=AB=AC=a,BC=a2. Tích vô hướng giữa SC→.AB→ bằng
-a22
a22
a2
−a2
Cho hình chóp S.ABCD. Xét hai mệnh đề
(I) Nếu ABCD là hình bình hành thì SA→+SC→=SB→+SD→.
(II) Nếu SA→+SC→=SB→+SD→ thì ABCD là hình bình hành.
Mệnh đề nào đúng?
Chỉ (I).
Chỉ (II).
Không có.
Cả (I) và (II).
Cho ba vectơ a→,b→,c→ không đồng phẳng. xét các vectơ x→=2a→+b→,y→=a→−b→−c→,z→=−3b→−2c→. Chọn khẳng định đúng?
Ba vectơ x→,y→,z→đồng phẳng.
Hai vectơ x→,a→cùng phương.
Hai vectơ x→,b→cùng phương.
Ba vectơ x→,y→,z→đôi một cùng phương.
Cho ba vectơ a→,b→,c→ không đồng phẳng. Khẳng định nào sau đây sai?
Các vectơ x→=a→+b→+2c→,y→=2a→−3b→−6c→,z→=−a→+3b→+6c→đồng phẳng.
Các vectơ x→=a→−2b→+4c→,y→=3a→−3b→+2c→,z→=2a→−3b→−3c→đồng phẳng.
Các vectơ x→=a→+b→+c→,y→=2a→−3b→+c→,z→=−a→−4b→đồng phẳng.
Các vectơ x→=a→+b→−c→,y→=2a→−b→+3c→,z→=a→−2b→+4c→đồng phẳng.
Trong các kết quả sau đây, kết quả nào đúng?
Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Giá trị của AB→.EG→ bằng
a2
a22
a23
a222
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khẳng định nào sau đây sai?
AC'→=a3
AD'→.AB'→=a2
AB'→.CD'→=0
2AB→+B'C'→+CD→+D'A'→=0→
Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BB', A'C'. Điểm M thuộc cạnh B'C' sao cho MB'→=kMC'→. Tìm k để bốn điểm A,I,M,K đồng phẳng.
k=−1
k=−32
k=−12
k=−3
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O, M là điểm thay đổi trên SO. Tỉ số SMSO sao cho biểu thức P=MS2+MA2+MB2+MC2+MD2 nhỏ nhất bằng
12
23
34
45
Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD. Cho AB=2a,CD=2b,EF=2c. Với M là một điểm tùy ý, tổng MA2+MB2 bằng
2MF2+2b2
2ME2+2a2
2MF2+2a2
2ME2+2b2
Cho hình chóp S.ABC có M, N là các điểm thỏa mãn MS→=−2MA→;NB→=kNC→. Tìm k để ba vectơ AB→,MN→,SC→ đồng phẳng.
k = -2
k=12
k = 2
k=−12
Cho tứ diện ABCD có các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD và AC sao cho BC=4BM,AC=3AP,BD=2BN. Mặt phẳng (MNP) cắt đường thẳng AD tại điểm Q. Tính tỉ số AQAD.
AQAD=52
AQAD=35
AQAD=25
AQAD=53
Trong không gian xét m→,n→,p→,q→ là các vectơ có độ dài bằng 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức S=m→−n→2+m→−p→2+m→−q→2+n→−p→2+n→−q→2+p→−q→2 là
16.
6.
25.
8.
Gợi ý cho bạn
Xem tất cả
Ngân hàng đề thi