48 câu Chủ đề 1: Vectơ trong không gian
48 câu hỏi
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AC→+BD→=AD→+BC→=2MN→
Ta có AC→+BD→=AD→+BC→
⇔AC→−AD→=BC→−BD→
⇔DC→=DC→(đẳng thức này đúng).
Do M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD
nên AM→+BM→=0NC→+ND→=0
Do đó AD→+BC→=AM→+MN→+NB→+BM→+MN→+ND→
=AM→+BM→+NB→+ND→+2MN→=2MN→
Vậy AC→+BD→=AD→+BC→=2MN→
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Sử dụng các đỉnh của hình hộp làm điểm đầu và điểm cuối của vectơ.
a) Hãy kể tên các vectơ bằng nhau lần lượt bằng các vectơ AB→,AC→,AD→,AA'→
a) Ta có
+) AB→=DC→=A'B'→=D'C'→
+) AC→=A'C'→
+) AD→=BC→=A'D'→=B'C'→
+) AA'→=BB'→=CC'→=DD'→
Hãy kể tên các vectơ luôn có độ dài bằng nhau và bằng độ dài của vectơ BC→.
Từ tính chất của hình bình hành, ta suy ra các vectơ luôn có độ dài bằng độ dài của vectơ BC→ là BC→,CB→,AD→,DA→,A'D'→,D'A'→,B'C'→,C'B'→
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
a) Chứng minh SA→+SC→=SB→+SD→
a) Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD thì O là trung điểm của mỗi đường chéo AC và BD.
Do đó SA→+SC→=2SO→ và SB→+SD→=2SO→
Vậy SA→+SC→=SB→+SD→
b) Nếu ABCD là hình chữ nhật thì SA→2+SC→2=SB→2+SD→2
b) Ta có SA→2=SO→+OA→2=SO→2+OA→2+2SO→.OA→,
SC→2=SO→+OC→2=SO→2+OC→2+2SO→.OC→
Suy ra SA→2+SC→2=2SO→2+OA→2+OC→2+2SO→OA→+OC→
=2SO→2+OA→2(vì OA→ và OC→ là hai vectơ đối nhau nên OA→+OC→=0→)
=2SO2+OA2
Tương tự SB→2+SD→2=2SO2+OB2
Mà ABCD là hình chữ nhật nên OA = OB
Suy ra SA→2+SC→2=SB→2+SD→2
Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là các điểm trên các cạnh AD và BC sao cho AM=2MD,BC=3NC. Chứng minh ba vectơ AB→,CD→,MN→ đồng phẳng.
Ta có MN→=MA→+AB→+BN→2MN→=2MD→+DC→+CN→
Cộng vế theo vế của hai đẳng thức này ta được 3MN→=MA→+2MD→+BN→+2CN→+AB→+2DC→
Do MA→+2MD→=0→, BN→+2CN→=0→ nên MN→=13AB→−23CD→
Vậy AB→,CD→,MN→ đồng phẳng.
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có AA'→=a→,AB→=b→,AC→=c→. Hãy phân tích các vectơ B'C→,BC'→ qua các vectơ a→,b→,c→.
Ta có B'C→=B'B→+BC→=−AA'→+AC→−AB→=−a→−b→+c→
BC'→=BC→+CC'→=AC→−AB→+AA'→=a→−b→+c→
Cho hình chóp S.ABC. Lấy điểm M và N sao cho MS→=−2MA→ và NC→=−2NB→. Chứng minh rằng ba vectơAB→,MN→,SC→ đồng phẳng.
Từ giả thiết ta có MS→+2MA→=0→;CN→+2BN→=0→
Lại có MN→=MS→+SC→+CN→2MN→=2MA→+AB→+BN→
Cộng vế theo vế ta được 3MN→=MS→+2MA→+CN→+2BN→+SC→+2AB→=SC→+2AB→
Vậy AB→,MN→,SC→ đồng phẳng.
Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A', B', C' lần lượt thuộc các tia SA, Sb, SC sao cho SA=a.SA',SB=b.SB',SC=c.SC', trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng (A'B'C' đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a+b+c=3.
Từ giả thiết ta suy ra SA→=a.SA'→,SB→=b.SB'→,SC→=c.SC'→
Gọi G là trọng tâm của tam giác ΔABC. Ta có SA→+SB→+SC→=3SG→
G∈A'B'C'⇔SG→=x.SA'→+y.SB'→+z.SC'→ với x+y+z=1
⇔3SG→=3x.SA'→+3y.SB'→+3z.SC'→ với x+y+z=1
⇔a.SA'→+b.SB'→+c.SC'→=3x.SA'→+3y.SB'→+3z.SC'→
⇔a−3x.SA'→+b−3y.SB'→+c−3z.SC'→=0→
⇔a−3x=b−3y=c−3z=0 (do SA'→,SB'→,SC'→ không đồng phẳng)
+) Nếu G∈A'B'C' ta có a−3x=b−3y=c−3z=0 (với x+y+z=1).
Do đó a+b+c=3
+) Nếu a+b+c=3, ta đặt x=a3,y=b3,z=c3 thì
x+y+z=a+b+c3=1 và a−3x=b−3y=c−3z=0
Do đó G∈A'B'C'
Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho MA→=−2MB→,ND→=−2NC→; các điểm I, J, K lần lượt thuộc AD,MN,BC sao cho IA→=k.ID→,JM→=k.JN→,KB→=k.KC→. Chứng minh rằng các điểm I, J, K thẳng hàng.
Ta có MA→=−2MB→ nên với điểm O bất kỳ thì OM→=OA→+2OB→3
Tương tự, ta chỉ ra được
ON→=OD→+2.OC→3,OI→=OA→−k.OD→1−k,OK→=OB→−k.OC→1−k,OJ→=OM→−k.ON→1−k
Ta có OJ→=11−k.13OA→+2OB→−k.OD→−2k.OC→
=11−k.131−kOI→+21−kOK→
=13OI→+2OK→=13OI→+23OK→
Suy ra 13OI→−OJ→+23OK→−OJ→=0⇔13JI→+23JK→=0⇔IJ→=2JK→
Suy ra I, J, K thẳng hàng.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm của các tam giác BDA',CB'D'. Chứng minh các điểm A,G,G',C' thẳng hàng.
Đặt AB→=a→,AD→=b→,AA'→=c→
Ta có AC'→=a→+b→+c→ (quy tắc hình hộp).
Theo quy tắc trọng tâm, ta có AG→=13AB→+AD→+AA'→=13a→+b→+c→
AG'→=13AC→+AB'→+AD'→=13a→+b→+a→+c→+b→+c→=23a→+b→+c→
Vậy AC'→=3AG→=32AG'→ nên các điểm A,G,G',C' thẳng hàng.
Cho bốn vectơ a→,b→,c→,d→ bất kỳ. Khẳng định nào sau đây sai?
a→=b→và c→=d→⇒a→+c→=b→+d→
a→=b→⇔a→=±b→
a→−c→=b→−d→⇔a→+d→=b→+c→
a→=−b→và c→=−d→⇒a→−d→=c→−b→
Chọn đáp án B
Với ABC là tam giác đều ta có AB→=AC→ nhưng AB→≠AC→ và AB→≠-AC→ nên B sai.
Trong không gian cho ba vectơ a→,b→,c→. Cho các khẳng định sau.
(1) Nếu các vectơ a→,b→,c→ đồng phẳng thì các vectơ a→,b→,c→ thuộc một mặt phẳng nào đó.
(2) Nếu các vectơ a→,b→,c→ đồng phẳng thì ba vectơ a→,b→,c→ cùng phương.
(3) Nếu tồn tại hai số thực m, n sao cho c→=ma→+nb→ thì các vectơ a→,b→,c→ đồng phẳng.
(4) Nếu các vectơ a→,b→,c→ đồng phẳng thì giá của chúng song song với mặt phẳng nào đó.
Có bao nhiêu khẳng định đúng?
4
3
2
1
Chọn đáp án C
Khẳng định (1) sai vì khi a→,b→,c→ đồng phẳng thì giá của chúng luôn song song với mặt mặt phẳng.
Khẳng định (2) sai vì các vectơ đồng phẳng không yêu cầu là phải cùng phương.
Khẳng định (3) và (4) đúng theo điều kiện và định nghĩa ba vectơ đồng phẳng.
Cho tam giác ABC có diện tích S. Giá trị nào của k thích hợp thỏa mãn S=12AB→2.AC→2−2kAB→.AC→2?
k=14
k=13
k=12
k = 1
Chọn đáp án C
S=12AB.AC.sinA=12.AB2.AC2sin2A=12AB2.AC21−cos2A
=12AB→2.AC→2−AB2.AC2cos2A=12AB→2.AC→2−AB→.AC→2
Vậy k=12
Cho tứ diện ABCD. Hãy chọn khẳng định đúng?
AB→+CD→=AC→+DB→
AC→+BD→=AB→+CD→
AD→+BC→=AB→+DC→
BA→+CD→=BD→+CA→
Chọn đáp án D
A sai vì AB→+CD→=AC→+DB→⇔CA→+AB→+BD→=DC→⇔CD→=DC→(sai)
B sai vì AB→+BD→=AB→+CD→⇔AC→−AB→=CD→+DB→⇔BC→=CB→(sai)
C sai vì AD→+BC→=AB→+DC→⇔AD→−AB→=DC→+CB→⇔BD→=DB→(sai)
D đúng vì BA→+CD→=BD→+CA→⇔BA→−BD→=DC→+CA→⇔DA→=DA→ (đúng)
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
Từ AB→=3AC→ta suy ra BA→=−3CA→.
Từ AB→=−3AC→ta suy ra CB→=2AC→.
Nếu AB→=−2AC→+5AD→thì bốn điểm A, B, C, Dcùng thuộc một mặt phẳng.
Nếu AB→=−12BC→thì B là trung điểm của đoạn AC.
Chọn đáp án C
Ta có AB→=3AC→⇒−BA→=−3CA→⇒BA→=3CA→≠−3CA→ . Từ đó phương án A sai.
Ta có AB→=−3AC→⇒CB→−CA→=3CA→⇒CB→=4CA→≠2AC→ . Từ đó phương án B sai.
Ta có AB→=−2AC→+5AD→⇒AB→,AC→,AD→ đồng phẳng ⇒A,B,C,D đồng phẳng (C đúng).
Phương án D sai vì nếu B là trung điểm của đoạn thẳng AC thì AB→=BC→ mà BC→≠−12BC→ .
Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây.
Cho hình chóp S.ABCD. Nếu có SB→+SD→=SA→+SC→thì tứ giác ABCD là hình bình hành.
Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB→=CD→.
Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB→+BC→+CD→+DA→=0→.
Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB→+AC→=AD→.
Chọn đáp án A
+) SB→+SD→=SA→+SC→⇔SB→−SA→=SC→−SD→⇔AB→=DC→⇔ABCD là hình bình hành (A đúng).
+) AB→=CD→ ta phải suy ra tứ giác ABDC là hình bình hành chứ không phải ABCD (B sai).
+) C sai vì AB→+BC→+CD→+DA→=0→ đúng với mọi vị trí của A, B, C, D .
+) D sai vì với AB→+AC→=AD→ thì AD là đường chéo của hình bình hành ABCD.
Cho a→=3,b→=5, góc giữa a→ và b→ bằng 1200. Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?
a→−b→=7
a→+b→=19
a→+2b→=9
a→−2b→=139
Chọn đáp án B
Ta có: a→+b→2=a→2+b→2+2a→.b→.cosa→,b→=32+52+2.3.5.cos120°=19
Suy ra a→+b→=19
Cho tứ diện ABCD, O là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm của AD. Khẳng định nào dưới đây đúng?
OM→=13AB→−13AC→+16AD→
OM→=−23AB→+13AC→+16AD→
OM→=−13AB→−13AC→+16AD→
OM→=13AB→+13AC→−16AD→
Chọn đáp án C
Ta có O là trọng tâm tam giác ΔBCD nên BO→+CO→+DO→=0→ (1)
Ta có: AO→=AB→+BO→;AO→=AC→+CO→;AO→=AD→+DO→
Từ (1) suy ra 3AO→=AB→+AC→+AD→⇒AO→=13AB→+AC→+AD→=13AB→+13AC→+13AD→
Suy ra OA→=−13AB→−13AC→−13AD→ (2)
Mà AM→=12AD→ (3)
Từ (2) và (3) suy ra OM→=OA→+AM→=−13AB→−13AC→−13AD→+12AD→=−13AB→−13AC→+16AD→
Khẳng định nào sau đây sai?
Cho hai vectơ không cùng phương a→và b→. Khi đó ba vectơ a→,b→,c→đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, nlà duy nhất.
Nếu có ma→+nb→+pc→=0→ và một trong ba số m, n, pkhác 0 thì ba vectơ a→,b→,c→đồng phẳng.
Ba vectơ a→,b→,c→đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ đó cùng có giá thuộc một mặt phẳng.
Ba tia Ox,Oy,Ozvuông góc với nhau từng đôi một thì ba tia đó không đồng phẳng.
Chọn đáp án C
C sai vì chỉ cần ba vectơ có giá cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.
Cho 2 điểm phân biệt A, B và một điểm O bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM→=OB→=kBA→.
Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM→=OB→=kOB→−OA→.
Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM→=kOA→+1−kOB→.
Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM→=OA→+OB→.
Chọn đáp án C
A, B sai vì OM→=OB→⇔M≡B và O,M,B,A thẳng hàng mà O là điểm bất kì.
C đúng vì OM→=kOA→+1−kOB→⇔OM→−OB→=kOA→−OB→⇔BM→=k.BA→
D sai vì OM→=OA→+OB→⇔OAMB là hình bình hành. Khi đó M∉AB .
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Giá trị AB→.C'A'→ bằng
−a2
−a22
a22
a2
Chọn đáp án A
Ta có: AB→=A'B'→⇒AB→.C'A'→=−A'B'→.A'C'→=−a22cosπ4=−a2
Khẳng định nào sau đây đúng?
Ba vectơ đồng phẳng là ba vectơ cùng nằm trong một mặt phẳng.
Ba vectơ a→,b→,c→đồng phẳng thì có c→=ma→+nb→với m, nlà các số duy nhất.
Ba vectơ a→,b→,c→không đồng phẳng khi có d→=ma→+nb→+pc→với d→là vectơ bất kì.
Cả ba mệnh đề trên đều sai.
Chọn đáp án D
A sai khi a→,b→ có giá cùng nằm trong (P), còn c→ có giá song song với (P)
B sai với ba vectơ a→,0→,c→ ta có 0→=0→.a→+0→.c→ thì a→,0→,c→ đồng phẳng nhưng c→=m.a→+n.0→ chỉ đúng khi a→ và c→ cùng phương với nhau.
C sai vì với 3 vectơ d→,a→,b→ khác 0→ đồng phẳng với nhau ta có d→=ma→+nb→.
Khi đó d→=(m−1)a→+nb→+a→
Đặt c→=a→ thì d→=(m−1)a→+nb→+c→ nhưng a→,b→,c→ lại đồng phẳng với nhau.
Vậy cả ba khẳng định trên đều sai.
Khẳng định nào sau đây sai?
Vì NM→+NP→=0→nên N là trung điểm của đoạn MP.
Vì I là trung điểm của đoạn AB nên từ một điểm O bất kì ta có OI=12OA→+OB→.
Từ hệ thức AB→=2AC→−8AD→ta suy ra ba vectơ AB→,AC→,AD→đồng phẳng.
Vì AB→+BC→+CD→+DA→=0→nên bốn điểm A,B,C,Dcùng thuộc một mặt phẳng.
Chọn đáp án D
Phương án D sai do đẳng thức AB→+BC→+CD→+DA→=0→ luôn đúng với vị trí bất kì trong không gian của bốn điểm A,B,C,D nên không đủ điều kiện để khẳng định A,B,C,D đồng phẳng.
Cho tứ diện SABC. Đặt SA→=a→,SB→=b→,SC→=c→. Gọi M là trung điểm của SA, N là điểm trên cạnh BC sao cho NC=3NB. Phân tích vectơ MN→ theo ba vectơ a→,b→ và c→ ta được
MN→=−12a→+34b→+14c→
MN→=12a→+34b→+14c→
MN→=−12a→+34b→−14c→
MN→=12a→−34b→+14c→
Chọn đáp án B
Ta có: AC2=AC→2=BC→−BA→2=BC2−2BA→.BC→+BA2⇒BA→.BC→=12BA2+BC2−AC2
Cho tứ diện ABCD. Đặt AB→=a→,AC→=b→,AD→=c→. Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm trên cạnh CD sao cho ND=2NC. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng MN. Biểu diễn vectơ AO→ theo ba vectơ a→, b→ và c→ ta có
AO→=14a→+13b→+13c→
AO→=14a→+13b→+16c→
AO→=14a→+14b→+14c→
AO→=14a→+16b→+13c→
Chọn đáp án B
Ta có AO→=12AM→+AN→ , trong đó AM→=12a→ ;
AN→=AC→+CN→=AC→+13CD→=AC→+13AD→−AC→=23b→+13c→
Vậy AO→=1212a→+23b→+13c→=14a→+13b→+16c→
Trong không gian cho tam giác ABC. Tìm M sao cho giá trị của biểu thức P=MA2+MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ nhất.
M là trọng tâm tam giác ABC.
M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
M là trực tâm tam giác ABC.
M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Chọn đáp án A
Gọi G là trọng tâm ΔABC thì G cố định và GA→+GB→+GC→=0→
Ta cos: P=MG→+GA→2+MG→+GB→2+MG→+GC→2
=3MG2+2MG→.GA→+GB→+GC→+GA2+GB2+GC2
=3MG2+GA2+GB2+GC2≥GA2+GB2+GC2
Dấu “=” xảy ra ⇔M≡G
Vậy Pmin=GA2+GB2+GC2 với M≡G là trọng tâm tam giác ABC.
Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G. Chọn khẳng định đúng?
AB2+AC2+AD2+BC2+BD2+CD2=3GA2+GB2+GC2+GD2
AB2+AC2+AD2+BC2+BD2+CD2=4GA2+GB2+GC2+GD2
AB2+AC2+AD2+BC2+BD2+CD2=6GA2+GB2+GC2+GD2
AB2+AC2+AD2+BC2+BD2+CD2=2GA2+GB2+GC2+GD2
Chọn đáp án B
Ta có AB2+AC2+AD2+BC2+BD2+CD2
=AG→+GB→2+AG→+GC→2+AG→+GD→2+BG→+GC→2+BG→+GD→2+CG→+GD→2
=3AG2+3BG2+3CG2+3DG2+2AG→.GB→+AG→.GC→+AG→.GD→+BG→.GD→+BG→.GD→+CG→.GD→(1)
Mà GA→+GB→+GC→+GD→=0→⇔GA→+GB→+GC→+GD→2=0
⇔GA2+GB2+GC2+GD2
=2AG→.GB→+AG→.GC→+AG→.GD→+BG→.GD→+BG→.GD→+CG→.GD→(2)
Từ (1) và (2) ta có AB2+AC2+AD2+BC2+BD2+CD2=4GA2+GB2+GC2+GD2
Cho lăng trụ ABC.A'B'C'. Đặt a→=AA'→,b→=AB→,c→=AC→
Xét hai mệnh đề
(I) B'C→=−a→−b→+c→ (II) BC'→=a→−b→−c→
Mệnh đề nào đúng?
Chỉ (I).
Chỉ (II).
Không có.
Cả (I) và (II).
Chọn đáp án A
(I) Đúng vì B'C→=B'B→+BC→=−AA'→+AC→−AB→
=−AA'→−AB→+AC→=−a→−b→+c→
(II) Sai vì BC'→=BB'→+B'C'→=AA'→+BC→=AA'→+AC→−AB→
=AA'→−AB→+AC→=a→−b→+c→
Cho lăng trụ ABC.A'B'C'. Đặt a→=AA'→,b→=AB→,c→=AC→. Gọi G' là trọng tâm của tam giác A'B'C'. Vectơ AG→ bằng
13a→+3b→+c→
133a→+b→+c→
13a→+b→+3c→
13a→+b→+c→
Chọn đáp án B
Ta có: AG→=AA'→+A'G→=AA'→+23A'I→
=AA'→+13A'B'→+A'C'→
⇒AG→=AA'→+13AB→+AC→=133AA'→+AB→+AC→
=133a→+b→+c→
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Biết MA'→=k.MC→,NC'→=l.ND→. Khi MN song song với BD' thì khẳng định nào sau đây đúng?
k−l=−32
k+l=−3
k+l=−4
k+l=−2
Chọn đáp án C
Đặt AB→=a→,AD→=b→,AA'→=c→
Từ MA'→=k.MC→ , ta có AA'→−AM→=kAC→−AM→
⇒AM→=AA'→−kAC→1−k=−ka→+b→+c→1−k
Từ NC'→=l.ND→ , ta có AC'→−AN→=l.AD→−AN→
⇔AN→=AC'→−l.AD→1−l=a→+b→+c→−lb→1−l
Suy ra MN→=AM→−AN→
=−ka→+b→+c→1−k−a→+b→+c→−lb→1−l=−k1−k−11−la→+−k1−k−1.b→+11−k−11−lc→
Mặt khác BD'→=AD'→−AB→=−a→+b→+c→
Để MN//BD' thì MN→//BD'→ nên
k1−k+11−l=−k1−k−1−k1−k−1=11−k−11−l⇔2k1−k+11−l=−1k+11−k−11−l=−1⇒3k+11−k=−2⇔k=−3
Từ đó ta có: 11−l=12⇒l=−1 . Vậy k+l=−4
Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bên và đáy đều bằng a và ABCD là hình vuông. Gọi M là trung điểm của CD. Giá trị MS→.CB→ bằng
a22
-a22
a23
2a22
Chọn đáp án A
Do tất cả các cạnh của hình chóp bằng nhau nên hình chóp S.ABCD là hình chóp đều.
Suy ra OC→;OS→;OD→ đôi một vuông góc.
Do M là trung điểm của CD nên ta có:
MS→=OS→−OM→=−12OC→−12OD→+OS→
CB→=OB→−OC→=−OD→−OC→
Do OC→;OS→;OD→ đôi một vuông góc với nhau nên
MS→.CB→=12OC2+12OD2=OC2=a22
Cho hình chóp S.ABC có SA→=a→,SB→=b→,SC→=c→ và các điểm M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, SC. Các điểm P, Q trên các đường thẳng SA, BN sao cho PQ//CM. Biểu diễn vectơ PQ→ theo ba vectơ a→,b→,c→ được kết quả
PQ→=−23a→−23b→+43c→
PQ→=13a→+13b→−23c→
PQ→=23a→+23b→−43c→
PQ→=−13a→−13b→+23c→
Chọn đáp án D
Đặt PA→=xSA→;BQ→=yBN→
Suy ra: PQ→=PA→+AB→+BQ→
=xSA→+SB→−SA→+yBN→
=x−1SA→+SB→+ySN→−SB→
=x−1SA→+1−ySB→+y2SC→
=x−1a→+1−yb→+y2c→ (*)
Lại có CM→=SM→−SC→=12SA→+SB→−SC→=12a→+12b→−c→
Để PQ//CM thì PQ→=kCM→ hay
x−112=1−y12=y2−1⇔x=2−y1−y=−y4⇔x=23y=43
Thay vào (*) ta được PQ→=−13a→−13b→+23c→
Khẳng định nào sau đây sai?
Ba vectơ AB→,AC→,AD→đồng phẳng ⇔bốn điểm A,B,C,Dcùng nằm trong một mặt phẳng.
ABCD là một tứ diện ⇔BC→,CD→,AC→không đồng phẳng.
Ba vectơ a→,b→,c→đồng phẳng chỉ khi giá của chúng cùng nằm trong một mặt phẳng.
Ba vectơ a→,b→,c→không đồng phẳng khi và chỉ khi trong ba vectơ đó, vectơ này không thể biểu diễn được theo hai vectơ kia.
Chọn đáp án C
C sai vì khi AB//MNP ta vẫn có AB→,MN→,NP→ đồng phẳng nhưng AB→⊄MNP hay giá của AB→ không nằm trong MNP.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác A'BC. Giá trị AG2 bằng
a2
2a23
3a2
a23
Chọn đáp án B
AG→=13AA'→+AB→+AC→=13AA'→+AB→+AB→+AD→
Suy ra AG2=AG→2=19AA'2+4AB2+AD2
=19a2+4a2+a2=23a2
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Xét hai mệnh đề
(I). Nếu ABCD là hình bình hành thì SA→+SB→+SC→+SD→=4SO→ .
(II). Nếu SA→+SB→+SC→+SD→=4SO→ thì ABCD là hình bình hành.
Mệnh đề nào đúng?
Chỉ (I).
Chỉ (II).
Không có.
Cả (I) và (II).
Chọn đáp án D
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Do O là giao điểm của AC và BD nên
SA→+SB→+SC→+SD→=4SO→
⇔OS→+SA→+OS→+SC→+OS→+SB→+OS→+SD→=0→
⇔OA→+OC→+OB→+OD→=0→
⇔2OM→+2ON→=0→⇔OM→=ON→⇔O≡M≡N
⇔ABCD là hình bình hành.
Vậy mệnh đề (I) và (II) đều đúng.
Bình luận: Để chứng minh mệnh đề (I) và (II) đúng, ta áp dụng: Cho A∈a,B∈b và O=a∩b.
Khi đó OA→=OB→⇔O≡A≡B.
Chứng minh: Nếu A không trùng O thì B không trùng O (do OA→=OB→) ⇒OA≡a và OB≡b
Nhưng OA→=OB→⇒O,A,B thẳng hàng ⇒a≡b⇒a∩b=a (trái với giả thiết O=a∩b)
Cho tứ diện S.ABC có SA=SB=SC=AB=AC=a,BC=a2. Tích vô hướng giữa SC→.AB→ bằng
-a22
a22
a2
−a2
Chọn đáp án A
Từ giả thiết suy ra ΔSBC vuông cân tại S; ΔSAC là tam giác đều.
Có SC→.AB→=SC→.SB→−SA→=SC→.SB→−SC→.SA→
=−SC.SA.cosASC^=−a.a.cos60°=−a22
Vậy SC→.AB→=a2.−12=−a22
Cho hình chóp S.ABCD. Xét hai mệnh đề
(I) Nếu ABCD là hình bình hành thì SA→+SC→=SB→+SD→.
(II) Nếu SA→+SC→=SB→+SD→ thì ABCD là hình bình hành.
Mệnh đề nào đúng?
Chỉ (I).
Chỉ (II).
Không có.
Cả (I) và (II).
Chọn đáp án D
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD.
Ta có: SA→+SC→=SB→+SD→⇔2SM→=2SN→⇔SM→=SN→⇔M≡N⇔ABCD là hình bình hành.
Cho ba vectơ a→,b→,c→ không đồng phẳng. xét các vectơ x→=2a→+b→,y→=a→−b→−c→,z→=−3b→−2c→. Chọn khẳng định đúng?
Ba vectơ x→,y→,z→đồng phẳng.
Hai vectơ x→,a→cùng phương.
Hai vectơ x→,b→cùng phương.
Ba vectơ x→,y→,z→đôi một cùng phương.
Chọn đáp án A
Ta có y→=12x→+z→ nên ba vectơ x→,y→,z→ đồng phẳng.
Cho ba vectơ a→,b→,c→ không đồng phẳng. Khẳng định nào sau đây sai?
Các vectơ x→=a→+b→+2c→,y→=2a→−3b→−6c→,z→=−a→+3b→+6c→đồng phẳng.
Các vectơ x→=a→−2b→+4c→,y→=3a→−3b→+2c→,z→=2a→−3b→−3c→đồng phẳng.
Các vectơ x→=a→+b→+c→,y→=2a→−3b→+c→,z→=−a→−4b→đồng phẳng.
Các vectơ x→=a→+b→−c→,y→=2a→−b→+3c→,z→=a→−2b→+4c→đồng phẳng.
Chọn đáp án B
Khẳng định B sai.
Các vectơ x→,y→,z→ đồng phẳng ⇔∃m,n:x→=my→+nz→
Ta có x→=my→+nz→
⇔a→−2b→+4c→=m3a→−3b→+2c→+n2a→−3b→−3c→⇔3m+2n=1−3m−3n=−22m−3n=4(hệ vô nghiệm).
Vậy không tồn tại hai số m,n:x→=my→+nz→
Trong các kết quả sau đây, kết quả nào đúng?
Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Giá trị của AB→.EG→ bằng
a2
a22
a23
a222
Chọn đáp án A
Ta có AB→.EG→=AB→EF→+EH→=AB→.EF→+AB→.EH→
Do AB⊥EH nên AB→.EH→=0
Suy ra AB→.EG→=AB→.EF→=AB→2=a2
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khẳng định nào sau đây sai?
AC'→=a3
AD'→.AB'→=a2
AB'→.CD'→=0
2AB→+B'C'→+CD→+D'A'→=0→
Chọn đáp án D
+) A đúng vì AC'→2=AB→+AD→+AA'→2
=AB→2+AD→2+AA'→2do AB→.AD→=AD→.AA'→=AA'→.AB→=0→
=3a2
Suy ra AC'→=a3
+) B đúng vì AD'→.AB'→=AA'→+A'D'→AA'→+A'B'→=AA'→2=a2
do AA'→.A'D'→=AA'→.A'B'→=A'B'→.A'D'→=0
+) C đúng vì AB'→.CD'→=DC'→.CD'→=0do DC'⊥CD'
+) D sai vì 2AB→+B'C'→+CD→+D'A'→=2AB→+BC→+CD→+DA→≠0→
Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BB', A'C'. Điểm M thuộc cạnh B'C' sao cho MB'→=kMC'→. Tìm k để bốn điểm A,I,M,K đồng phẳng.
k=−1
k=−32
k=−12
k=−3
Chọn đáp án C
Đặt AA'→=a→,AB→=b→,AC→=c→
Ta có AI→=12AB→+AB'→=12AB→+AB→+AA'→=12a→+b→
AK→=12AA'→+AC'→=12AA'→+AA'→+AC→=a→+12c→
Do MB'→=kMC'→ nên AB'→−AM→=kAC'→−AM→
⇒k−1AM→=kAC'→−AB'→=ka→+c→−a→+b→=k−1a→−b→+kc→
Vì bốn điểm A,M,I,K đồng phẳng nên AM→,AI→,AK→ đồng phẳng, do đó
k−1AM→=xAI→−yAK→
⇔k−1a→−b→+kc→=x12a→+b→+ya→+12c→
⇔k−1=12x+y−1=xk=y2⇔x=−1y=−1k=−12
Vậy k=−12
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O, M là điểm thay đổi trên SO. Tỉ số SMSO sao cho biểu thức P=MS2+MA2+MB2+MC2+MD2 nhỏ nhất bằng
12
23
34
45
Chọn đáp án D
Gọi I là điểm thỏa mãn SI→=4IO→
⇒P=MI→+IS→2+MI→+IA→2+MI→+IB→2+MI→+IC→2+MI→+ID→2
=5MI2+IS2+IA2+IB2+IC2+ID2+2MI→IS→+IA→+IB→+IC→+ID→
=5MI2+IS2+IA2+IB2+IC2+ID2+2MI→IS→+4IO→+OA→+OB→+OC→+OD→
=5MI2+IS2+IA2+IB2+IC2+ID2do SI→=4IO→;OA→+OB→+OC→+OD→=0→
Vậy Pmin⇔M≡I⇒SMSO=45
Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD. Cho AB=2a,CD=2b,EF=2c. Với M là một điểm tùy ý, tổng MA2+MB2 bằng
2MF2+2b2
2ME2+2a2
2MF2+2a2
2ME2+2b2
Chọn đáp án B
Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến, ta có:
ME2=MA2+MB22−AB24⇒MA2+MB2=2ME2+AB22
=2ME2+2a2
Cho hình chóp S.ABC có M, N là các điểm thỏa mãn MS→=−2MA→;NB→=kNC→. Tìm k để ba vectơ AB→,MN→,SC→ đồng phẳng.
k = -2
k=12
k = 2
k=−12
Chọn đáp án D
Đặt SA→=a→,SB→=b→,SC→=c→, ta có:
AB→=SB→−SA→=b→−a→
MS→=−2MA→⇒−SM→=−2SA→−SM→⇒SM→=23SA→=23a→
NB→=kNC→⇒SB→−SN→=kSC→−SN→
⇒k−1SN→=kSC→−SB→=kc→−b→
k−1MN→=k−1SN→−SM→=kc→−b→−2k−13a→
Để ba vectơ AB→,MN→,SC→ đồng phẳng ta có
k−1MN→=xAB→+ySC→
⇔kc→−b→−2k−13a→=xb→−a→+yc→
⇒−x=−2k−13x=−1y=k⇔x=−1k=−12y=13⇒k=−12
Vậy k=−12
Cho tứ diện ABCD có các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD và AC sao cho BC=4BM,AC=3AP,BD=2BN. Mặt phẳng (MNP) cắt đường thẳng AD tại điểm Q. Tính tỉ số AQAD.
AQAD=52
AQAD=35
AQAD=25
AQAD=53
Chọn đáp án B
Đặt AB→=a→,AC→=b→,AD→=c→
Theo bài ra ta có AM→=34a→+14b→;AN→=12a→+c→;AP→=13b→
Đặt AQ→=kAD→=kc→
Ta có MN→=AN→−AM→=−14a→−14b→+12c→MP→=AP→−AM→=−34a→+112b→MQ→=AQ→−AM→=−34a→−14b→+kc→
Vì M,N,P,Q đồng phẳng nên xMN→+yMP→=MQ→
⇔x−14a→−14b→+12c→+y−34a→+112b→=−34a→−14b→+kc→
−14x+34ya→−14x−112yb→+12xc→=−34a→−14b→+kc→
⇒14x+34y=3414x−112y=1412x=k⇔x=65y=35k=35
Vậy AQ→=35AD→⇒AQAD=35
Trong không gian xét m→,n→,p→,q→ là các vectơ có độ dài bằng 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức S=m→−n→2+m→−p→2+m→−q→2+n→−p→2+n→−q→2+p→−q→2 là
16.
6.
25.
8.
Chọn đáp án A
Ta có 0≤m→+n→+p→+q→2=4+2m→.n→+m→.p→+m→.q→+n.p→+n→.q+p→.q→
Suy ra m→.n→+m→.p→+m→.q→+n→.p→+n→.q→+p→.q→≥−2
S=m→−n→2+m→−p2+m→−q→2+n→−p→2+n→−q→2+p→−q→2
=12−2m→.n→+m→.p→+m→.q→+n→.p→+n→.q→+p→.q→do m→=n→=p→=q→=1
Vậy m→−n→2+m→−p→2+m→−q→2+n→−p→2+n→−q→2+p→−q→2≤12−2.−2=16
Dấu “=” xảy ra chẳng hạn khi m→=n→=1;0;0 và p→=q→=−1;0;0.
