25 câu Chủ đề 2: Góc Dạng 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Ta có $\left\{\begin{array}{l}CB\perp BD\\ CB\perp BA\end{array}\right.\Rightarrow CB\perp \left(ABD\right).$

Do đó BD là hình chiếu của CD trên (ABD).

Suy ra góc giữa CD và (ABD) bằng $\widehat{CDB}.$

Hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC) là BC nên góc giữa SC với (ABC) là góc giữa SC và BC.

Ta có $SB\cap \left(SAD\right)=\left\{S\right\}.$

$\left.\begin{array}{l}BA\perp SA\\ BA\perp AD\end{array}\right\}\Rightarrow BA\perp \left(SAD\right)$ tại A

Suy ra SA là hình chiếu của SB lên (SAD)

$\Rightarrow \widehat{\left(SB,\left(SAD\right)\right)}=\widehat{\left(SB,SA\right)}=\widehat{BSA}.$

Ta có $BO\perp AC,BO\perp SA\Rightarrow BO\perp \left(SAC\right)$

Suy ra hình chiếu của SB lên mặt phẳng (SAC) là SO.

Vậy $\widehat{\left(SB,\left(SAC\right)\right)}=\widehat{\left(SB,SO\right).}$

Do $SA\perp BD,AC\perp BD\Rightarrow BD\perp \left(SAC\right).$

Gọi H là hình chiếu của A trên SO.

Khi đó $AH\perp SO,AH\perp BD.$

Suy ra $AH\perp \left(SBD\right).$

Do đó hình chiếu của SA xuống (SBD) là SH.

Vậy góc giữa SA và (SBD) là $\widehat{ASH}=\widehat{ASO}.$

Ta có $SH\perp \left(ABC\right).$

$\Rightarrow \widehat{\left(SA,\left(ABC\right)\right)}=\widehat{SAH}=\alpha$

DABC và DSBC là hai tam giác đều cạnh a nên $AH=SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Suy ra $∆$SHA vuông cân tại $H\Rightarrow \alpha ={45}^o.$

Dễ dàng thấy góc giữa A'C' và mặt phẳng (BCC'B') là $\widehat{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}={45}^o.$

Do $D{D}^{\text{'}}\perp \left(ABCD\right)$ nên góc hợp bởi đường thẳng BD' và mặt phẳng (ABCD) là $\widehat{D^{\text{'}}BD}.$

$\tan \widehat{D^{\text{'}}BD}=\frac{D{D}^{\text{'}}}{BD}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \widehat{D^{\text{'}}BD}={30}^o.$

ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng nên AB là hình chiếu vuông góc của AB' trên (ABC).

Suy ra góc giữa đường thẳng AB' và (ABC) bằng $\widehat{B^{\text{'}}AB}.$

$∆$B'AB vuông tại B nên $\tan \widehat{B^{\text{'}}AB}=\frac{B{B}^{\text{'}}}{AB}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{B^{\text{'}}AB}={60}^o.$

Góc giữa SC và (ABCD) là góc $\widehat{SCO}.$

$\begin{array}{l}BD=4a\Rightarrow BO=2a;\\ SO=BO.\tan \widehat{SBO}=2a.\frac{1}{2}=a;\\ AC=2a\Rightarrow OC=a.\end{array}$

Vậy $\widehat{SCO}={45}^o.$

Gọi I là tâm của hình vuông của ABCD.

Vì ABCD là hình vuông nên $BD\perp AC.$

Mặt khác vì $SA\perp \left(ABCD\right)$ nên $SA\perp BD.$

Suy ra $BD\perp \left(SAC\right)$  do đó góc giữa đường thẳng SB và (SAC) là góc $\widehat{BSI}.$

Ta có $SB=a\sqrt{2};BI=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow \sin \widehat{BSI}=\frac{BI}{SB}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{BSI}={30}^o.$

Kẻ $AH\perp SB\left(H\in SB\right)\left(1\right).$

Theo giả thiết, ta có:

$\left\{\begin{array}{l}BC\perp SA\\ BC\perp AB\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp AH\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $AH\perp \left(SBC\right).$

Do đó góc giữa SA và mặt phẳng (SBC) bằng góc giữa SA và SH bằng $\widehat{ASH}.$

Ta có $AB=\sqrt{A{C}^2-B{C}^2}=a\sqrt{3}.$

Trong $∆$SAB ta có $\sin \widehat{ASB}=\frac{AB}{SB}=\frac{a\sqrt{3}}{2a\sqrt{3}}=\frac{1}{2}.$

Vậy $\widehat{ASB}=\widehat{ASH}={30}^o.$

Do đó góc giữa SA và mặt phẳng (SBC) bằng 30°.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}BC\perp AB\\ BC\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right).$

Do đó BM là hình chiếu của CM lên mặt phẳng (SAB).

Suy ra $\widehat{\left(CM,\left(SAB\right)\right)}=\widehat{CMB}.$

Ta có: $\tan \widehat{CMB}=\frac{BC}{MB}=\frac{2AB}{SB}=\frac{2AB}{\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}}=\frac{2.2a}{\sqrt{{\left(2a\sqrt{3}\right)}^2+{\left(2a\right)}^2}}=1.$

Suy ra $\widehat{CMB}={45}^o.$

Vậy $\widehat{\left(CM,\left(SAB\right)\right)}={45}^o.$

Từ giả thiết ta có $SA\perp \left(ABCD\right)$

Suy ra AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD).

Do đó $\widehat{\left(SC,\left(ABCD\right)\right)}=\widehat{\left(SC,AC\right)}=\widehat{SCA}.$