17 câu Chủ đề 2: Góc Dạng 1. Góc giữa hai đường thẳng

Chọn đáp án C

Ta thấy A'C'//AC⇒CD',A'C'^=CD',AC^=φ.

Do các mặt của hình lập phương bằng nhau nên các đường chéo bằng nhau.

Ta có AC=CD'=AD'=a2.

Suy ra ∆ACD' đều nên CD',AC^=φ=60o.

Chọn đáp án C.

Từ giả thiết ta có IJ//SB  (do IJ là đường trung bình của ∆SCB) và AB//CD⇒IJ,CD^=SB,AB^.

Mặt khác, ta lại có ∆SAB đều nên SBA^=60o.

Suy ra SB,AB^=60o⇒IJ,CD^=60o.

Chọn đáp án A.

Ta có ABCD là hình bình hành nên AB//CD.

Do đó SB,CD^=SB,AB^=SBA^.

Vì SA⊥ABCD⇒SA⊥AB⇒ΔSAB  vuông tại A

Xét tam giác vuông SAB ta có tanSBA^=SAAB=a3a=3⇒SBA^=60o.

Vậy SB,CD^=60o.

Chọn đáp án B.

Kẻ OM//SC⇒SC,BD^=OM,BD^.

Ta có ABCD là hình chữ nhật có AB=a,BC=a3⇒AC=BD=2a.

BO=BD2=a,OM=SC2=SA2+AC22=a52;BM=MA2+AB2=a52.cosMOB^=OM2+BO2−BM22OM.BO=55⇒cosSC,BD^=55.

 

Chọn đáp án A.

Giả sử hình lập phương có cạnh bằng a.

Do MN//AC  nên MN,AP^=AC,AP^.

Ta cần tính góc PAC^.

Vì ∆A'D'P vuông tại D' nên A'P=A'D'2+D'P2=a2+a22=a52.

∆AA'P vuông tại A' nên AP=A'A2+A'P2=a2+a522=3a2.

∆CC'P vuông tại C' nên CP=CC'2+C'P2=a2+a24=a52.

Ta có AC là đường chéo của hỉnh vuông ABCD nên AC=a2.

Áp dụng định lý Côsin trong tam giác ACP ta có:

CP2=AC2+AP2−2AC.AP.cosCAP^⇒cosCAP^=12⇒CAP^=45o<90o.

Suy ra AC,AP^=CAP^=45o hay MN,AP^=45o.

Chọn đáp án A.

Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC, CF, AB.

Khi đó MN//BFMK//AC⇒AC,BF^=MN,MK^.

Xét tam giác MNK, ta có:

MN=12BF=12BC2+CF2=12a2+4a2=a52;MK=12AC=a2,CK=a32;NK=KC2+NC2=3a24+a2=a72.

Suy ra cosEMN^=ME2+MN2−EN22ME.MN=a24+5a24−7a242.a2.a52=−125.

Vậy cosAC,BF^=cosEMN^=510.

Gọi I là trung điểm của AC.

Ta có IM//ABIN//CD⇒AB,CD^=IM,IN^.

Đặt MIN^=α.

Xét tam giác IMN có IM=AB2=a2,IN=CD2=a2,MN=a32.

Theo định lí côsin, ta có:

cosα=IM2+IN2−MN22IM.IN=a22+a22−a3222.a2.a2=−12<0⇒MIN^=120o.

Vậy AB,CD^=60o.

Chọn đáp án D

Ta có  AD⊥ABB1A1BB1⊂ABB1A1⇒AD⊥BB1⇒AD,BB1^=90o.

Chọn đáp án D

Vì BD//B'D' nên góc giữa hai đường thẳng BA' và B'D' bằng góc giữa hai đường thẳng BA' và BD.

Ta có ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên A'BD là tam giác đều. Khi đó góc giữa hai đường thẳng BA' và BD bằng ABD^=60o.

Chọn đáp án B

Gọi K là trung điểm của AB

Vì ABCD là hình vuông nên KI//AC.

Suy ra góc giữa AC và IJ bằng góc giữa KI và IJ.

Ta có IK=12AC;IJ=12B'C;KJ=12AB'.

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên

AC=B'C=AB'⇒KI=IJ=JK.

Suy ra ∆IJK là tam giác đều, nên KIJ^=60o.

Vậy góc giữa AC và IJ bằng 60°.

Chọn đáp án C

Gọi H là trung điểm SB ta có SC//HI.

Góc giữa đường thẳng AI và SC bằng góc giữa đường thẳng AI và HI.

AH=12SB=AB2+SA22=a22;AI=AB2+BI2=a2+a22=32a.HI=SC2=SA2+AC22=a2+3a22=a;AI2=AH2+HI2.

Suy ra tam giác AHI vuông tại H,cosAIH^=HIAI=23.

Vậy côsin của góc giữa đường thẳng AI và SC là cosAIH^=23.

Chọn đáp án D

Vì tứ diện OABC có OA=OB=OC=a;OA,OB,OC vuông góc với nhau từng đôi một nên ta có thể dựng hình lập phương AMNP.OBDC (như hình vẽ) với I là trung điểm BC;I=OD∩BC.

Cạnh của hình lập phương trên bằng a nên AB=AN=NB=a2 vậy tam giác ABN đều.

Dễ thấy OI//AN nên góc giữa hai đường thẳng AB và OI bằng góc giữa AB và AN bằng 60°.

Chọn đáp án D

Gọi E là trung điểm của BD.

Vì AB//NECD//ME nên góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa hai đường thẳng NE và ME.

Trong tam giác MNE ta có:

cosMEN^=ME2+NE2−MN22ME.NE=a24+a24−3a242.a24=−12.

Suy ra MEN^=120o.

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 60°.

Chọn đáp án C

Gọi P là trung điểm AC, ta có PM//CD và PN//AB suy ra AB,CD^=PM,PN^.

Dễ thấy PM=PN=a. Xét ∆PMN ta có:

cosMPN^=PM2+PN2−MN22PM.PN=a2+a2−3a22.a.a=−12⇒MPN^=120o.

Suy ra AB,CD^=180o−120o=60o.

Chọn đáp án B

Gọi N là trung điểm của AC.

Khi đó AB//MN nên DM,AB^=DM,MN^.

Dễ dàng tính được DM=DN=a32 và MN=a2.

Trong tam giác DMN, ta có:

cosDMN^=DM2+MN2−DN22DM.MN=a242.a32.a2=36.

Vì cosDMN^=36>0 nên cosDM,MN^=36. Vậy cosDM,AB^=36.

Chọn đáp án C

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, SB, SA.

Góc giữa AB và SC là góc giữa PN và MN.

Ta có: MN=a2=NP;PC=BP=a32⇒PM=PC2−CM2

=a322−a222=a2.

Suy ra ∆MNP là tam giác đều ⇒MNP^=60o. Vậy góc giữa AB và SC bằng 60°.

Chọn đáp án B

Đặt AD→=a→,AB→=b→,AC→=c→.

Khi đó, ta có a→=b→=c→=m và a→,b→=b→,c→=c→,a→=60o.

Ta có a→.b→=b→.c→=c→.a→=m2.

Vì M, N là trung điểm của AB và CD nên

MN→=12AD→+BC→=12a→+c→−b→.

MN2=14a→2+b→2+c→2+2a→.c→−2a→.b→−2b→.c→=m22⇒MN=m22.MN→.BC→=12a→+c→−b→−b→+c→=m22⇒cosMN,BC^=MN→.BC→MN→.BC→=m22m.m22=22.

Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và BC bằng 45°.