25 câu Chủ đề 2: Góc Dạng 3. Góc giữa hai mặt phẳng

Chọn đáp án A

Ta có: BC⊥SA,BC⊥AB⇒BC⊥SB.

Suy ra SBC∩ABC=BCAB⊥BC,AB⊂ABCSB⊥BC,SB⊂SBC

⇒SBC,ABC^=AB,SB^=SBA^.

Chọn đáp án C.

Ta có SAD∩ABCD=ADAB⊥AD,AB⊂ABCDSA⊥AD,SA⊂SAD

⇒SAD,ABCD^=SA,AB^=SAB^.

Chọn đáp án D.

+) SA⊥ABC⇒SAB⊥ABC nên đáp án A đúng.

+) AB⊥AC,AB⊥SA⇒AB⊥SAC

⇒SAB⊥SAC nên đáp án B đúng.

+) AH⊥BC;BC⊥SA⇒BC⊥SAH

⇒SH⊥BC⇒SBC,ABC^=SHA^.

Vậy đáp án C đúng.

+) SBC∩SAC=SC  nhưng BC⊥SC  nên đáp án D sai.

Chọn đáp án C.

Ta có: ABC∩ABD=ABBC⊥ABBD⊥AB

⇒ABD,ABC^≠CBD^. Đáp án C sai.

Chọn đáp án D.

Ta có AB⊥ADAB⊥SA⇒AB⊥SAD.

Gọi E là hình chiếu của A lên SB, dễ thấy AE⊥SBC.

Vậy góc giữa (SAD) và (SBC) là góc giữa AB và AE.

Ta có ∆SAB vuông cân tại A nên SBA^=45o.

Suy ra BAE^=45o  là góc giữa AB và AE.             

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng 45°.

Chọn đáp án A.

Gọi H, K là trung điểm của AB, CD.

Do SAB⊥ABCD  nên SH là đường cao của hình chóp.

Ta có  HK⊥AB,HK⊥SH⇒HK⊥SAB1

Dựng HI⊥SK⇒HI⊥SCD2.

Từ (1) và (2) ta có góc hợp bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là HK,HI=IHK^.

Ta có SH=a32;HK=a.

1HI2=1SH2+1HK2⇒HI=a32.a34a2+a2=217.

Vây cosIHK^=HIHK=217.

Chọn đáp án D.

Mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (SAD) cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng d//BC//AD.

Vì SA⊥d,SB⊥d nên SBC,SAD^=SA,SB^=ASB^.

Vậy ∆ASB vuông cân tại A nên ASB^=45o.

Chọn đáp án C.

Gọi Q là trung điểm BC, suy ra OQ⊥BC.

Ta có BC⊥OQBC⊥SO⇒SBC,ABCD^=SQ,OQ^=SQO^.

Tam giác vuông SOQ có tanSQO^=SOOQ=a32a2=3⇒SQO^=60o.

Vậy mặt phẳng (SBC) hợp với mặt đáy (ABCD) một góc 60°.

Chọn đáp án B

Ta có SA⊥ABC nên SA⊥BC mà AB⊥BC.

Suy ra BC⊥SAB⇒SB⊥BC.

SBC∩ABC=BCAB⊥BCSB⊥BC⇒SBC,ABC^=SBA^.tanSBA^=SAAB=31=3⇒SBA^=60o.

Vậy góc giữa (SBC) và mặt đáy (ABC) bằng 60^o

Chọn đáp án C.

Ta có: BC⊥BABC⊥AA'⇒BC⊥AA'B'B⇒BC⊥A'B.

Do A'BC∩ABC=BCA'B⊂A'BC;A'B⊥BCAB⊂ABC;AB⊥BC nên A'BA^=φ là góc hợp bởi hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC).

Xét ∆A'BC vuông tại A ta có tanφ=A'ABA=a2a=2.

Chọn đáp án C.

Ta có SAC∩SBC=SC.

Gọi F là trung điểm AC thì BF⊥SAC.

Dựng BK⊥SC  tại K⇒SC⊥BKF⇒SAC,SBC^=KB,KF^=BKF^.

Dễ thấy ΔCFK∽ΔCSA⇒FKFC=SASC⇒FK=FC.SASC=a22.aa3=a6.

∆BFK vuông tại F có tanBKF^=FBFK=a22a6=3⇒BKF^=60o.

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng 60°.

Chọn đáp án C.

Gọi O là tâm đáy và K là hình chiếu vuông góc của O trên SC.

Do BD⊥ACBD⊥SA  nên BD⊥SAC⇒BD⊥SO.

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là góc SOA^=α.

Ta có tanα=SAOA=2⇒SA=OA.2=a.

Do SC⊥BDSC⊥OK  nên SC⊥BK.

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) là BKO^.

Ta có tanBKO^=BOOK=BO12dA,SC=2BOSA.ACSA2+AC2=2.22.12+221.2=3.

Suy ra BKO^=60o.

Chọn đáp án C.

Gọi H, M lần lượt là trung điểm của AB, CD. Vì ∆SAB là tam giác đều và (SAB) vuông góc với (ABCD) nên SH⊥ABCD.

Kẻ AK⊥SCK∈SC,DI⊥SCI∈SC,IP//AKP∈AC.

Suy ra φ=IP,ID^.

Ta có HC=HD=a52,SC=SD=a2,SM=a72⇒DI=SM.CDSD=a144.

ΔCSA=ΔSCD⇒AK=DI=a144.CI=SK=CD2−DI2=a24⇒CK=3a24.ΔCPI∽ΔCAK⇒IP=CICK.AK=a1412,AP=KICK.AC=2a23.

Áp dụng định lí côsin, ta có

∆APD có PD=AP2+AD2−2AP.AD.cos45o=a53.

∆IPD có cosPID^=IP2+ID2−DP22.IP.ID=57.

Vậy cosφ=57.

Chọn đáp án A.

Gọi α là số đo góc của hai mặt phẳng (MNP) và (ABCD).

Ta có hình chiếu vuông góc của tam giác MNP lên (ABCD) là ∆ABC.

Áp dụng công thức hình chiếu về diện tích ta có

S'ΔABC=SΔMNP.cosα⇔12AB.BC=a2.cosα⇒cosα=12⇒α=60o.

Vậy góc của hai mặt phẳng (MNP) và (ABCD) bằng 60°.

Chọn đáp án B.

Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC).

Theo công thức diện tích hình chiếu của đa giác, ta có: SΔABC=SΔDBC.cosφ.

Mà SΔDBC=12DB.DC.sin60o=12a2.a2.32=a232.

Mặt khác SΔABC=12AB.AC=12a2.

Suy ra cosφ=SΔABCSΔDBC=33⇒φ=arccos33.

Chọn đáp án B.

Áp dụng định lý Côsin cho ∆ABC ta có: 

BC2=AB2+AC2−2AB.AC.cosA=a2+a2−2a2cos120o=3a2.

Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:

B'A2=2a2;AI2=a2+a22=5a24;B'I2=3a2+a24=13a24.

Ta có: B'A2+AI2=2a2+5a24=13a24=B'I2⇒ΔAB'I  vuông ở A.

Ta có: SΔAB'I=12AI.AB'=12.a52.a2=a2104.

SΔABC=12a2sin120o=a234.

Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I).

Ta có cosφ=SΔABCSΔABI'=a234a2104=310=3010.

Chọn đáp án C

Ta có: SAD∩ABCD=ADAB⊥AD,AB⊂ABCDSA⊥AD,SA⊂SAD⇒SAD,ABCD^=SAB^.

Vậy đáp án C sai.

Chọn đáp án B

Ta có SAB∩SAC=SASAC⊥ABCSAB⊥ABC⇒SA⊥ABC.

Gọi H là trung điểm của BC⇒AH⊥BC mà BC⊥SA

⇒BC⊥SAH⇒SBC⊥SAH.

Khi đó O là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC).

Suy ra O∈SH và SBC,ABC^=SHA^⇒ D sai

Chọn đáp án A

Có ∆ABC là hình chiếu của MNP lên mặt phẳng (ABC).

Theo công thức diện tích hình chiếu có S'=Scosφ với

S'=SABC;S=SMNP và φ=ABC;MNP^.

Suy ra cosφ=S'S=510=12. Suy ra φ=60o.

Chọn đáp án A

Ta có SBC∩ABCD=BC.

Dễ dàng chứng minh được: AC⊥BC.

⇒BC⊥SAC⇒BC⊥SC⇒SBC,ABCD^=SCA^.tanSCA^=SAAC=aa2=12.

Chọn đáp án C

Gọi D là trung điểm của BC.

Ta có MBC∩ABC=BC;

BC⊥AD;BC⊥AM⇒BC⊥AMD.

Do đó α=MBC,ABC^=DM,AD^=MDA^.

Vì tam giác MAD vuông tại A nên tanα=AMAD=3a4.2a3=32.

Chọn đáp án C

Gọi M là trung điểm của BC, suy ra AM⊥BC (vì ∆ABC đều).

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC, suy ra SO⊥ABC và SO = a

Khi đó góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABC) là góc SMO^.

Ta có VS.ABC=13SO.SΔABC⇒SΔABC=3VS.ABCSO=33a3a=33a2.

Mặt khác SΔABC=34.AB2=33a2⇒AB=23a.

Xét ∆ABC có OM=13AM=13.32.23a=a.

Xét ∆SOM vuông tại O nên tanSMO^=SOOM=aa=1⇒SMO^=45o.

Chọn đáp án A

Gọi M là trung điểm của AB.

Ta có tứ giác ADCM là hình vuông và CM⊥SAB. Trong (SAB) kẻ MK⊥SB tại K.

Khi đó, ta có SB⊥CMK nên SAB;SBC^=MKC^.

Từ ΔBMK∽ΔBSA ta suy ra MK=SA.BMSB⇔MK=13

Trong ∆MKC vuông tại M có tanMKC^=MCMK=3.

Suy ra MKC^=π3.

Chọn đáp án D

Gọi H là hình chiếu của O trên cạnh SC ta có

SDC,SAC^=OHD^=α.

∆OHD vuông tại O và OD=a;OH=a32 nên DH=7a2.

Vậy cosα=OHDH=217.

Chọn đáp án B

Gọi R là giao điểm của MP và OO', Q là giao điểm của B'R với OB

Thiết diện là tứ giác MPB'Q, ta có OQO'B'=RORO'=13⇒OQ=a3.

Tứ giác AMQB là hình chiếu vuông góc của tứ giác PMQB' trên mặt phẳng (OAB) nên SPMQB'=SAMQBcosφ với φ là góc tạo bởi hai mặt phẳng (OAB) và (MPB'Q).

Ta có: SAMQB=SOAB−SOMQ=12a2−112a2=512a2.

Hạ OH⊥MQ, ta có: MQ⊥OHMQ⊥OR⇒MQ⊥OHR⇒MQ⊥HR.

Vậy φ =OHR^ (OHR^ nhọn).

Ta có: cosφ=cosOHR^=OHRH=OHOH2+OR2

=a13a213+a22=215.

Vậy SPMQB'=5a215122.