44 câu trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án - Đề 2

Chọn B

Gọi \[d\] là đường thẳng đi qua \[A\] và vuông góc với \[\left( {BCD} \right)\,.\]

Ta có \[\overrightarrow {BC}  = \left( { - 1\,;\,1\,;\, - 1} \right)\,;\,\overrightarrow {BD}  = \left( {0\,; - 1\,;\, - 2} \right)\].

Mặt phẳng \[\left( {BCD} \right)\] có vec tơ pháp tuyến là \[{\overrightarrow n _{\left( {BCD} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {BD} \,,\,\overrightarrow {BC} \,} \right] = \left( {3\,;\,2\,;\, - 1} \right)\,.\]

Gọi \[{\overrightarrow u _d}\] là vec tơ chỉ phương của đường thẳng \[d\].

Vì \[d \bot \left( {BCD} \right)\] nên \[\overrightarrow {{u_d}}  = {\overrightarrow n _{\left( {BCD} \right)}} = \left( {3\,;\,2\,;\, - 1} \right)\].

Đáp A và C có VTCP \[\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {3\,;\,2\,;\, - 1} \right)\] nên loại B và    D.

Ta thấy điểm \[A\left( {0\,;\,0\,;2\,} \right)\]thuộc đáp án C nên loại A.

Chọn C

\(\left( P \right):x + z - 5 = 0\) có 1 vtpt \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;0;1} \right)\)

\(\left( Q \right):x - 2y - z + 3 = 0\) có 1 vtpt \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1; - 2; - 1} \right)\)

Gọi \(\Delta \) là giao tuyến của 2 mặt phẳng thì \(\Delta \) có 1 vtcp \(\overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {2;2; - 2} \right)\).

Chọn B

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nếu vectơ chỉ phương của đường thẳng cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là →u=(1; 2; -1).

Mặt phẳng (T) có một vectơ pháp tuyến là →nT=(1; 1; 2). Do 11≠-21≠12 nên →u không cùng phương với →nT. Do đó d không vuông góc với (T).

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là →nP=(1; -2; 1). Do 11=-2-2=11 nên →u cùng phương với →nP. Do đó d vuông góc với (P).

Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là →nQ=(1; -2; -1). Do 11=-2-2≠1-1 nên →u không cùng phương với →nQ. Do đó d không vuông góc với (Q).

Mặt phẳng (R) có một vectơ pháp tuyến là →nR=(1; 1; 1). Do 11≠-21≠11 nên →u không cùng phương với →nR. Do đó không vuông góc với (R).

Chọn D

Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng (d): x1=y1=z1 nên nhận véc tơ chỉ phương →ud=(1; 1; 1) làm véc tơ pháp tuyến, suy ra phương trình mặt phẳng (P) có dạng: x + y + z + D = 0, mặt khác (P) đi qua gốc tọa độ nên D = 0.

Vậy phương trình (P) là: x + y + z = 0.

Chọn A

Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm A(0; 0; 3) và vuông góc với đường thẳng d nên nhận véc tơ chỉ phương của đường thẳng d là →u=(2; -1; 1) làm véc tơ pháp tuyến. Do đó phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2x - y + z - 3 = 0

Chọn A

Đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 10}}{5} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {5;1;1} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( P \right):10x + 2y + mz + 11 = 0\)có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {10\,;\,2\,;\,m} \right)\)

Để mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) thì \(\overrightarrow u \) phải cùng phương với \(\overrightarrow n \) \[ \Rightarrow \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2} = \frac{1}{m} \Leftrightarrow m = 2\].

Chọn A

\(\Delta \) có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( { - 1;2; - 3} \right)\) và \(\left( P \right)\) có VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 1;1} \right)\).

\(\left( \alpha  \right)\) qua \(O\) và nhận \(\overrightarrow {n'}  =  - \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow n } \right] = \left( {1;2;1} \right)\)

Suy ra \(\left( \alpha  \right):x + 2y + z = 0\).

Chọn D

Đường thẳng \({d_2}\) có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow v  = \left( {1; - 2;3} \right)\) và đi qua điểm \(N\left( { - 3;1; - 4} \right)\)

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow u } \right] = \left( {4;5;2} \right) \ne \overrightarrow 0 \); \(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 4;4; - 6} \right)\); \(\left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow u } \right].\overrightarrow {MN}  =  - 16 + 20 - 12 =  - 8 \ne 0\)

\( \Rightarrow \) \({d_1}\) và \({d_2}\) chéo nhau.

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cách đều hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) nên \(\left( P \right)\) nhận \(\left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow u } \right] = \left( {4;5;2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến và đi qua trung điểm \(I\left( { - 1; - 1; - 1} \right)\) của đoạn \(MN\)

Suy ra phương trình của \(\left( P \right)\): \(4\left( {x + 1} \right) + 5\left( {y + 1} \right) + 2\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 5y + 2z + 11 = 0\)

\( \Rightarrow a = 4;b = 5;c = 2\) \( \Rightarrow a + 2b + 3c = 20\).

Chọn C

Đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 4}}{3}\) đi qua điểm \(M\left( {1; - 2;4} \right)\), có một VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 2;1;3} \right)\).

Đường thẳng \({d_2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{3}\) có một VTCP là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1; - 1;3} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau \({d_1},{d_2}\)\( \Rightarrow \)\(\left( P \right)\) qua điểm \(M\left( {1; - 2;4} \right),\) có một VTPT là \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {6;9;1} \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là :

\(\left( P \right):6\left( {x - 1} \right) + 9\left( {y + 2} \right) + \left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 6x + 9y + z + 8 = 0\).

Chọn A

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {1;1; - 4} \right)\).

Đường thẳng \(d\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {0;1; - 1} \right)\).

Gọi VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow {{n_P}} \).

Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}}  \bot \overrightarrow {{n_Q}} \) và \(\overrightarrow {{n_P}}  \bot \overrightarrow {{u_d}} \) nên chọn \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {3;\,1;\,1} \right)\).

\(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {0;1;0} \right),\) VTPT \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {3;1;1} \right)\) có phương trình là: \(3x + y + z - 1 = 0\).

Chọn A

Đường thẳng \({d_1}\) đi qua \(A\left( {2;6; - 2} \right)\) và có một véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2; - 2;1} \right)\).

Đường thẳng \({d_2}\) có một véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;3; - 2} \right)\).

Gọi \(\overrightarrow n \) là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\). Do mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \({d_1}\) và \(\left( P \right)\)song song với đường thẳng \({d_2}\) nên \[\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {1;5;8} \right)\].

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {2;6; - 2} \right)\) và có một véc tơ pháp tuyến \[\overrightarrow n  = \left( {1;5;8} \right)\] là \(x + 5y + 8z - 16 = 0\).

Chọn C

Phương trình đường thẳng qua hai điểm \(A\), \(O\) có dạng \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\z = 0\end{array} \right.\).

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng cùng đi qua hai điểm \(A\), \(O\) nên \(\left( P \right)\): \(m\left( {x - y} \right) + nz = 0\), \({m^2} + {n^2} > 0\). Khi đó véctơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) có dạng \(\overrightarrow n  = \left( {m; - m;n} \right)\).

Ta có \(d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \sqrt 3  \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 2n} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + {m^2} + {n^2}} }} = \sqrt 3 \) \( \Leftrightarrow 2{m^2} - 4mn - {n^2} = 0 \Leftrightarrow  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{m}{n} = 1\\\frac{m}{n} = \frac{1}{5}\end{array} \right.\).

Vậy một véctơ pháp tuyến của một trong hai mặt phẳng đó là \(\overrightarrow n  = \left( {\frac{1}{5}n;\frac{{ - 1}}{5}n;n} \right) = \frac{n}{5}\left( {1; - 1;5} \right)\).

Chọn C

VTCP của \(d\) là \(\overrightarrow a  = \left( {2;1;2} \right)\) và \(B\left( {1; - 2;1} \right) \in d\).

Khi đó: \[\overrightarrow {AB}  = \left( {0; - 2;1} \right)\].

Do đó véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng là \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow a } \right] = \left( {5, - 2; - 4} \right)\).

Từ đó suy ra phương trình mặt phẳng cần tìm là \(5\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 0} \right) - 4\left( {z - 0} \right) = 0\) hay \[5x - 2y - 4z - 5 = 0\].

Chọn A

Ta có: Đường thẳng \({d_1}\) đi qua điểm \(A\left( {2;0;0} \right)\) có VTCP là \[\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 1;1;1} \right)\] và đường thẳng \({d_2}\) đi qua điểm \(A\left( {0;1;2} \right)\) có VTCP là \[\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 2;1;1} \right)\]

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song \({d_1};{d_2}\) nên \(\left( P \right)\) có VTPT là \[n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {0; - 1;1} \right)\]

Do đó: Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng \(y - z + m = 0\)

Mặt khác: \(\left( P \right)\) cách đều hai đường thẳng \({d_1};{d_2}\) nên

\(d\left( {{d_1};\left( P \right)} \right) = d\left( {{d_2};\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow d\left( {A;\left( P \right)} \right) = d\left( {B;\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow \left| m \right| = \left| {m - 1} \right| \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\)

Vậy \(\left( P \right)\):\(y - z + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow 2y - 2z + 1 = 0\).