44 câu trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án - Đề 1

Chọn C

Từ phương trình đường thẳng \(d\) ta thấy véctơ \(\overrightarrow {{u_3}}  = (1; - 2;3)\)là một véctơ chỉ phương của \(d\).

Chọn B

Đường thẳng \(d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 5}} = \frac{{z + 1}}{3}\) có một vectơ chỉ phương là. \[\overrightarrow {{u_1}} \left( {2; - 5;3} \right)\]

Chọn B

Đường thẳng \[\left( P \right)\] có một vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {{u_4}}  = \left( {1;\, - 1;\,2} \right) =  - 1\left( { - 1;\,1;\, - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_4}}  = \left( { - 1;\,1;\, - 2} \right)\].

Chọn D

Ta có một vectơ chỉ phương của \[d\] là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 1;2;3} \right)\).

\(\overrightarrow {{u_2}}  =  - 3\overrightarrow {{u_1}} \), \(\overrightarrow {{u_3}}  =  - \overrightarrow {{u_1}} \) \( \Rightarrow \) các vectơ \(\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{u_3}} \) cũng là vectơ chỉ phương của \[d\].

Không tồn tại số \(k\) để \(\overrightarrow {{u_4}}  = k\overrightarrow {.{u_1}} \) nên \(\overrightarrow {{u_4}}  = \left( { - 2;4;3} \right)\) không phải là vectơ chỉ phương của \[d\].

Chọn C

Xét đường thẳng được cho ở câu C, có một vectơ chỉ phương là \(\left( { - 2; - 1; - 1} \right) =  - \left( {2;1;1} \right)\)(thỏa đề bài).

Chọn D

Xét đường thẳng được cho ở câu D, có một vectơ chỉ phương là

\(\vec u = (2; - 4; - 5) =  - ( - 2;4;5)\)\(\left( { - 2; - 1; - 1} \right) =  - \left( {2;1;1} \right)\)(thỏa đề bài).

Chọn C

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;0;2} \right)\) suy ra đường thẳng \(AB\) có VTCP là \(\vec b = \left( { - 1;0;2} \right)\).

Chọn A

\({M_1}\) là hình chiếu của \(M\) lên trục \(Ox \Rightarrow {M_1}\left( {1;0;0} \right)\).

\({M_2}\) là hình chiếu của \(M\) lên trục \(Oy \Rightarrow {M_2}\left( {0;2;0} \right)\).

Khi đó: \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \left( { - 1;2;0} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \({M_1}{M_2}\).

Chọn C

Cho \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\y - 1 = 0\\z + 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\\z =  - 1\end{array} \right.\) vậy \(P\left( {2;1; - 1} \right) \in d\).

Chọn A

Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng ta thấy điểm \(P\left( { - 1\,;\,2\,;\,1} \right)\) thỏa \(\frac{{ - 1 + 1}}{{ - 1}} = \frac{{2 - 2}}{3} = \frac{{1 - 1}}{3} = 0\). Vậy điểm \(P\left( { - 1\,;\,2\,;\,1} \right)\) thuộc đường thẳng yêu cầu.

Chọn A

Thế điểm \(N(4;2; - 1)\) vào \(d\) ta thấy thỏa mãn nên chọn A.

Chọn A

Chọn D

Chọn C.Với \(t = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 5\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {1;\;5;\;2} \right) \in d\).

Chọn C

\({d_1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2;1; - 2} \right)\); \({d_2}:\frac{{x + 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 2; - 1;2} \right)\)

\(\overrightarrow {{u_1}}  =  - \overrightarrow {{u_2}}  \Rightarrow {d_1}//{d_2} \vee {d_1} \equiv {d_2}\)

Điểm \(M\left( {1;0; - 2} \right) \in {{\rm{d}}_1}\); \(M \notin {d_2}\) nên\({d_1}//{d_2}\)

Chọn C

\[(S):{(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} + {(z - 2)^2} = 1\]có VTCP \[\Delta {\rm{:}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = 1 + mt}\\{z =  - 2t}\end{array}} \right.\]và đi qua \[m\]

\[\Delta \]có VTCP \[(S)\]và đi qua \[m = \frac{{15}}{2}\]

Từ đó ta có

\[m = \frac{5}{2}\]và \[m > \frac{{15}}{2}\]

Lại có \[m < \frac{5}{2}\]

Suy ra \[\frac{5}{2} < m < \frac{{15}}{2}\] chéo nhau với \[m \in \mathbb{R}\].

Chọn A

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(1 + t)^2} + {(4 + mt)^2} + {( - 2t - 2)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 5} \right){t^2} + 2(5 + 4m)t + 20 = 0{\rm{     (1)}}\end{array}\]có VTCP \[\Delta \]và đi qua \[(S)\]

\[\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = \frac{{15}}{2}}\\{m = \frac{5}{2}}\end{array}} \right.\]có VTCP \[Oxyz\]và đi qua \[{(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} + {(z - 2)^2} = 1\]

Từ đó ta có

\[\Delta {\rm{:}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = 1 + mt}\\{z =  - 2t}\end{array}} \right.\]và \[m\]

Lại có \[\Delta \]

Suy ra \[(S)\] song song với \[\frac{5}{2} < m < \frac{{15}}{2}\].

Chọn A

\[m = \frac{{15}}{2}\]có VTCP \[m = \frac{5}{2}\]và đi qua \[m \in \mathbb{R}\]

\[\Delta \]có VTCP \[(S)\]và đi qua \[{(2 + t - 1)^2} + {(1 + mt + 3)^2} + {( - 2t - 2)^2} = 1\]

Từ đó ta có

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(1 + t)^2} + {(4 + mt)^2} + {( - 2t - 2)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 5} \right){t^2} + 2(5 + 4m)t + 20 = 0{\rm{     (1)}}\end{array}\]

Suy ra \[\Delta \]và \[(S)\]

Suy ra \[\Delta ' > 0 \Leftrightarrow \frac{5}{2} < m < \frac{{15}}{2}\] trùng với \[Oxyz\].

Chọn D

\[D(0;a;0)\] có VTCP \[A'(0;0;b)\] và đi qua \[(a > 0,b > 0)\]

\[M\] có VTCP \[CC'\] và đi qua \[\frac{a}{b}\]

Từ đó ta có

\[(A'BD)\]

\[\left( {MBD} \right)\] và \[\frac{1}{2}\]

Suy ra \[ - 1\] cắt \[\frac{1}{3}\].

Chọn C

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \[M\left( {2;2;1} \right)\] và có một vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u  = \left( {5;2; - 3} \right)\], phương trình của \(d\) là \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 5t\\y = 2 + 2t\\z = 1 - 3t\end{array} \right.\]

Chọn D

Đường thẳng MN nhận \(\overrightarrow {MN}  = (\,2;\,2;\, - 2)\) hoặc \(\overrightarrow u (\,1;\,1;\, - 1)\) là véc tơ chỉ phương nên ta loại ngay phương án A, B và C.

Thay tọa độ điểm \(M(\,1;\,0;\,1)\) vào phương trình ở phương án D ta thấy thỏa mãn.

Chọn D

Do đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3t\\z =  - 2 + t\end{array} \right.\) đi qua điểm \(M(1;0; - 2)\) và có véc tơ chỉ phương \(\vec u(2;3;1)\) nên có phương trình chính tắc là \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 2}}{1}.\)

Chọn B

Đường thẳng \(Oy\) đi qua điểm \(A\left( {0{\rm{ }};{\rm{ 2 }};{\rm{ }}0} \right)\) và nhận vectơ đơn vị \(\overrightarrow j  = \left( {0;{\rm{ }}1;{\rm{ }}0} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 + 0.t\\y = 2 + 1.t\\z = 0 + 0.t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 2 + t\\z = 0\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

Chọn D

Trục \(Oz\) đi qua gốc tọa độ \(O\left( {0;0;0} \right)\) và nhận vectơ đơn vị \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = t\end{array} \right.\).

Chọn D

Trục \[Ox\]đi qua \(O\left( {0;0;0} \right)\) và có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow i \left( {1;0;0} \right)\)nên có phương trình tham số là:

\[\left\{ \begin{array}{l}x = 0 + 1.t\\y = 0 + 0.t\\z = 0 + 0.t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 0\end{array} \right..\]

Chọn B

Vì đường thẳng song song với đường thẳng \[\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 1 + at'\\2 - 2t = 0 + t'\\3 + t =  - 1 + 2t'\end{array} \right.\]nên nó có vectơ chỉ phương là \[\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 1 + at'\\2 - 2t = 0 + t'\\3 + t =  - 1 + 2t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t - at' = 0\\ - 2t - t' =  - 2\\t - 2t' =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 0\\t' = 2\\0 - a.2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 0\\t' = 2\\a = 0\end{array} \right. \cdot \] hoặc \[a = 0\] nên loại phương án C và                         D.

Vì điểm \(M\left( {2;\,1;\, - 1} \right)\)thuộc đường thẳng \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}\) nên chọn phương án   B.

Vậy phương trình của đường thẳng là \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}.\)

Chọn B

Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).

Do \(d\) vuông góc với \(\left( P \right)\) nên \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {2\,; - 3\,; - 1} \right)\).

Vậy phương trình của đường thẳng \(d\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y =  - 2 - 3t\\z = 1 - t\end{array} \right.\).

Chọn B

Đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right)\)nên nhận \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương. Mặt khác \[d\] đi qua \(A\left( {1;1;1} \right)\)nên:

\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(d\) có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 1 + t\end{array} \right.\).

Chọn A

Ta có mặt phẳng \((P):x + z - 2 = 0\)

\( \Rightarrow \) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {1;0;1} \right)\)

Gọi đường thẳng cần tìm là \(\Delta \). Vì đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với \(\left( P \right)\)nên véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là véc tơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \).

\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {1;0;1} \right)\)

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M(3;2; - 1)\) và có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {1;0;1} \right)\)là:

\[\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 2\\z =  - 1 + t\end{array} \right..\]

Chọn A

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 2;2} \right)\), \(\overrightarrow {AC}  = \left( {1;0; - 1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có một véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2;4;2} \right)\).

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có một véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {1;2;1} \right)\).

Đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình là\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}\).