26 bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Bài 5. Bất đẳng thức và tính chất có đáp án
26 câu hỏi
Bất đẳng thức nào biểu thị đúng thứ tự các só? Vì sao?
a) \( - 7 \le - 6 - 1\); b) \(5( - 3) > - 16\);
c) \(12 < ( - 3).5\); d) \(4( - 2) > ( - 7)( - 2)\)
a) So sánh \({\rm{a}} - 1\) và \({\rm{a}}; - 2\;{\rm{b}}\) và \( - 2\;{\rm{b}} + 1\).
b) Cho \({\rm{a}} < {\rm{b}}\) so sánh \(2{\rm{a}}\) và \(2\;{\rm{b}} + 1; - 3{\rm{a}}\) và \( - 3\;{\rm{b}} - 1\).
a) \(a - 1 < a; - 2b < - 2b + 1\).
b) \(2a < 2b + 1; - 3a > - 3b - 1\).
a) Cho \({\rm{a}} \ne 0\), hãy so sánh \({{\rm{a}}^2}\) và \(0; - {{\rm{a}}^2}\) và 0.
b) So sánh \({{\rm{a}}^2} + 1\) và \(0: - {{\rm{a}}^2} - 3\) và 0.
Cho \(0 < a < b\), hãy so sánh:
a) \({a^2}\) và \(ab;{b^2}\) và\[ab\].
b)\({a^2}\) và \({b^2};{a^3}\) và \({b^3}\).
Dùng kí hiệu >, <, \[ \ge \], \[ \le \] để diễn tả:
a) Tốc độ \[v\] đúng quy định với biển báo giao thông hình dưới
b) Trọng tải \[P\] của toàn bộ xe khi đi qua cầu đúng quy định với biển báo giao thông ở hình 4b
a) \[\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} < {a^2} + \frac{4}{5}\] với \[a \ne 0\]
b) \[2m + 4 > 2n + 3\] với \[m > n\]
a) ta có: \[\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} = \frac{5}{{20}}\]
Mà \[\frac{4}{5} = \frac{{16}}{{20}}\] nên \[\frac{5}{{20}} < \frac{{16}}{{20}}\]
Do đó: \[\frac{1}{4} < \frac{4}{5} < {a^2} + \frac{4}{5}\] với \[a \ne 0\]
Vậy \[\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} < {a^2} + \frac{4}{5}\] với \[a \ne 0\]
b) \[2m + 4 > 2n + 3\] với \[m > n\]
Ta có: \[m > n\]
Nhân \[2\] vào hai vế
Ta được \[2m > 2n\]
Cộng \[4\] vào hai vế
Ta được \[2m + 4 < 2n + 3\]
a) Cho \[a > b > 0\]. Chứng minh \[\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\]
b) áp dụng kết quả trên, so sánh \[\frac{{2022}}{{2023}}\] và \[\frac{{2023}}{{2024}}\]
a) Cho \[a > b > 0\]. Chứng minh \[\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\]. Ta có \[a > b > 0\] do đó \[\frac{1}{{ab}} > 0\]
Nhân hai vế của bất đẳng thức \[a > b\] cho \[\frac{1}{{ab}}\]
Ta được \[a.\frac{1}{{ab}} > b.\frac{1}{{ab}}\] hay \[\frac{1}{b} > \frac{1}{a}\]
Do đó \[\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\]
b) Áp dụng kết quả trên, so sánh \[\frac{{2022}}{{2023}}\] và \[\frac{{2023}}{{2024}}\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}\frac{{2022}}{{2023}} = 1 - \frac{1}{{2023}}\\\frac{{2023}}{{2024}} = 1 - \frac{1}{{2024}}\end{array}\]
Vì \[\frac{1}{{2023}} > \frac{1}{{2024}}\] nên \[1 - \frac{1}{{2023}} > 1 - \frac{1}{{2024}}\] hay \[\frac{{2022}}{{2023}} < \frac{{2023}}{{2024}}\]
Ta có: \[{(x - y)^2} \ge 2xy\] với mọi số thực \[x,y\]
Suy ra \[{x^2} + {y^2} \ge 2xy\]
Suy ra \[{x^2} + {y^2} - 2xy \ge 0\]
Dấu “=” xảy ra khi \[{(x - y)^2} = 0\] suy ra \[x = y\]
Ta có \[a < b + c\]( bất đẳng thức tam giác)
\[ \Rightarrow 2a < a + b + c \Rightarrow a < \frac{{a + b + c}}{2}\]
Ta có: \[A = 2{x^2} + 28x + 98 + 3 = 2{(x + 7)^2} + 3 \ge 3\].
Do đó min \[A = 3\] khi và chỉ khi \[x = - 7\]
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \[C = - {x^2} + 5x\]
Ta có: \[C = - {x^2} + 5x = - ({x^2} - 5x)\]
\[\begin{array}{l} = - \left( {{x^2} - 2.\frac{5}{2}x + \frac{{25}}{4} - \frac{{25}}{4}} \right)\\ = - \left[ {{{\left( {x - \frac{5}{2}} \right)}^2} - \frac{{25}}{4}} \right]\\ = - {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{25}}{4} \le \frac{{25}}{4}\end{array}\]
Vậy max \[C = \frac{{24}}{5}\] khi và chỉ khi \[x = \frac{5}{2}\].
\({x^2}y - x{y^2} = xy(x - y)\). Sau đó xét dấu của tích xy, xét dấu của hiệu \(x - y\).
a) \(ab \le \frac{{{{(a + b)}^2}}}{4}\) b) \({a^2} + {b^2} + {c^2} + 3 \ge 2(a + b + c)\).
a) \(ab \le \frac{{{{(a + b)}^2}}}{4} \Leftrightarrow 4ab \le {a^2} + 2ab + {b^2}\).\( \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} \ge 0 \Leftrightarrow {(a - b)^2} \ge 0\)
b) Ta có \(\quad {a^2} + 1 \ge 2a;{b^2} + 1 \ge 2b;{c^2} + 1 \ge 2c\). Do đó \(\quad {a^2} + {b^2} + {c^2} + 3 \ge 2(a + b + c)\) (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \({\rm{a}} = {\rm{b}} = {\rm{c}} = 1\) ).
Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a) \(A = 2{x^2} + 28x + 101\) b) \({\rm{B}} = \frac{{{{({\rm{x}} + 1)}^2}}}{{\rm{x}}}\) với \({\rm{x}} > 0\).
a) \(A = 2{x^2} + 28x + 98 + 3 = 2{(x + 7)^2} + 3 \ge 3\). Do đó \(\min A = 3\) khi và chỉ khi \({\rm{x}} = - 7\).
b) \(B = \frac{{{{(x + 1)}^2}}}{x} = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{x} = x + \frac{1}{x} + 2\). Vì \(x > 0\) nên \(x + \frac{1}{x} \ge 2\), do đó \(B \ge 4\).
Vậy \(\min B = 4\) khi và chỉ khi \(x = \frac{1}{x} \Leftrightarrow x = 1\).
Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
a) \(C = - {x^2} + 5x\) b) \(D = 2(1 - x)(2x - 1)\).
a) \(C = - {x^2} + 5x = - \left( {{x^2} - 5x} \right)\) \( = - \left( {{x^2} - 2 \cdot \frac{5}{2}x + \frac{{25}}{4} - \frac{{25}}{4}} \right)\)\( = - \left[ {{{\left( {x - \frac{5}{2}} \right)}^2} - \frac{{25}}{4}} \right] = - {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{25}}{4} \le \frac{{25}}{4}\)
Do đó \(\max {\rm{C}} = \frac{{25}}{4}\) khi và chỉ khi \(x = \frac{5}{2}\).
b) \(D = (2 - 2x)(2x - 1) \le \frac{{{{[(2 - 2x) + (2x - 1)]}^2}}}{4}\)\( \Leftrightarrow {\rm{D}} \le \frac{1}{4}{\rm{. }}\)$
Do đó \(\max D = \frac{1}{4}\) khi và chỉ khi \(2 - 2x = 2x - 1 \Leftrightarrow x = \frac{3}{4}\).
a) Cho \({\rm{a}} < {\rm{b}}\) và \({\rm{c}} < {\rm{d}}\), chứng minh \({\rm{a}} + {\rm{c}} < {\rm{b}} + {\rm{d}}\).
b) a, b, c, d dương và \({\rm{a}} < {\rm{b}},{\rm{c}} < {\rm{d}}\). Chứng minh \({\rm{ac}} < {\rm{bd}}\).
a) \(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{ a }} < b \Rightarrow a + c < b + c}\\{c < d \Rightarrow c + b < d + b}\end{array}} \right\} \Rightarrow a + c < b + d\). b)\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{a}} < {\rm{b}} \Rightarrow {\rm{ac}} < {\rm{bc}}}\\{c < {\rm{d}} \Rightarrow {\rm{bc}} < {\rm{bd}}}\end{array}}\end{array}} \right\} \Rightarrow {\rm{ac}} < {\rm{bd}}\).
Chứng minh các bất đẳng thức:
a) \({(x + y)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)
b) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 3 \ge 2(x + y + z)\)
c) \(\frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{3} \ge {\left( {\frac{{x + y + z}}{3}} \right)^2}\)
a) \({(x + y)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \Leftrightarrow 0 \le {(x - y)^2}\).
b) \({x^2} + {y^2} + {z^3} + 3 \ge 2(x + y + z) \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 1)^2} \ge 0\).
\({\rm{ c) }}\frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{3} \ge {\left( {\frac{{x + y + z}}{3}} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2zx \ge 0\)\( \Leftrightarrow {(x - y)^2} + {(y - z)^2} + {(z - x)^2} \ge 0.\)
Giả sử \({\rm{x}},{\rm{y}} > 0\) và \({\rm{x}} + {\rm{y}} = {\rm{k}}\) (không đổi).Ta có \(:(x - y) + 4xy = {(x + y)^2} = {k^2} \Rightarrow xy \le \frac{{{k^2}}}{4}\).
\(A = \frac{1}{2}(2 - 2x)(2x - 1):\max A = \frac{1}{8}\)
Chứng minh rằng: Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau. Áp dụng: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
a) \(B = \frac{{{{(x + 1)}^2}}}{x}(\) với \(x > 0)\); b) \({\rm{C}} = {\rm{x}} + \frac{1}{{{\rm{x}} - 1}}(\) với \({\rm{x}} > 1)\).
a)\(B = x + \frac{1}{x} + 2 \ge 4;\min B = 4 \Leftrightarrow x = \frac{1}{x} \Leftrightarrow x = 1\).
b)\(C = x - 1 + \frac{1}{{x - 1}} + 1 \ge 3;\min C = 3 \Leftrightarrow x = 2\).
\({\rm{D}} = \frac{{{{\rm{x}}^2} + 4x + 4 - {{\rm{x}}^2} - 1}}{{{{\rm{x}}^2} + 1}} = \frac{{{{(x + 2)}^2}}}{{{{\rm{x}}^2} + 1}} - 1 \ge - 1\).
\({\rm{D}} = \frac{{4\left( {{{\rm{x}}^2} + 1} \right) - \left( {4{{\rm{x}}^2} - 4x + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} = 4 - \frac{{{{(2x - 1)}^2}}}{{{x^2} + 1}} \le 4\).
\(\min D = - 1,\max D = 4\)
