25 câu Trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Bài 2. Các quy tắc tính đạo hàm (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án
25 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Cho u = u(x), v = v(x), v(x) ≠ 0 và k là hằng số. Công thức nào sau đây là sai?
(u + v)' = u' + v'.
\({\left( {\frac{1}{v}} \right)^\prime } = - \frac{{v'}}{v}\).
(u.v)' = u'.v + u.v'.
(ku)' = ku'.
B
\({\left( {\frac{1}{v}} \right)^\prime } = - \frac{{v'}}{{{v^2}}}\).
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây.
\({\left( {\ln x} \right)^\prime } = - \frac{1}{x}\).
\({\left( {{{\log }_2}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{x\ln x}}\).
\({\left( {{{\log }_2}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{2\ln x}}\).
\({\left( {{{\log }_3}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{x\ln 3}}\).
D
\({\left( {{{\log }_3}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{x\ln 3}}\).
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây.
(sinx)' = cosx.
(cosx)' = −sinx.
\({\left( {\tan x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\).
\({\left( {\cot x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\).
D
\({\left( {\cot x} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\).
Hàm số y = 2x xác định trên ℝ có công thức đạo hàm
y' = 2x.
y' = 2xln2.
\({y^\prime } = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\).
\({y^\prime } = 2x\ln 2\).
B
y' = 2xln2.
Với x > 0, đạo hàm của hàm số y = 2x + log5x là
\(y' = {2^x}\ln 2 + \frac{1}{{x\ln 2}}\).
\(y' = {2^x} + \frac{1}{{x\ln 5}}\).
\(y' = {2^x}\ln 2 + \frac{1}{{\ln 5}}\).
\(y' = {2^x}\ln 2 + \frac{1}{{x\ln 5}}\).
D
\(y' = {2^x}\ln 2 + \frac{1}{{x\ln 5}}\).
Tính đạo hàm của hàm số y = 2sin3x + cos2x.
y' = 6cos3x – 2sin2x.
y' = 2cos3x + sin2x.
y' = −6cos3x + 2sin2x.
y' = 2cos3x – sin2x.
A
y' = 2.cos3x. (3x)' – sin2x. (2x)' = 6cos3x – 2sin2x.
Cho (e2x + ln3x)' \( = a.{e^{2x}} + \frac{b}{x}\left( {a;b \in \mathbb{Z}} \right)\). Tổng a + b bằng
3.
2.
5.
1.
A
(e2x + ln3x)' \( = {e^{2x}}.{\left( {2x} \right)^\prime } + \frac{{{{\left( {3x} \right)}^\prime }}}{{3x}} = 2.{e^{2x}} + \frac{1}{x}\).
Suy ra a = 2; b = 1. Do đó a + b = 3.
Đạo hàm của hàm số \(y = {\log _4}\left( {2{x^2} - 3} \right)\) là
\(y' = \frac{{4x}}{{\left( {2{x^2} - 3} \right)\ln 2}}\).
\(y' = \frac{{4x}}{{2{x^2} - 3}}\).
\(y' = \frac{1}{{\left( {2{x^2} - 3} \right)\ln 4}}\).
\(y' = \frac{{2x}}{{\left( {2{x^2} - 3} \right)\ln 2}}\).
D
\(y' = {\left[ {{{\log }_4}\left( {2{x^2} - 3} \right)} \right]^\prime } = \frac{{{{\left( {2{x^2} - 3} \right)}^\prime }}}{{\left( {2{x^2} - 3} \right)\ln 4}} = \frac{{4x}}{{\left( {2{x^2} - 3} \right)\ln 4}} = \frac{{2x}}{{\left( {2{x^2} - 3} \right)\ln 2}}\).
Đạo hàm của hàm số cot(2x – 1) là
\(y' = \frac{2}{{{{\sin }^2}\left( {2x - 1} \right)}}\).
\(y' = - \frac{2}{{{{\sin }^2}\left( {2x - 1} \right)}}\).
\(y' = \frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {2x - 1} \right)}}\).
\(y' = \frac{2}{{{{\cos }^2}\left( {2x - 1} \right)}}\).
B
\(y' = - \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\sin }^2}\left( {2x - 1} \right)}} = - \frac{2}{{{{\sin }^2}\left( {2x - 1} \right)}}\).
Đạo hàm của hàm số y = (3x + 4)2 là
\(y' = 18x + 24\).
y' = 6x + 8.
y' = 6x + 4.
y' = 3x + 4.
A
Ta có y' = 2(3x + 4).(3x + 4)' = 6(3x + 4) = 18x + 24.
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x + 2}}\).
\(y' = 1 + \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
\(y' = \frac{{{x^2} + 6x + 7}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
\(y' = \frac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
\(y' = \frac{{{x^2} + 8x + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
A
\(y' = \frac{{{{\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)}^\prime }.\left( {x + 2} \right) - \left( {{x^2} + 2x - 3} \right).{{\left( {x + 2} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{\left( {2x + 2} \right).\left( {x + 2} \right) - \left( {{x^2} + 2x - 3} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{{x^2} + 4x + 7}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{{x^2} + 4x + 4 + 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)\( = 1 + \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x - 1} \) tại điểm x = 1.
\(f'\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\).
f'(1) = 1.
f'(1) = 0.
Không tồn tại.
D
\(f'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }}\).
Khi đó \(f'\left( 1 \right) = \frac{1}{{2\sqrt {1 - 1} }}\) không tồn tại.
Cho hàm số f(x) = x4 + 2x2 – 3. Tìm x để f'(x) > 0.
x < −1.
x < 0.
x > 0.
−1 < x < 0.
C
Ta có f'(x) = 4x3 + 4x.
Để f'(x) > 0 Û 4x3 + 4x > 0 Û 4x(x2 + 1) > 0 Û 4x > 0 Û x > 0.
Tính đạo hàm của hàm số y = xcosx.
y' = cosx – xsinx.
y' = xcosx – sinx.
y' = cosx + xsinx.
y' = xsinx - cosx.
A
y' = (xcosx)' = cosx – xsinx.
Đạo hàm của hàm số y = e2x là
y' = e2x – 1 .
y' = 2e2x.
y' = e2x.
y' = 2ex.
B
y' = e2x. (2x)' = 2e2x.
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho hàm số \(y = - 4{x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 2x + 3\). Biết y' = ax2 + bx + c. Khi đó:
a) a + b + c = −10.
b) Phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt.
c) Đồ thị hàm số y' cắt trục tung tại điểm (0; −2).
d) Đồ thị hàm số y' cắt đường thẳng y = 3 tại hai điểm phân biệt.
Ta có \(y' = - 12{x^2} + x - 2\).
a) Ta có a = −12; b = 1; c = −2. Do đó a + b + c = −13.
b) Có y' = 0 Û −12x2 + x – 2 = 0 có D = −95 < 0 nên phương trình vô nghiệm.
c) Thay x = 0 vào y' ta được y' = −2.
Do đó đồ thị hàm số y' cắt trục tung tại điểm (0; −2).
d) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình
−12x2 + x – 2 = 3 Û −12x2 + x – 5 = 0 (vô nghiệm).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Phương trình chuyển động của một vật là s(t) = t2 + 2t (t tính bằng giây, s tính bằng mét).
a) Tại thời điểm t = 3 giây, vật đã di chuyển được quãng đường dài 15 mét.
b) Tại thời điểm t = 3 giây, vận tốc tức thời của vật là 6 m/s.
c) Vật đạt vận tốc tức thời là 10 m/s tại thời điểm t = 5 giây.
d) Khi vật đạt vận tốc tức thời là 10 m/s thì vật đã di chuyển được 24 mét.
Ta có v(t) = s'(t) = 2t + 2.
a) Ta có s(3) = 32 + 2.3 = 15 m.
b) v(3) = 2.3 + 2 = 8 m/s.
c) v(t) = 10 Û 2t + 2 = 10 Û t = 4 giây.
Vậy vật đạt vận tốc tức thời là 10 m/s tại thời điểm t = 4 giây.
d) Quãng đường vật di chuyển được khi vận tốc tức thời là 10 m/s là
s(4) = 42 + 2.4 = 24 mét.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{2x + 1}}\). Khi đó:
a) y' > 0, ∀x Î ℝ.
b) Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm (0; 3).
c) y'(1) < y'(2).
d) Điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{2x + 1}}\) có hoành độ x0 = 0. Khi đó, phương trình tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng x + 7y + 1 = 0.
a) Ta có \(y' = \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^\prime }.\left( {2x + 1} \right) - \left( {x - 3} \right).{{\left( {2x + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{\left( {2x + 1} \right) - \left( {2x - 6} \right)}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{7}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
b) Thay x = 0 vào hàm số ta được y = −3.
Vậy đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm (0; −3).
c) Ta có \(y'\left( 1 \right) = \frac{7}{{{{\left( {2.1 + 1} \right)}^2}}} = \frac{7}{9}\); \(y'\left( 2 \right) = \frac{7}{{{{\left( {2.2 + 1} \right)}^2}}} = \frac{7}{{25}}\).
Vì \(\frac{7}{9} > \frac{7}{{25}}\) nên y'(1) > y'(2).
d) Ta có M(0; −3).
Hệ số góc của tiếp tuyến là \(y'\left( 0 \right) = \frac{7}{{{{\left( {2.0 + 1} \right)}^2}}} = 7\).
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là y = 7x – 3.
Đường thẳng x + 7y + 1 = 0 Û \(y = - \frac{1}{7}x - 1\).
Vì \(7.\left( { - \frac{1}{7}} \right) = - 1\) nên hai đường thẳng y = 7x – 3 và x + 7y + 1 = 0.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số f(x) = 2x.
a) f'(x) = 2xln2, ∀x Îℝ.
b) f'(x) ≥ 2, ∀x Îℝ.
c) Phương trình f'(x) = ex có nghiệm duy nhất thuộc khoảng (0; 1).
d) f'(1) = 2ln2.
a) f'(x) = 2xln2.
b) f'(x) ≥ 2 Û 2xln2 ≥ 2 Û 2x – 1ln2 ≥ 0 (luôn đúng ∀x Î ℝ).
c) f'(x) = ex Û 2xln2 = ex \( \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{e}} \right)^x} = \frac{1}{{\ln 2}}\)\( \Leftrightarrow x = {\log _{\frac{2}{e}}}\frac{1}{{\ln 2}} < 0\).
d) f'(1) = 2ln2.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên ℝ và tiếp tuyến D của đồ thị hàm số f(x) tại điểm có hoành độ bằng 2 là y = 3x – 3. Khi đó:
a) f'(2) = 3.
b) f(2) = −3.
c) Đạo hàm của hàm số g(x) = x2f(x) là 2xf(x) + x2f'(x).
d) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số g(x) = x2f(x) tại điểm có hoành độ bằng 2 có phương trình y = 24x – 36.
a) Từ phương trình tiếp tuyến D ta có f'(2) = 3.
b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm có hoành độ bằng 2 là
y = f'(2)(x – 2) + f(2) hay y = f'(2).x + f(2) – 2f'(2).
Đồng nhất hệ số, ta có f(2) = −3 + 2f'(2) = 3.
c) Theo quy tắc đạo hàm ta có g'(x) =2xf(x) + x2f'(x).
d) Ta có g'(2) = 4f(2) + 4f'(2) = 24 và g(2) = 4f(2) = 12.
Suy ra tiếp tuyến của đồ thị hàm số g(x) tại điểm có hoành độ bằng 2 có phương trình
y = g'(2)(x – 2) + g(2) hay y = 24x – 36.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Nhiệt độ cơ thể của một người trong thời gian bị bệnh được cho bởi công thức T(t) = −0,1t2 + 1,2t + 98,6 trong đó T là nhiệt độ tại thời điểm t. Tìm tốc độ thay đổi của nhiệt độ tại thời điểm t = 2.
Ta có T'(t) = −0,2t + 1,2.
Tốc độ thay đổi của nhiệt độ tại thời điểm t = 2 là T'(2) = −0,2.2 + 1,2 = 0,8.
Trả lời: 0,8.
Sau khi phát hiện một dịch bệnh, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là \(f\left( t \right) = 35{t^2} - \frac{5}{3}{t^3}\) (kết quả khảo sát trong 12 tháng liên tục). Nếu xem f'(t) là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t thì tốc độ truyền bệnh lớn nhất bằng bao nhiêu người một ngày?
Ta có f'(t) = 70t – 5t2 = −5(t – 7)2 + 245 ≤ 245.
Vậy tốc độ truyền bệnh lớn nhất là 245 (người/ngày).
Trả lời: 245.
Cho hàm số f(x) = (x2 + a)2 + b (a, b là tham số). Biết f(0) = 2 và f'(1) = 8. Tính giá trị T = a + b.
Có f'(x) = 2(x2 + a).2x.
Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 2\\f'\left( 1 \right) = 8\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + b = 2\\4\left( {1 + a} \right) = 8\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\a = 1\end{array} \right.\).
Do đó a + b = 2.
Trả lời: 2.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \ln \frac{{2018x}}{{x + 1}}\). Tính tổng S = f'(1) + f'(2) + …+f'(2018) thu được phân số tối giản \(\frac{a}{b}\left( {a,b \in \mathbb{N}} \right)\). Tính 2b – a.
Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{2018x}}.{\left( {\frac{{2018x}}{{x + 1}}} \right)^\prime } = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\).
Do đó \(f'\left( 1 \right) = \frac{1}{1} - \frac{1}{2};f'\left( 2 \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3};...;f'\left( {2018} \right) = \frac{1}{{2018}} - \frac{1}{{2019}}\).
Suy ra S = f'(1) + f'(2) + …+f'(2018) = \(1 - \frac{1}{{2019}} = \frac{{2018}}{{2019}}\).
Suy ra a = 2018; b = 2019. Do đó 2b – a = 2020.
Trả lời: 2020.
Cho hàm số y = f(x). Biết f'(2) = 0 và f(2) = −2. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số h(x) = xf(x) tại x = 2.
Ta có h'(x) = f(x) + x.f'(x).
Suy ra h'(2) = f(2) + 2.f'(2) = −2 + 2.0 = −2.
Trả lời: −2.
