Giải SBT Toán 11 Cánh diều Bài 2. Các quy tắc tính đạo hàm có đáp án

Cho f = f(x), g = g(x) có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. (fg)’ = fg’.

B. (fg)’ = f’g’.

C. (fg)’ = f’g – fg’.

D. (fg)’ = f’g + fg’.

Cho f = f(x), g = g(x) có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định và g = g(x) ≠ 0, g’ = g’(x) ≠ 0. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. fg'=f'g'.

B. fg'=f'g−fg'g2.

C. fg'=f'g2.

D. fg'=f'g+fg'g2.

Cho hàm số f(x) = cos3x. Khi đó f’(x) bằng:

A. sin3x.

B. –sin3x.

C. –3sin3x.

D. 3sin3x.

Cho hàm số f(x) = sin(x²). Khi đó f’(x) bằng:

A. 2xcos(x²).

B. cos(x²).

C. x²cos(x²).

D. 2xcos(2x).

Cho hàm số fx=12x+3. Khi đó f’(x) bằng:

A. −12x+32.

B. −22x+32.

C. 22x+32.

D. 12x+32.

Cho hàm số f(x) = e^2x. Khi đó f’(x) bằng:

A. e^2x.

B. 2e^x.

C. 2xe^2x.

D. 2e^2x.

Cho hàm số f(x) = ln(3x). Khi đó f’(x) bằng:

A. 13x.

B. 1x.

C. 3x.

D. −1x.

Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x₀ = 2:

a) fx=ex2+2x;                                      b) gx=3x2x;

c) h(x) = 2^x . 3^{x + 2};                                  d) k(x) = log­₃(x² – x).

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) fx=2cosx;                              b) g(x) = tan(x²);

c) h(x) = cos²(3x) – sin²(3x);d) kx=sin2x+ex⋅x.

Cho hàm số f(x) = 2^{3x – 6}. Giải phương trình f’(x) = 3ln2.

Giải bất phương trình f’(x) < 0, biết:

a) f(x) = x³ – 9x² + 24x;                          b) f(x) = –log₅(x + 1).

Cho hàm số f(x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc tập xác định, hàm số g(x) được xác định bởi g(x) = [f(x)]² + 2xf(x). Biết f’(0) = f(0) = 1. Tính g’(0).

Cho hàm số y = x² + 3x có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có:

a) Hoành độ bằng –1;                             b) Tung độ bằng 4.

Cho hàm số y=x−3x+2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị ( C) trong mỗi trường hợp sau:

a) d song song với đường thẳng y = 5x – 2;

b) d vuông góc với đường thẳng y = –20x + 1.

Một chất điểm chuyển động theo phương trình st=13t3−3t2+8t+2, trong đó t > 0, t tính theo giây, s(t) tính bằng mét. Tính vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = 5 (s).

Một mạch dao động điện từ LC có lượng điện tích dịch chuyển qua tiết diện thẳng của dây xác định bới hàm số Qt=10−5sin2  000t+π3, trong đó t > 0, t tính bằng giây, Q tính bằng Coulomb. Tính cường độ dòng điện tức thời I (A) trong mạch tại thời điểm t=π1   500s, biết I (t) = Q’(t).

Năm 2010, dân số ở một tỉnh D là 1 038 229 người. Tính đến năm 2015, dân số của tỉnh đó là 1 153 600 người. Cho biết dân số của tỉnh D được ước tính theo công thức S(N) = Ae^Nr (trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm được làm tròn đến hàng phần nghìn). Tốc độ gia tăng dân số (người/năm) vào thời điểm sau N năm kể từ năm 2010 được xác định bởi hàm số S’(N). Tính tốc độ gia tăng dân số của tỉnh D vào năm 2023 (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị người/năm), biết tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi.

Một tài xế đang lái xe ô tô, ngay khi phát hiện có vật cản phía trước đã phanh gấp lại nhưng vẫn xảy ra va chạm, chiếc ô tô để lại vết trượt dài 20,4 m (được tính từ lúc bắt đầu đạp phanh đến khi xảy ra va chạm). Trong quá trình đạp phanh, ô tô chuyển động theo phương trình st=20t−52t2, trong đó s(m) là độ dài quãng đường đi được sau khi phanh, t(s) thời gian tính từ lúc bắt đầu phanh(0 ≤ t ≤ 4).                                            

a) Tính vận tốc tức thời của ô tô ngay khi đạp phanh. Hãy cho biết xe ô tô trên có chạy quá tốc độ hay không, biết tốc độ giới hạn cho phép là 70 km/h.

b) Tính vận tốc tức thời của ô tô ngay khi xảy ra va chạm?

Trong kinh tế học, xét mô hình doanh thu y (đồng) được tính theo số sản phẩm sản xuất ra x (chiếc) theo công thức y = f(x).

Xét giá trị ban đầu x = x₀. Đặt Mf(x₀) = f(x₀ + 1) – f(x₀) và gọi giá trị đó là giá trị y–cận biên của x tại x = x₀. Giá trị Mf(x₀) phản ánh lượng doanh thu tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm tại mốc sản phẩm x₀.

Xem hàm doanh thu y = f(x) như là hàm biến số thực x.

Khi đó Mf(x₀) = f(x₀ + 1) – f(x₀)≈ f’(x₀). Như vậy, đạo hàm f’(x₀) cho chúng ta biết (xấp xỉ) lượng doanh thu tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm tại mốc sản phẩm x₀.

Tính doanh thu tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm tại mốc sản phẩm nếu hàm doanh thu là y=10x−x2100tại mốc sản phẩm x₀ = 10 000.