Bằng cách sử dụng kết quả $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1,$ tính đạo hàm của hàm số y = sinx tại điểm x bất kì bằng định nghĩa.

Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = cosx tại điểm x bất kì.

Một vật dao động theo phương trình f(x) = cosx, trong đó x là thời gian tính theo giây. Tính vận tốc tức thời của vật tại thời điểm x₀ = 2 (s).

Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = tanx tại điểm x bất kì, $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ (k ∈ ℤ).

Tính đạo hàm của hàm số f(x) = tanx tại điểm $x_0=-\frac{\pi }{6}$.

Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = cotx tại điểm x bất kì, x ≠ kπ (k ∈ ℤ).

Tính đạo hàm của hàm số f(x) = cotx tại điểm $x_0=-\frac{\pi }{3}.$

Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 10^x tại điểm x₀ = –1.

Bằng cách sử dụng kết quả $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+x\right)}{x}=1,$ tính đạo hàm của hàm số y = lnx tại điểm x dương bất kì bằng định nghĩa.

Tính đạo hàm của hàm số f(x) = logx tại điểm $x_0=\frac{1}{2}.$

Cho hai hàm số f(x), g(x) xác định trên khoảng (a; b) cùng có đạo hàm tại điểm x₀ ∈ (a; b).

a) Xét hàm số h(x) = f(x) + g(x), x ∈ (a; b). So sánh:

$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{h\left(x_0+\Delta x\right)-h\left(x_0\right)}{\Delta x}$ và $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}+\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{g\left(x_0+\Delta x\right)-g\left(x_0\right)}{\Delta x}.$

b) Nêu nhận xét về h'(x₀) và f'(x₀) + g’(x₀).

Tính đạo hàm của hàm số $f\left(x\right)=x\sqrt{x}$ tại điểm x dương bất kì.

Tính đạo hàm của hàm số f(x) = tanx + cotx tại điểm $x_0=\frac{\pi }{3}.$

Cho hàm số y = f(u) = sinu; u = g(x) = x².

a) Bằng cách thay đổi u bởi x² trong biểu thức sinu, hãy biểu thị giá trị của u theo biến số x.

b) Xác định hàm số y = f(g(x)).

Hàm số y = log₂(3x + 1) là hàm hợp của hai hàm số nào?

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) y = e^{3x + 1};

b) y = log₃(2x – 3).

Cho u = u(x), v = v(x), w = w(x) là các hàm số tại điểm x thuộc khoảng xác định. Phát biểu nào sau đây là đúng?

a) (u + v + w)' = u' + v' + w';

b) (u + v – w)' = u' + v' – w';

c) (uv)' = u'v';

d) ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}}{v^{\text{'}}}$ với v = v(x) ≠ 0, v' = v'(x) ≠ 0.

Cho u = u(x), v = v(x), w = w(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.

Chứng minh rằng (u . v . w)' = u' . v . w + u . v' . w + u . v . w'.

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) y = 4x³ – 3x² + 2x + 10;               

c) $y=-2x\sqrt{x};$                                       

e) y = 4^x + 2e^x ;                                     

Cho hàm số f(x) = 2^{3x + 2}.

a) Hàm số f(x) là hàm hợp của các hàm số nào?

b) Tìm đạo hàm của f(x).

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) y = sin3x + sin²x;

b) y = log₂(2x + 1) + 3^{−2x + 1}.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) y = x³ – 3x² + 4 tại điểm có hoành độ x₀ = 2;

b) y = lnx tại điểm có hoành độ x₀ = e;

c) y = e^x tại điểm có hoành độ x₀ = 0.

Một viên đạn được bắn từ mặt đất theo phương thẳng đứng với tốc độ ban đầu v₀ = 196 m/s (bỏ qua sức cản của không khí). Tìm thời điểm mà tốc độ của viên đạn bằng 0. Khi đó viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét (lấy g = 9,8 m/s²)?

Cho mạch điện như Hình 5. Lúc đầu tụ điện có điện tích Q₀. Khi đóng khóa K, tụ điện phóng điện qua cuộn dây; điện tích q của tụ điện phụ thuộc vào thời gian t theo công thức q(t) = Q₀sinωt, trong đó ω là tốc độ góc. Biết rằng cường độ I(t) của dòng điện tại thời điểm t được tính theo công thức I(t) = q'(t). Cho biết Q₀ = 10^–8 (C) và ω = 10⁶π (rad/s). Tính cường độ dòng điện tại thời điểm t = 6 (s) (tính chính xác đến 10^–5 mA).