Giải SGK Toán 11 CD Bài 2. Các quy tắc tính đạo hàm có đáp án

Để trả lời được các câu hỏi trên, chúng ta cùng tìm hiểu bài học này.

a) ⦁ Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀.

Ta có ∆y = f(x₀ + ∆x) – f(x₀) = (x₀ + ∆x)² – (x₀)²

              =x02+2x0Δx+Δx2−x02

              =2x0Δx+Δx2=Δx2x0+Δx.

Suy ra ΔyΔx=Δx2x0+ΔxΔx=2x0+Δx.

⦁ Ta thấy limΔx→0ΔyΔx=limΔx→02x0+Δx=2x0+0=2x0.

Vậy đạo hàm của hàm số y = x² tại điểm x₀ bất kì là y’(x₀) = 2x₀.

b) Dự đoán: y’ = nx^{n – 1}.

a) Ta có: y' = (x²²)' = 22x²¹.

b) Đạo hàm của hàm số tại điểm x₀ = –1 là y'(–1) = 22 . (–1)²¹ = 22 . (–1) = –22.

Ta có: f'x=12x với x > 0.

Vậy đạo hàm của hàm số trên tại điểm x₀ = 9 là f'9=129=12⋅3=16.

Ta có f’(x) = cosx.

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm x0=π2 là: f'π2=cosπ2=0.

Ta có: f’(x) = –sinx.

Vậy vận tốc tức thời của vật tại thời điểm x₀ = 2 là: f’(2) = –sin2.

Ta có f'x=1cos2xx≠π2+kπ,  k∈ℤ.

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm x0=−π6 là: f'−π6=1cos2−π6=1322=43.

Ta có: f'x=−1sin2x (x ≠ kπ, k ∈ ℤ)

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm x0=−π3 là f'−π3=−1sin2−π3=−1−322=−43.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x bất kì.

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = e^{x + ∆x} – e^x.

Suy ra limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0ex+Δx–exΔx=limΔx→0exeΔx−1Δx=exlimΔx→0eΔx−1Δx=ex⋅1=ex.

Vậy đạo hàm của hàm số y = e^x tại điểm x bất kì là y' = e^x.

Ta có f’(x) = 10^xln10

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm x₀ =–1 là f’–1=10−1ln10=ln1010.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x bất kì.

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = ln(x + ∆x) – lnx.

Suy ra limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0lnx+Δx−lnxΔx

=limΔx→0lnx+ΔxxΔx=limΔx→0ln1+ΔxxΔx

=limΔx→01x⋅ln1+ΔxxΔxx=1xlimΔxx→0ln1+ΔxxΔxx=1x.

Vậy đạo hàm của hàm số y = lnx tại điểm x dương bất kì là y'=1x. 

Ta có: f'x=1xln10 (x > 0).

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm x0=12  là f'12=112⋅ln10=2ln10.

Ta có f'x=xx'=x'⋅x+x⋅x'

=1⋅x+x⋅12x=x+x2=3x2 (x > 0).

Xét f(x) = tanx + cotx, ta có: f'x=1cos2x−1sin2xvới x≠π2+kπ và x ≠ kπ (k ∈ ℤ).

Vậy đạo hàm của hàm số trên là f'π3=1cos2π3−1sin2π3=1122−1322=4−43=83.

a) Ta có y = f(u) = sinu = sin(x²).  

b) Ta có y = f(g(x)) = f(x²) = sin(x²).

Đặt u = 3x + 1, ta có y = log₂u

Vậy y = log₂(3x + 1) là hàm hợp của hai hàm sốy = log₂u và u = 3x + 1.

a) Đặt u = 3x + 1, ta có y = e^u.

Khi đó y'u=eu'=eu và u'x=3.

Theo công thức tính đạo hàm của hàm hợp, ta có: y'x=y'u⋅u'x=eu⋅3=3eu=3e3x+1.

b) Đặt u = 2x – 3, ta có y = log₃u.

Khi đó y'u=log3u'=1uln3 và u'x=2.

Theo công thức tính đạo hàm của hàm hợp, ta có: y'x=y'u⋅u'x=1uln3⋅2=3=2uln3=22x−3ln3.

Phát biểu đúng là: a), b).

Phát biểu c) sai vì (uv)' = u'v + uv'.

Phát biểu (d) sai vì uv'=u'v−uv'v2.

Đặt g = u . v và h = g . w.

Khi đó h' = g' . w + g . w'

               = (uv)' . w + (uv) . w'

               = (u'v + uv') . w + (uv) . w'

               = u' . v . w + u . v' . w + u . v . w'.

a) y' = (4x³)' – (3x²)' + (2x)' + (10)'

        = 4.3.x² – 3.2.x + 2.1

          = 12x² – 6x + 2

b) y'=x+1x−1'=x+1'x−1−x+1x−1'x−12

=1⋅x−1−x+1⋅1x−12=x−1−x−1x−12=−2x−12.

c) y'= −2xx'=−2x'⋅x +−2x⋅x'

=−2⋅x−2x⋅12x=−2x−x=−3x.

d) y’ = (3sinx)' + (4cosx)' – (tanx)'

=3cosx–4sinx−1cos2x.

e) y' = (4^x)' + (2e^x)'

        = 4^xln4 + 2e^x.

g) y' = (xlnx)' = (x)'.lnx + x.(lnx)

=1⋅lnx+x⋅1x=lnx+1.

a) Đặt y = f(x) = 2^{3x + 2} và u = 3x + 2, ta có y = 2^{3x + 2} = 2^u.

Vậy y = f(x) = 2^{3x + 2} là hàm hợp của 2 hàm số y = 2^u, u = 3x + 2.

b) Từ y = 2^u và u = 3x + 2, ta có y'u=2u'=2uln2 và u'x=3.

Theo công thức tính đạo hàm của hàm hợp, ta có: y'x=y'u⋅u'x=2uln2⋅3=3ln2⋅2u=3ln2⋅23x+2.

a)y' = (sin3x)' + (sin²x)'

        = (3x)'.cos3x + 2(sinx)'.sinx

        = 3.cos3x + 2cosx.sinx

        = 3cos3x + sin2x.

b) y' = (log₂(2x + 1))' + (3^{−2x + 1})'

=2x+1'2x+1ln2+132x−1'=22x+1ln2−32x−1'32x−12

=22x+1ln2−2x−1'⋅32x−1⋅ln332x−12

=22x+1ln2−2⋅ln332x−1=22x+1ln2−2ln3⋅3−2x+1.

a) Từ y = x³ – 3x² + 4, ta có: y' = (x³)' – (3x²)' + (4)' = 3x² – 6x.

Do đó y'(2) = 3.2² – 6.2 = 12 – 12 = 0.

          y(2) = 2³ – 3.2² + 4 = 8 – 12 + 4 = 0.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x₀ = 2 là: y = 0(x – 2) + 0 = 0.

b) Từ y = lnx, ta có: y'=lnx'=1x

Do đó y'e=1e và y(e) = lne = 1.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x₀ = e là: y=1e⋅x–e+1 hay y=1ex.

c) Từ y = e^x, ta có: y' = (e^x)' = e^x.

Do đó y'(0) = e⁰ = 1 và y(0) = e⁰ = 1.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x₀ = 0 là: y = 1(x – 0) +1 hay y = x + 1.

Chọn gốc O là vị trí viên đạn được bắn lên.

Phương trình chuyển động của viên đạn là:

yt=v0t−12gt2   g=9,8 m/s2.

Vận tốc tại thời điểm t là: v = y'(t) = v₀ – gt (m/s).

Do đó để v = 0 thì v₀ – gt = 0

Suy ra t=v0g=1969,8 = 20 s.

Khi đó, viên đạn cách mặt đất một khoảng là: y20=196⋅20−12⋅9,8⋅202=1960   m.

I(t) = q'(t) = (Q₀sinωt)' = Q₀ω.cosωt

Cường độ của dòng điện tại thời điểm t = 6 (s) là:

I(6) = 10^–8 ∙10⁶π.cos(10⁶π.6) = 10^–2π.cos0 = 0,01π (A).