25 bài tập Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng (có lời giải)

a) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(1;2;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (1;1;2)\).

Đường thẳng \({d^\prime }\) có vectơ chỉ phương \({\vec a^\prime } = (2;2;4) = 2\vec a\).

Thay toạ độ điểm \(M\) vào phương trình của \({d^\prime }\), ta được:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 = 2 + 2{t^\prime }}\\{2 = 5 + 2{t^\prime }}\\{1 = 1 + 4{t^\prime }}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{t^\prime } =  - \frac{1}{2}}\\{{t^\prime } =  - \frac{3}{2}}\\{{t^\prime } = 0}\end{array}} \right.} \right.{\rm{ (vô nghiệm)}}{\rm{. }}\)Suy ra \(M\) không thuộc \({d^\prime }\). Vậy \(d//{d^\prime }\).

b ) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(1;2;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (1;1;2)\).

Đường thẳng \({d^\prime }\) có vectơ chỉ phương \({\vec a^\prime } = (3;3;6) = 3\vec a\).

Thay toạ độ điểm \(M\) vào phương trình của \({d^\prime }\), ta được: \(\frac{{1 - 2}}{3} = \frac{{2 - 3}}{3} = \frac{{1 - 3}}{6}{\rm{. }}\)

Phương trình nghiệm đúng, suy ra \(M\) thuộc \({d^\prime }\). Vậy \(d \equiv {d^\prime }\).

a) Đường thẳng d đi qua \({\rm{M}}(7;3;2)\) và có vectơ chí phương \(\vec a = (4; - 2; - 2)\)

Đường thắng d' đi qua \({\rm{N}}(3;5;4)\) và có vectơ chí phương \(\overrightarrow {{a^\prime }}  = (2; - 1; - 1) = \frac{1}{2}\vec a\)

Thay tọa độ điếm M vào phương trình đường thắng d' ta được

\(\frac{{7 - 3}}{2} = \frac{{3 - 5}}{{ - 1}} = \frac{{2 - 4}}{{ - 1}}\) (luôn đúng). Suy ra điếm \({\rm{M}} \in {{\rm{d}}^\prime }\).

Vậy \({\rm{d}} \equiv d\) '.

b) Đường thắng d đi qua \({\rm{M}}(0;0;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (3;3;4)\)

Đường thẳng d' đi qua \({\rm{N}}(2;9;5)\) và có vectơ chí phương \(\overrightarrow {{a^\prime }}  = (3;3;4) = \vec a\)

Thay tọa độ điếm M vào phương trình đường thắng \({{\rm{d}}^\prime }\) ta có:

\(\frac{{0 - 2}}{3} = \frac{{0 - 9}}{3} = \frac{{1 - 5}}{4}\) (vô lí). Suy ra \(M \notin {d^\prime }\).

Vậy d // d'.

a) \(d\) và \({d^\prime }\) có vectơ chi phương lần lượt là \(\vec a = (1;1;1)\) và \({\vec a^\prime } = (2;5;1)\).

Ta có \(\frac{1}{2} \ne \frac{1}{5}\), suy ra \(\vec a\) và \({\vec a^\prime }\) không cùng phương. Vậy \(d\) và \({d^\prime }\) hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.

Xét hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1 + 2{t^\prime }}\\{1 + t = 2 + 5{t^\prime }}\\{2 + t = 3 + {t^\prime }}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t - 2{t^\prime } = 1}\\{t - 5{t^\prime } = 1}\\{t - {t^\prime } = 1.}\end{array}} \right.} \right.\)

Từ (1) và (2) suy ra \(t = 1;{t^\prime } = 0\). Thay vào (3) ta thấy phương trình thoà mãn.

Vậy \(d\) cắt \({d^\prime }\) tại điềm \(M(1;2;3)\).

b) \(d\) và \({d^\prime }\) có vectơ chi phương lần lượt là \(\vec a = (1;1;1)\) và \({\vec a^\prime } = (2;5;6)\).

Ta co \(\frac{1}{2} \ne \frac{1}{5}\), suy ra \(\vec a\) và \({\vec a^\prime }\) không cùng phương. Vậy \(d\) và \({d^\prime }\) hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau. \({d^\prime }\) có phương trình tham số là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2{t^\prime }}\\{y = 2 + 5{t^\prime }}\\{z = 9 + 6{t^\prime }}\end{array}} \right.\)

Xét hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + t = 1 + 2{t^\prime }}\\{2 + t = 2 + 5{t^\prime }}\\{3 + t = 9 + 6{t^\prime }}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t - 2{t^\prime } = 0}\\{t - 5{t^\prime } = 0}\\{t - 6{t^\prime } = 6.}\end{array}} \right.} \right.\)

Từ (1) và (2) suy ra \(t = 0;{t^\prime } = 0\). Thay vào (3) ta thấy phương trình không thoȧ mãn \((0 \ne 6)\). Vậy \(d\) và \({d^\prime }\) chéo nhau.

a) Đường thắng d và d' lằn lượt có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{a_1}}  = (2; - 1; - 3),\overrightarrow {{a_2}}  = (4;7;11)\).

Ta có \(\frac{2}{4} \ne \frac{{ - 1}}{7}\) nên \(\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} \) không cùng phương nên d và d' chéo nhau hoặc cắt nhau.

Xét phương trình d' ở dạng tham số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 4{t^\prime }}\\{y = 7{t^\prime }}\\{z =  - 1 + 11{t^\prime }}\end{array}} \right.\)

Xét hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 + 4{t^\prime } = 2t}\\{7{t^\prime } = 1 - t}\\{ - 1 + 11{t^\prime } = 2 - 3t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4{t^\prime } - 2t =  - 2}\\{7{t^\prime } + t = 1}\\{11{t^\prime } + 3t = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{t^\prime } = 0}\\{t = 1}\\{11.0 + 3.1 = 3}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Suy ra hệ có nghiệm duy nhắt.

Do đó d và d' cắt nhau.

b) Đường thắng d và d' lần lượt có vectơ chí phương là \(\overrightarrow {{a_1}}  = (1;2;2),\overrightarrow {{a_2}}  = (3;2;9)\).

Ta có \(\frac{1}{3} \ne \frac{2}{2}\) do đó \(\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} \) không cùng phương nên d và d' chéo nhau hoặc cắt nhau.

Ta có phương trình đường thắng d và d' viết dưới dạng tham số lần lượ là:

Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4 + t = 2 + 3{t^\prime }}\\{1 + 2t = 1 + 2{t^\prime }}\\{1 + 2t = 1 + 9{t^\prime }}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t - 3{t^\prime } =  - 2}\\{2t - 2{t^\prime } = 0}\\{2t - 9{t^\prime } = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{{t^\prime } = 1}\\{2.1 - 9.1 = 0}\end{array}} \right.} \right.} \right.\) (vô nghiệm).

Suy ra hệ vô nghiệm. Do đó d và d' chéo nhau.

a) Đường thằng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\vec a = (1;2; - 1),\overrightarrow {{a^\prime }}  = (1;4;9)\)

b) \(\vec a \cdot \overrightarrow {{a^\prime }}  = 1.1 + 2 \cdot 4 + ( - 1) \cdot 9 = 0\). Do đó \({\rm{d}} \bot {{\rm{d}}^\prime }\).

a) \(d\) và \({d^\prime }\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec a = (3;5;1)\) và \({\vec a^\prime } = (1;1; - 8)\).

Ta có \(\vec a \cdot {\vec a^\prime } = 3 + 5 - 8 = 0\). Vậy \(d\) và \({d^\prime }\) vuông góc với nhau.

b) \(d\) và \({d^\prime }\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec a = (3;5;1)\) và \({\vec a^\prime } = (2;1;1)\).

Ta có \(\vec a \cdot {\vec a^\prime } = 6 + 5 + 1 \ne 0\). Vậy \(d\) và \({d^\prime }\) không vuông góc với nhau.

a) Đường thắng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\vec a = (1; - 3;1),\overrightarrow {{a^\prime }}  = (1;1;2)\).

Ta có \(\vec a \cdot \overrightarrow {{a^\prime }}  = 1.1 + ( - 3) \cdot 1 + 1.2 = 0\).

Do đó d và d' vuông góc với nhau.

b) Đường thẳng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\vec a = (7;3;1),\overrightarrow {{a^\prime }}  = (2;2;2)\).

Ta có \(\vec a \cdot \overrightarrow {{a^\prime }}  = 7.2 + 3.2 + 1.2 = 22 \ne 0\).

Do đó d và d' không vuông góc với nhau.

a) Đường thắng d đi qua \({\rm{M}}(1; - 1; - 2)\) và có vectơ chí phương \(\vec a = (1;2;1)\) Đường thắng d' đi qua \({\rm{N}}(2;3;0)\) và có vectơ chí phương \(\overrightarrow {{a^\prime }}  = (2;4;2) = 2\vec a\) Thay tọa độ điếm M vào phương trình đường thắng d' ta được:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 = 2 + 2{t^\prime }}\\{ - 1 = 3 + 4{t^\prime }}\\{ - 2 = 2{t^\prime }}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{t^\prime } = \frac{{ - 1}}{2}}\\{{t^\prime } =  - 1{\rm{ (vô lí )}}{\rm{. }}}\\{{t^\prime } =  - 1}\end{array}} \right.} \right.\)Suy ra d// d'.

b) Đường thắng d đi qua \({\rm{M}}(1;2;3)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (1;2;2)\)

Đường thẳng d' đi qua \({\rm{N}}(2;1;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a^\prime }}  = (1;5;1)\)

\({\rm{Có  }}\overrightarrow {MN}  = (1; - 1; - 2).\left[ {\vec a,\overrightarrow {{a^\prime }} } \right] = ( - 8;1;3){\rm{.  Có  }}\overrightarrow {MN}  \cdot \left[ {\vec a,\overrightarrow {{a^\prime }} } \right] = 1 \cdot ( - 8) + ( - 1) \cdot 1 + ( - 2) \cdot 3 =  - 15 \ne 0.{\rm{ }}\)

Do đó d và d' chéo nhau.

Đường thắng d' có vectơ chí phương là \(\vec a = (3;2;4)\)

Vi d // d' nên đường thắng d nhận \(\vec a = (3;2;4)\) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng d đi qua điếm \({\rm{A}}(1;0;1)\) và nhận \(\vec a = (3;2;4)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 3t}\\{y = 2t}\\{z = 1 + 4t}\end{array}} \right.\)

a) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({{\rm{M}}_1}(1;2;3)\) và có \(\overrightarrow {{u_1}}  = (2;1; - 1)\) là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({{\rm{M}}_2}( - 11; - 6;10)\) và có \(\overrightarrow {{u_2}}  = ( - 6; - 3;3)\) là vectơ chỉ phương.

Ta có \( - 3\overrightarrow {{u_1}}  = \overrightarrow {{u_2}} \), suy ra \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương;

\(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = ( - 12; - 8;7)\) và \(\frac{{ - 12}}{2} \ne \frac{{ - 8}}{1}\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) không cùng phương.

Vậy \({\Delta _1}//{\Delta _2}\).

b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({{\rm{M}}_1}(1;2;3)\) và có \(\overrightarrow {{u_1}}  = (3;4;5)\) là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({{\rm{M}}_2}( - 3; - 6;15)\) và có \(\overrightarrow {{u_2}}  = (1;2; - 3)\) là vectơ chỉ phương.

Ta có: \(\frac{3}{1} \ne \frac{4}{2}\), suy ra \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương;

\(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = ( - 4; - 8;12),\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&5\\2&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&3\\{ - 3}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{l}}3&4\\1&2\end{array}} \right|} \right) = ( - 22;14;2){\rm{. }}\)

Do \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \cdot \overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = ( - 22) \cdot ( - 4) + 14 \cdot ( - 8) + 2 \cdot 12 = 0\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) đồng phẳg.

Vậy \({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\).

c) Đường thắng \({\Delta _1}\) đi qua điếm \({{\rm{M}}_1}( - 1;1;0)\) và có \(\overrightarrow {{u_1}}  = (4;3;1)\) là vectơ chỉ phương.

Đường thắng \({\Delta _2}\) đi qua điếm \({{\rm{M}}_2}(1;3;1)\) và có \(\overrightarrow {{u_2}}  = (1;2;2)\) là vectơ chỉ phương.

Ta có: \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = (2;2;1),\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{l}}3&1\\2&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{l}}1&4\\2&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{l}}4&3\\1&2\end{array}} \right|} \right) = (4; - 7;5)\). Vậy \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau.

Các đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = (2; - 3; - 1),\overrightarrow {{u_2}}  = (1; - 2;8)\).

Do \(\overrightarrow {{u_1}}  \cdot \overrightarrow {{u_2}}  = 2 \cdot 1 + ( - 3) \cdot ( - 2) + ( - 1) \cdot 8 = 0\) nên \({\Delta _1} \bot {\Delta _2}\).

Ta có \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = (2;1; - 1)\) và trục Oz có vectơ chỉ phương là \(\vec k = (0;0;1)\) Có \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  \cdot \vec k =  - 1 \ne 0\). Do đó đường thẳng \(\Delta \) không vuông góc với trục Oz .

Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({A_1}(1;2; - 1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = (1; - 1,2)\).

Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({{\rm{A}}_2}(4; - 1;0)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = (3;1; - 1)\). Vì \(\overrightarrow {{u_1}}  \cdot \overrightarrow {{u_2}}  = 1 \cdot 3 + ( - 1) \cdot 1 + 2 \cdot ( - 1) = 0\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} \) vuông góc với \(\overrightarrow {{u_2}} \). Do đó \({\Delta _1}\) vuông góc với \({\Delta _2}\).

Ta có \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}}  = (3; - 3;1)\) và \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 1;7;4)\).

Do \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}}  \cdot \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 3 \cdot ( - 1) + ( - 3) \cdot 7 + 1 \cdot 4 =  - 20 \ne 0\) nên \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau.

Ta có đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điếm \({\rm{A}}(3;0;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}}  = (1; - 2;3)\) Đường thắng \({\Delta _2}\) đi qua điếm \({\rm{B}}(1;2;0)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}}  = (1; - 2;3)\) vi \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}}  = \overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}}  = (1; - 2;3)\) và \({\rm{A}} \in {\Delta _2}\) nên \({\Delta _1}//{\Delta _2}\).

Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua \({A_1}(1;2; - 1)\) và có vectơ chỉ phương \({\vec u_1} = ( - 1;1;2)\). Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua \({A_2}( - 6;5;5)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = (1;1;2)\). Ta có \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}}  = ( - 7;3;6)\) và \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = (0;4; - 2)\). Do \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}}  \cdot \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 7) \cdot 0 + 3 \cdot 4 + 6 \cdot ( - 2) = 0\) và \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \vec 0\) nên hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.

a) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({M_1}(1;2;3)\) và có \({\vec u_1} = (5; - 1;2)\) là vectơ chỉ phương. Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({M_2}(2;4;1)\) và có \({\vec u_2} = (10; - 2;4)\) là vectơ chỉ phương. Ta có: \(2{\vec u_1} = (10; - 2;4) = {\vec u_2}\), suy ra \({\vec u_1},{\vec u_2}\) cùng phương;

\(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = (1;2; - 2)\) và \(\frac{1}{5} \ne \frac{2}{{ - 1}}\) nên \({\vec u_1},\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) không cùng phương. Vậy \({\Delta _1}//{\Delta _2}\).

b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({M_1}(2;3; - 4)\) và có \({\vec u_1} = (3;2;1)\) là vectơ chỉ phương. Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({M_2}( - 2;1;2)\) và có \({\vec u_2} = (2;1; - 3)\) là vectơ chỉ phương. Ta có: \(\frac{2}{3} \ne \frac{1}{2}\), suy ra \({\vec u_1},{\vec u_2}\) không cùng phương; \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = ( - 4; - 2;6),\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\1&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\{ - 3}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{l}}3&2\\2&1\end{array}} \right|} \right) = ( - 7;11; - 1){\rm{. }}\)

Do \(\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] \cdot \overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = ( - 7) \cdot ( - 4) + 11 \cdot ( - 2) + ( - 1) \cdot 6 = 0\) nên \({\vec u_1},{\vec u_2},\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) đồng phẳng.

Vậy \({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\).

c) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({M_1}( - 3;1;2)\) và có \({\vec u_1} = (1; - 1;2)\) là vectơ chỉ phương. Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({M_2}(6;8; - 1)\) và có \({\vec u_2} = (3;2; - 1)\) là vectơ chi phương. Ta có:

\(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = (9;7; - 3),\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\\2&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\{ - 1}&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 1}\\3&2\end{array}} \right|} \right) = ( - 3;7;5).\)

Do \(\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] \cdot \overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = ( - 3) \cdot 9 + 7 \cdot 7 + 5 \cdot ( - 3) = 7 \ne 0\) nên \({\vec u_1},{\vec u_2},\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) không đồng phẳng.

Vậy \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau.

Xét hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{t_1} = 2}\\{1 = {t_2}}\\{0 = 0}\end{array}} \right.\)

Ta thấy hệ phương trình này có đúng một nghiệm là \({{\rm{t}}_1} = 2,{{\rm{t}}_2} = 1\).

Vậy hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.

Đường thả̉ng \({\Delta _1}\) đi qua điếm \({\rm{A}}(1; - 2;3)\) và có vectơ chí phương \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}}  = (1;1;4)\) Đường thắng \({\Delta _2}\) đi qua điếm \({\rm{B}}( - 1; - 1;0)\) và có vectơ chí phương \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}}  = (1;1;4)\)

a) vi \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}}  = \overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}}  = (1;1;4)\) và \(A \notin {\Delta _2}\) nên hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau.

b) Trục OX đi qua điếm \({\rm{O}}(0;0;0)\) và có vectơ chỉ phương là \(\vec i = (1;0;0)\)

Có \(\overrightarrow {OA}  = (1; - 2;3)\) và \(\left[ {\vec i,\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} } \right] = (0; - 4;1)\).

Có \(\overrightarrow {OA}  \cdot \left[ {\vec i,\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} } \right] = 8 + 3 = 11 \ne 0\). Do đó đường thẳng \({\Delta _1}\) và trục Ox chéo nhau.

c) Đường thắng \({\Delta _3}\) đi qua điểm \({\rm{C}}( - 2; - 2; - 4)\) và có vectơ chỉ phương .

vi \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}}  = \overrightarrow {{u_{{\Delta _3}}}}  = (1;1;4)\) và \({\rm{B}} \in {\Delta _3}\) nên đường thắng \({\Delta _2}\) trùng với đường thắng \({\Delta _3}\).

d) Trục Oz đi qua điếm \({\rm{O}}(0;0;0)\) và có vectơ chỉ phương là \(\vec k = (0;0;1)\).

Có \(\overrightarrow {OB}  = ( - 1; - 1;0),\left[ {\vec k,\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} } \right] = ( - 1;1;0) \ne \vec 0\)

Có \(\overrightarrow {OB}  \cdot \left[ {\vec k,\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} } \right] = 1 - 1 = 0\). Do đó đường thắng \({\Delta _2}\) cắt trục Oz .

Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điếm \({\rm{A}}(1;3;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}}  = (2;1; - 1)\).

Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điếm \({\rm{B}}(0;1;0)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}}  = (1;2;3)\).

\({\rm{ Có  }}\left[ {\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} ,\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} } \right] = (5; - 7;3),\overrightarrow {AB}  = ( - 1; - 2; - 1).{\rm{ Có }}\overrightarrow {AB}  \cdot \left[ {\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} ,\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} } \right] =  - 5 + 14 - 3 = 6 \ne 0\)

Vậy \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau.

a) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điếm \({\rm{A}}(1;3;2)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = (2; - 1;3)\)

Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điếm \({\rm{B}}(8; - 2;2)\) và có vectơ chí phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = ( - 1;1;2)\)

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = (7; - 5;0)\) và \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 5; - 7;1) \ne \vec 0\) (1).

Có \(\overrightarrow {AB}  \cdot \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] =  - 35 + 35 = 0(2)\).

Từ (1) và (2) suy ra \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.

b) Mặt phẳng \(({\rm{P}})\) chứa \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) nên có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 5; - 7;1)\).

Mặt phắng (P) đi qua điếm \({\rm{A}}(1;3;2)\), có vectơ pháp tuyĕ́n \(\vec n = ( - 5; - 7;1)\) có phương trình là: \( - 5(x - 1) - 7(y - 3) + (z - 2) = 0 \Leftrightarrow 5x + 7y - z - 24 = 0\).

a) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua \({\rm{A}}(1;3;2)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = (3;1;2)\)

Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua \({\rm{B}}(1; - 1;0)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = (3;1;2)\)

vi \(\overrightarrow {{u_1}}  = \overrightarrow {{u_2}}  = (3;1;2)\) và \({\rm{A}} \notin {\Delta _2}\) do đó \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau.

b) Có \(\overrightarrow {AB}  = (0; - 4; - 2)\)

Mặt phắng (P) chứa \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right] = ( - 6; - 6;12)\)

Mặt phắng \(({\rm{P}})\) đi qua \({\rm{A}}(1;3;2)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = ( - 6; - 6;12)\) có phương trình là: \( - 6({\rm{X}} - \) 1) \( - 6(y - 3) + 12(z - 2) = 0 \Leftrightarrow 6x + 6y - 12z = 0\) hay \(x + y - 2z = 0\).

Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua \({\rm{A}}( - 1;1;3)\) và có vectơ chí phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = (1;0;2)\)

Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua \({\rm{B}}( - 1;2;1)\) và có vectơ chí phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = (2;1;3)\)

Có \(\overrightarrow {AB}  = (0;1; - 2),\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 2;1;1) \ne \vec 0\)

Có \(\overrightarrow {AB}  \cdot \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 1 - 2 =  - 1 \ne 0\)

Do đó \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau.

a) Ta có các vectơ chỉ phương của \(d\) và \({d^\prime }\) lân lượt là \(\vec a = (1;2; - 1)\) và \(\overrightarrow {{a^\prime }}  = (2;4; - 2)\). \({\rm{Vi}}\overrightarrow {{a^\prime }}  = 2\vec a\) nên \(\vec a\) và \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) cùng phương. Từ đó suy ra \(d\) và \({d^\prime }\) song song với nhau hoặc trùng nhau.

Xét điểm \(M(1;0;3) \in d\), ta có \(M \notin {d^\prime }\) nên \(d//{d^\prime }\).

b) Ta có \(d\) và \({d^\prime }\) lản lượt nhận \(\vec a = (2;3;1)\) và \(\overrightarrow {{a^\prime }}  = (3;2;2)\) là các vectơ chỉ phương. Vi \(\vec a\) và \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) không cùng phương nên \(d\) và \({d^\prime }\) cắt nhau hoặc chéo nhau. \({d^\prime }\) đi qua \(M(1; - 2; - 1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a^\prime }}  = (3;2;2)\) nên có phương trình tham số là:

\({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 3{t^\prime }}\\{y =  - 2 + 2{t^\prime }\left( {{t^\prime } \in \mathbb{R}} \right).}\\{z =  - 1 + 2{t^\prime }}\end{array}} \right.\)\({t^\prime } =  - \frac{2}{5}\), thay vào (3), ta thấy \(t\) và \({t^\prime }\) không thoả mãn (3).

Ta suy ra hệ phương trình trên vô nghiệm. Vậy hai đường thẳng \(d\) và \({d^\prime }\) chéo nhau.

c) Ta có: \(d\) đi qua \(M(0;1;0)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (1; - 1;2)\); \({d^\prime }\) đi qua \({M^\prime }(1;2; - 2)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a^\prime }}  = (5;1; - 2)\).

Nên phương trình tham số của \(d\) và \({d^\prime }\) lẩn lượt là:

Xét hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1 + 5{t^\prime }}\\{1 - t = 2 + {t^\prime }}\\{2t =  - 2 - 2{t^\prime }}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t - 5{t^\prime } = 1}\\{ - t - {t^\prime } = 1}\\{2t + 2{t^\prime } =  - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t =  - \frac{2}{3}}\\{{t^\prime } =  - \frac{1}{3}}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Hệ phương trình trên có đúng một nghiệm, nên \(d\) và \({d^\prime }\) cắt nhau.

\(d\) và \({d^\prime }\) lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\vec a = ( - 1;2;4)\) và \(\overrightarrow {{a^\prime }}  = (2;3; - 1)\).

Ta có \(\vec a \cdot \overrightarrow {{a^\prime }}  =  - 2 + 6 - 4 = 0\). Suy ra \(\vec a \bot \overrightarrow {{a^\prime }} \). Vậy \(d \bot {d^\prime }\).

a) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({M_1}( - 7;1; - 2)\) và có \({\vec u_1} = (5; - 7; - 2)\) là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({M_2}( - 5; - 10;3)\) và có \({\vec u_2} = ( - 3; - 4;7)\) là vectơ chi phương.

Ta có: \(\frac{5}{{ - 3}} \ne \frac{{ - 7}}{{ - 4}}\), suy ra \({\vec u_1},{\vec u_2}\) không cùng phương;

\(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = (2; - 11;5),{\rm{ }}\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 7}&{ - 2}\\{ - 4}&7\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&5\\7&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 7}\\{ - 3}&{ - 4}\end{array}} \right|} \right) = ( - 57; - 29; - 41).\)

Do \(\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] \cdot \overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = ( - 57) \cdot 2 + ( - 29) \cdot ( - 11) + ( - 41) \cdot 5 = 0\) nên \({\vec u_1}\), \({\vec u_2}\), \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) đồng phẳng.

Vậy \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.

b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({M_1}( - 2;1;0)\) và có \({\vec u_1} = (5; - 1;3)\) là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({M_2}( - 2;1;1)\) và có \({\vec u_2} = (4;5; - 6)\) là vectơ chỉ phương.

Ta có: \(\frac{5}{4} \ne \frac{{ - 1}}{5}\), suy ra \({\vec u_1},{\vec u_2}\) không cùng phương;

\(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = (0;0;1),{\rm{ }}\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&3\\5&{ - 6}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&5\\{ - 6}&4\end{array}} \right|;{\rm{ }}\left| {{\mkern 1mu} \begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 1}\\4&5\end{array}} \right|} \right) = ( - 9;42;29).\)

Do \(\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] \cdot \overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = ( - 9) \cdot 0 + 42 \cdot 0 + 29 \cdot 1 = 29 \ne 0\) nên \({\vec u_1},{\vec u_2},\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) không đồng phẳng.

Vậy \({\Delta _1},{\Delta _2}\) chéo nhau.

c) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({M_1}(0; - 5;1)\) và có \({\vec u_1} = (3;2; - 3)\) là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({M_2}(1;3;1)\) và có \({\vec u_2} = ( - 6; - 4;6)\) là vectơ chỉ phương.

Ta có: \( - 2{\vec u_1} = {\vec u_2}\), suy ra \({\vec u_1},{\vec u_2}\) cùng phương;

\(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = (1;8;0){\rm{ và  }}\frac{3}{1} \ne \frac{2}{8}{\rm{ nên }}{\vec u_1},\overrightarrow {{M_1}{M_2}} {\rm{ không cùng phương}}{\rm{. }}\)

Vậy \({\Delta _1}//{\Delta _2}\).