24 bài tập Toán 9 Chân trời sáng tạo Ôn tập cuối chương 2 có đáp án
24 câu hỏi
Ta có \(\frac{5}{8} = \frac{{35}}{{56}};\quad \frac{4}{7} = \frac{{32}}{{56}}\quad \) mà \(\quad \frac{{35}}{{56}} > \frac{{32}}{{56}} \Rightarrow \frac{5}{8} > \frac{4}{7}\)
5,678 và 5,6775 có phần nguyên bằng nhau, phần thập phân chữ số thập hân thứ nhất và thứ hai bằng nhau. Chư số thập phân thứ ba
\(\begin{array}{*{20}{l}}{\begin{array}{*{20}{l}}{8 > 7}\end{array}{\rm{ n\^e n }}}&{5,678 > 5,6775}\\{\frac{9}{{20}} = 0,45;}&{ - 17 > - 19}\end{array}\)
Có bất đẳng thức sau không?
a) \(2 \cdot \frac{1}{2}:\frac{3}{4} - 2\frac{1}{3} > \left( {1\frac{1}{2} - 1\frac{1}{3}} \right) \cdot 4\). b) \( - 7,65 + 4,35 < 4,5 - 8,35\).
\(\begin{array}{l}{\rm{a) }}2\frac{1}{2}:\frac{3}{4} - 2\frac{1}{3} = \frac{5}{2}:\frac{3}{4} - \frac{7}{3} = \frac{{20}}{6} - \frac{7}{3} = \frac{{10}}{3} - \frac{7}{3} = 1\\\left( {1\frac{1}{2} - 1\frac{1}{3}} \right) \cdot 4 = \left( {\frac{3}{2} - \frac{4}{3}} \right) \cdot 4 = \frac{2}{3}{\rm{ m\`a }}1 > \frac{2}{3}\end{array}\)
Nên có bất đẳng thức (hay nói khác đi bất đẳng thức trên là đúng)
b) \( - 7,65 + 4,35 = - 3,30\)
\(4,5 - 8,35 = - 3,85{\rm{ m\`a }} - 3,30 > - 3,85\)
Nên bất đẳng thức trên là sai. (không có bất đẳng thức)
Hai số a , b là số dương hay âm nếu ta có:
a) \({\rm{a}} - 5 > {\rm{b}} - 5\) và \({\rm{b}} > 6\). b) \({\rm{a}} - 10 > {\rm{b}} - 10\) và \({\rm{a}} < - 14\).
a) \({\rm{a}} - 5 > {\rm{b}} - 5\) suy ra \({\rm{a}} > {\rm{b}}\) mà \({\rm{b}} > 6\) vậy \({\rm{a}} > 6\) nên \({\rm{a}},{\rm{b}}\) dều là số dương
b) \({\rm{a}} - 10 > {\rm{b}} - 10\) suy ra \({\rm{a}} > {\rm{b}}\) mà \({\rm{a}} < - 12\), nên \({\rm{b}} < - 12\) vậy \({\rm{a}},{\rm{b}}\) đều là số âm.
Cho bất đẳng thức \(6 > - 4\). Hãy viết những bất đẳng thức mới nếu:
a) Nhân hai vế của bất đẳng thức với \(3; - 1;2; - 4\). b) Chia hai vế của bất đăng thức với \(2; - 2; - 1.\)
a) \(6 > - 4{\rm{ th\`i }}6.3 > - 4.3\) nên \(18 > - 12\) \(\begin{array}{l}6 > - 4{\rm{ th\`i }}6.( - 1) < - 4.( - 1) \Rightarrow - 6 < 4\\6 > - 4{\rm{ th\`i }}6.2 > - 4.2 \Rightarrow 12 > - 8\\6 > - 4{\rm{ th\`i }}6.( - 4) < - 4.( - 4) \Rightarrow - 24 < 16\end{array}\) | b) \(6 > - 4\) thì \(6 \cdot \frac{1}{2} > - 4 \cdot \frac{1}{2}\) nên \(3 > - 2\) Tương tự ta có \( - 3 < 2;\quad - 6 < 4\) |
Cho bất đẳng thức \({\rm{c}} \le {\rm{d}}\). Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau là đúng:
a) \( - 5c \ge - 5d\); b) \(0,05c - 1,7 \le 0,05d - 1,7\)
c) \(\frac{{\rm{c}}}{{10}} \le \frac{{\rm{d}}}{{10}}\) d) \(4 - {\rm{c}} \ge 4 - {\rm{d}}\).
e) \(3c + 15 \le 3d + 15\) h) \(0,8 - \frac{c}{5} \ge 0,8 - \frac{d}{5}\)
a) \({\rm{c}} \le {\rm{d}}\) nhân cả hai vế của bất đẳng thức với \( - 5\) thì ta có: \( - 5 \cdot {\rm{c}} \ge - 5 \cdot d\) hay \( - 5c \ge - 5d\).
b) \(c \le d\) nên \(0,05{\rm{c}} \le 0,05\;{\rm{d}} \Rightarrow 0,05{\rm{c}} - 1,7 \le 0,05\;{\rm{d}} - 1,7\)
c) \({\rm{c}} \le {\rm{d}}\) nên \(\,\frac{1}{{10}} \cdot {\rm{c}} \le \frac{1}{{10}} \cdot {\rm{d}} \Rightarrow \frac{{\rm{c}}}{{10}} \le \frac{{\rm{d}}}{{10}}\)
e) \({\rm{c}} \le {\rm{d}}\) nên \(( - 1).{\rm{c}} \ge ( - 1){\rm{d}} \Rightarrow - {\rm{c}} \ge - {\rm{d}}\) nên \(4 - {\rm{c}} \ge 4 - {\rm{d}}\)
h) Tương tự ta có bất đẳng thức \(0.8 - \frac{{\rm{c}}}{5} \ge 0,8 - \frac{{\rm{d}}}{5}\)
Vì \(a > 0\) và \(b > 0\) nên \(ab > 0\), suy ra \(\frac{1}{{ab}} > 0\)
Nhân cả hai vế của bất phương trình \({\rm{a}} > {\rm{b}}\) với \(\frac{1}{{{\rm{ab}}}} > 0\) ta có: \({\rm{a}} \cdot \frac{1}{{ab}} > b \cdot \frac{1}{{ab}}\) nên \(\frac{1}{b} > \frac{1}{a}\)
\(\begin{array}{l}12 < a + b < 20\\6 < a - b < 14\end{array}\);
\(\begin{array}{l}20 < a.b < 64\\\frac{5}{2} < a:b < 8\end{array}\)
\(40,5 \le a.b \le 41,8\)
Như vậy có thể xây dựng căn nhà có diện tích không nhỏ hơn \(41\;{{\rm{m}}^2}\). Đó là căn nhà với chiều dài \({\rm{a}} = 7,6\;{\rm{m}}\) và chiều rộng \({\rm{b}} = 5,5\;{\rm{m}}\).
Giải các bất phương trình sau:
a) \(5\left( {x - 1} \right) + 7 \le 1 - 3\left( {x + 2} \right)\);
b) \(4\left( {x + 8} \right) - 7\left( {x - 1} \right) < 12\);
c) \(4(x - 1,5) - 1,2 \ge 6x - 1\); d) \(1,7 - 3(1 - x) < - (x - 1,9)\).
a) \(5\left( {x - 1} \right) + 7 \le 1 - 3\left( {x + 2} \right)\) \(\begin{array}{l}5x + 3x \le 5 - 7 + 1 - 6\\8x \le - 7\end{array}\) \(x \le \frac{{ - 7}}{8}\) | b) \(4\left( {x + 8} \right) - 7\left( {x - 1} \right) < 12\) \(\begin{array}{l} - 3x < - 27\\x > 9\end{array}\)
|
c) \(4(x - 1,5) - 1,2 \ge 6x - 1\) \(\begin{array}{l}4x - 6x \ge - 1 + 6 + 1,2\\ - 2x \ge 6,2\\x \le - 3,1\end{array}\) | d) \(1,7 - 3(1 - x) < - (x - 1,9)\) \(\begin{array}{l}3x + x < 1,9 - 1,7 + 3\\4x < 3,2\\x < 0,8\end{array}\) |
Với giá trị nào của \(x\) :
a) Giá trị của phân thức \(\frac{{9 - 3x}}{8}\) lớn hơn giá trị của phân thức tương ứng \(\frac{{5x - 9}}{{16}}\).
b) Giá trị của phân thức \(\frac{{5 + 2x}}{3}\) lớn hơn giá trị của phân thức tương ứng \(\frac{{3,5 + 3x}}{6}\).
c) Giá trị nào của đa thức \(7x + 1\) nhỏ hơn giá trị của phân thư tương ứng \(\frac{{3{\rm{x}} + 2}}{3}\).
d) Giá trị của phân thức \(\frac{{17 - 2x}}{{13}}\) nhỏ hơn giá trị của đa thức tương ứng \(x + 4\)
a) \(\frac{{9 - 3x}}{8} > \frac{{5x - 9}}{{16}}\) \(\begin{array}{l}2\left( {9 - 3x} \right) > 5x - 9\\18 - 6x > 5x - 9\end{array}\) \(\begin{array}{l} - 6x - 5x > - 9 - 18\\ - 11x > - 27\\x < \frac{{27}}{{11}}\end{array}\) | b) \(\frac{{5 + 2x}}{3} > \frac{{3,5 + 3x}}{6}\) \(\begin{array}{l}2\left( {5 + 2x} \right) > 3,5 + 3x\\10 + 4x > 3,5 + 3x\end{array}\) \(\begin{array}{l}4x - 3x > 3,5 - 10\\x > - 6,5\end{array}\) | c) \(7x + 1 < \frac{{3x + 2}}{3}\) \(\begin{array}{l}21x + 3 < 3x + 2\\18x < - 1\\x < - \frac{1}{{18}}\end{array}\)
| d) \(\frac{{17 - 2x}}{3} < x + 4\) \(\begin{array}{l}17 - 2x < 3x + 12\\ - 5x < - 5\\x > 1\end{array}\)
|
Giải các bất phương trình sau
a) \(\frac{{3 + x}}{4} + \frac{{2 - x}}{3} < 0\) b) \(x - \frac{{x - 3}}{5} + \frac{{2x - 1}}{{10}} < 4\)
c) \(\frac{{4 - y}}{5} - 5y > 0\) d) \(\frac{{y - 1}}{2} - 1 + \frac{{2y - 1}}{6} > y\)
a) \(\frac{{3 + x}}{4} + \frac{{2 - x}}{3} < 0\) \(\begin{array}{l}3(3 + x) + 4(2 - x) < 0\\x > 17\end{array}\) | b) \(x - \frac{{x - 3}}{5} + \frac{{2x - 1}}{{10}} < 4\) \(x < 3,5\) |
c) ĐS: \({\rm{y}} < \frac{2}{{13}}\) | d) ĐS: \(y < - 3\) |
a) Với giá trị nào của \(x\) thì tổng hai phân thức \(\frac{{3x - 1}}{4}\) và \(\frac{{x - 1}}{5}\) là số dương?
b) Với giá trị nào của y thì hiệu hai phân thức \(\frac{{5y + 1}}{3}\) và \(\frac{{3 - y}}{5}\) là số âm?
a) \(x\) là nghiệm của bất phương trình \(\frac{{3x - 1}}{4} + \frac{{x - 1}}{5} > 0\) \(\begin{array}{l}5(3x - 1) + 4(x - 1) > 0\\19x > 9\\x > \frac{9}{{19}}\end{array}\) | b) y là nghiệm của bất phương trình \(\begin{array}{l}\frac{{5y + 1}}{3} - \frac{{3 - y}}{5} < 0\\y < \frac{1}{7}\end{array}\)
|
Giải bất phương trình dạng \(\left( {x - {a_1}} \right)\left( {x - {a_2}} \right)\left( {x - {a_3}} \right) > 0\) (1) hoặc
với\({{\rm{a}}_1} < {{\rm{a}}_2} < {{\rm{a}}_3}.\)
Ta làm như sau: Đặt \(P(x) = \left( {x - {a_1}} \right)\left( {x - {a_2}} \right)\left( {x - {a_3}} \right)\)
- Nếu \(x = {x_0} > {a_3}\) thì \({x_0} - {a_1} > 0,{x_0} - {a_2} > 0,{x_0} - {a_3} > 0\) nên \(P(x) > 0\).
\({{\rm{a}}_1} < {{\rm{x}}_0} < {{\rm{a}}_2}\) thì \({{\rm{x}}_0} - {{\rm{a}}_1} > 0,{{\rm{x}}_0} - {{\rm{a}}_2} < 0,{{\rm{x}}_0} - {{\rm{a}}_3} < 0\) nên \({\rm{P}}({\rm{x}}) > 0\)
- Nếu \({a_2} < {x_0} < {a_3}\) thì \({x_0} - {a_1} > 0,{x_0} - {a_2} > 0,{x_0} - {a_3} < 0\) nên \(P(x) < 0\)
- Nếu \({{\rm{x}}_0} < {{\rm{a}}_1}\) thì \({{\rm{x}}_0} - {{\rm{a}}_1} < 0,{{\rm{x}}_0} - {{\rm{a}}_2} < 0,{{\rm{x}}_0} < {{\rm{a}}_3}\) nên \({\rm{P}}({\rm{x}}) < 0\).
Từ đó ta có thể kết luận tập hợp nghiệm của phương trình (1): \(\left\{ {x|x > {a_3}} \right\} \cup \left\{ {x|{a_1} < x < {a_2}} \right\}\)
Tập hợp nghiệm của phương trình (2):\(\left\{ {x|{a_2} < x < {a_3}} \right\} \cup \left\{ {x|x < {a_1}} \right\}\)
Giải các bất phương trình sau:
a) \((x - 1)(x - 3)(x - 2) > 0\) b) \((x + 2)(x - 5)(x - 6) < 0\)
a) Biến đổi bất phương trình a) trở thành:\((x - 1)(x - 2)(x - 3) > 0\)
Vậy tập hợp nghiệm của bất phương trình là \(x > 3\) và \(1 < x < 2\) hay\({\rm{ }}{S_a} = \left\{ {x\left| {x > 3} \right.\} \cup \{ x\left| {1 < x < 2} \right.} \right\}\)
b) Biến đổi bất phương trình b) trở thành:\((x - ( - 2))(x - 5)(x - 6) < 0\)
Vậy tập hợp nghiệm của bất phương trình là: \(\left\{ {x\left| x \right. < - 2} \right\} \cup \left\{ {x\left| {5 < x < 6} \right.} \right\}\)
Ta có \(\frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} \ge \frac{1}{3}\)
\(\frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{1}{3} \ge 0\)
\(\frac{{3{x^2} - 3x + 3 - {x^2} - x - 1}}{{3\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} \ge 0\)
\(\frac{{2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)}}{{3\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} \ge 0\)
\(\frac{{2{{(x - 1)}^2}}}{{3\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} \ge 0.\)
Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bất đẳng thức đã cho là đúng (dấu "=" khi và chỉ khi \(x = 1\) ).
Chứng minh rằng \({(ax + by)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\).
Áp dụng : Cho \(3x + 4y = 5\), chứng minh rằng \({x^2} + {y^2} \ge 1\).
Ta có \({(ax + by)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)
\({(ax + by)^2} - \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le 0\)
\({a^2}{x^2} + 2abxy + {b^2}{y^2} - {a^2}{x^2} - {a^2}{y^2} - {b^2}{x^2} - {b^2}{y^2} \le 0\)
\(\left( {{a^2}{y^2} - 2abxy + {b^2}{x^2}} \right) \le 0\)
\({(ay - bx)^2}{\rm{ }} \ge 0\)
Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bất đẳng thức đã cho là đúng (dấu "=" khi và chỉ khi \({\rm{ay}} = {\rm{bx}})\).
Áp dụng: \({(3x + 4y)^2} \le \left( {{3^2} + {4^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\); \({5^2} \le 25\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\).
Do đó \({x^2} + {y^2} \ge 1\) (dấu "=" khi và chỉ khi \(\frac{x}{3} = \frac{y}{5}\) ).
Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức :
a) \(A = {x^2} - 3x + 2\). b) \(B = {(x + y)^4} - 8{(x + y)^2} + 17\).
a)\(A = {x^2} - 3x + 2\)\( = {x^2} - 3x + \frac{9}{4} - \frac{1}{4}\)\(\; = {\left( {{\rm{x}} - \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4} \ge - \frac{1}{4}\) (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \({\rm{x}} = \frac{3}{2}{\rm{ )}}{\rm{. }}\)
Vậy\(\min A = - \frac{1}{4}\) khi \(x = \frac{3}{2}\).
b) \(B = {(x + y)^4} - 8{(x + y)^2} + 17\)\( = {\left[ {{{(x + y)}^2} - 4} \right]^2} + 1 \ge 1\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \({(x + y)^2} = 4\) hay \(x + y = \pm 2\).
Vậy \(\min A = 1\) khi \(x + y = \pm 2\).
Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
а) \(C = - {x^2} + 14x - 70\); b) \(D = - {x^4} + 2{x^2} + 9\)
a) Ta có: \(C = - {x^2} + 14x - 70\)\( = - {x^2} + 14x - 49 - 21\)\( = - {(x - 7)^2} - 21 \le - 21\).
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi\(x = 7.\)
Vậy \(\max C = - 21\) khi \(x = 7\).
b) Ta có \(D = - {x^4} + 2{x^2} + 9\)\( = - {x^4} + 2{x^2} - 1 + 10\)\( = - {\left( {{x^2} - 1} \right)^2} + 10 \le 10\).
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \({x^2} = 1\) hay \(x = \pm 1\).
Vậy max \({\rm{D}} = 10\) khi \({\rm{x}} = \pm 1\).
Giải bất phương trình
a) \(\frac{{x - 5}}{{14}} \le \frac{{3(1,5 - 2x)}}{{35}}\) b) \(\frac{{2x - 5}}{4} > \frac{{x + 1}}{2}\).
a) Ta có : \(\frac{{x - 5}}{{14}} \le \frac{{3(1,5 - 2x)}}{{35}}\) \(5(x - 5) \le 6(1,5 - 2x)\) \(5x - 25 \le 9 - 12x\) \(17x \le 34\) hay \(x \le 2\). | b) Ta có \(\frac{{2x - 5}}{4} > \frac{{x + 1}}{2}\) \(2x - 5{\rm{ }} > 2x + 2\) \(0x > 7.\) Bất phương trình này vô nghiệm. |
Cho bất phương trình \({{\rm{a}}^2}{\rm{x}} - {\rm{ax}} > 3 - {\rm{x}}\)
a) Giải bất phương trình \((1)\) khi \({\rm{a}} = 2\).
b) Chứng minh rằng bất phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của a.
a) Khi \({\rm{a}} = 2\) thì (1) trở thành \(4{\rm{x}} - 2{\rm{x}} > 3 - {\rm{x}}\)
\(4x - 2x + x > 3\)
\(3x > 3\)\(hay\,x > 1\).
b) \({a^2}x - ax > 3 - x\)
\({a^2}x - ax + x > 3\)
\(\left( {{a^2} - a + 1} \right)x > 3.\)
Vì \({a^2} - a + 1 = {\left( {a - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\) với mọi giá trị của a nên \(x > \frac{1}{{{a^2} - a + 1}}\).
Vậy bất phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của a.
Tìm nghiệm chung của hai bất phương trình :
(1)\( \Rightarrow {x^2} - 10x + 25 - {x^2} - x < 3\) \( - 11x < 3 - 25\) \( - 11x < - 22\)\(hay\,x > 2.\) | (2) \( \Rightarrow {x^2} - 3x + x - 3 > {x^2} - 4x\) \( - 3x + x + 4x > 3\) \(2x > 3\)\(hay\,x > \frac{3}{2}\) |
Kết hợp hai kết quả lại ta được nghiệm chung của (1) và (2) là \(x > 2\).
Ta có \(\frac{{5x + 1}}{4} \le \frac{{5x + 9}}{6}\)
\(3(5x + 1) \le 2(5x + 9)\)
\(15x + 3 \le 10x + 18\)
\(15x - 10x \le 18 - 3\)
\(5x \le 15\)\({\rm{hay}}\,{\rm{x}} \le 3\)
Vì \(x\) nguyên dương nên \(x \in \{ 1;2;3\} \).
\({\rm{ Ta c\'o }}\frac{{{x^2} - x + 5}}{{{x^2} + x + 3}} - 1 > 0\)
\(\frac{{{x^2} - x + 5 - \left( {{x^2} + x + 3} \right)}}{{{x^2} + x + 3}} > 0\)
\(\frac{{ - 2x + 2}}{{{x^2} + x + 3}} > 0\)
Vì \({x^2} + x + 3 = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{11}}{4} > 0\) với mọi \(x\) nên ta có \( - 2x + 2 > 0\) hay \(x < 1\).
