22 câu Trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Bài 2. Giới hạn của hàm số (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án
22 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = - 3\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = 5\). Giá trị \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]\) bằng
8.
−8.
−15.
2.
D
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = - 3 + 5 = 2\).
2.
−1.
3.
6.
D
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {4x - 3f\left( x \right)} \right]\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {4x} \right) - 3\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 12 - 3.2 = 6\).
\(\frac{5}{4}\).
−∞.
0.
+∞.
A
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{5x - 5}}{{2x}}\)\( = \frac{{5.2 - 5}}{{2.2}} = \frac{5}{4}\).
3.
2.
1.
2.
A
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 2} \right) = 3\].
0.
\( - \frac{3}{2}\).
+∞.
1.
D
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 3}}{{x + 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - \frac{3}{x}}}{{1 + \frac{2}{x}}} = 1\).
\( - \sqrt 3 \).
+∞.
−3.
\(\sqrt 3 \).
A
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {3{x^2} + 1} }}{x}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {3 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x}\)\( = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {3 + \frac{1}{{{x^2}}}} = - \sqrt 3 \).
1.
\(\frac{1}{6}\).
0.
\( - \frac{1}{6}\).
B
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {10 - {x^2}} - 3}}{{1 - {x^2}}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 - {x^2}}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {\sqrt {10 - {x^2}} + 3} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {10 - {x^2}} + 3}} = \frac{1}{6}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} f\left( x \right) = 3\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} f\left( x \right) = 4\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} f\left( x \right)\) không tồn tại.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} f\left( x \right) = 7\).
C
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} f\left( x \right)\)\( \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} f\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} f\left( x \right)\).
Không tồn tại.
−∞.
+∞.
0.
C
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x - 1} \right) = 0\) và x – 1 < 0 khi x → 1−.
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - 2}}{{x - 1}} = + \infty \).
1.
\(\frac{1}{3}\).
\( - \frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{2}\).
C
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - x + 3}}{{3 - 2{x^2}}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2}\left( {1 - \frac{1}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)}}{{{x^2}\left( {\frac{3}{{{x^2}}} - 2} \right)}} = - \frac{1}{2}\).
3.
−7.
7.
−3.
A
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {b{x^2} - 2x} \right) = b - 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {ax + 5} \right) = a + 5\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 3\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}b - 2 = 3\\a + 5 = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5\\a = - 2\end{array} \right.\). Do đó a + b = 3.
2.
6072.
10120.
2024.
C
Đặt \(g\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right) - 2}}{{x + 1}}\)\( \Rightarrow f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)g\left( x \right) + 2\).
Ta cần tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right)\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left[ {\left( {x + 1} \right)g\left( x \right) + 2} \right] = 2\).
Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{f^2}\left( x \right) + f\left( x \right) - 6}}{{x + 1}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{\left[ {f\left( x \right) + 3} \right]\left[ {f\left( x \right) - 2} \right]}}{{x + 1}}\]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{\left[ {f\left( x \right) - 2} \right]}}{{x + 1}}.\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left[ {f\left( x \right) + 3} \right] = 2024.\left( {2 + 3} \right) = 2024.5 = 10120\].
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho hàm số f(x) = x2 – 3x + 2.
a)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right)}}{{x - 1}} = - 1\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} - 1}} = \frac{1}{4}\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right)}}{{{x^3} - {x^2} + x - 1}} > 0\).
d) Để \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right)}}{{ax + b}} = 2\) thì a + 3b = 1.
a)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x - 2} \right) = - 1\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = - \frac{1}{2}\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right)}}{{{x^3} - {x^2} + x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 2}}{{{x^2} + 1}} = - \frac{1}{2} < 0\).
d) Để \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right)}}{{ax + b}} = 2\) thì ax + b có nghiệm bằng 1 Û a + b = 0 Û b = −a.
Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right)}}{{ax + b}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{a\left( {x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 2}}{a} = - \frac{1}{a} = 2\) \( \Leftrightarrow a = - \frac{1}{2} \Rightarrow b = \frac{1}{2}\).
Suy ra \(a + 3b = - \frac{1}{2} + 3.\frac{1}{2} = 1\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}\;\;\;\;\;\;khi\;\;x > 2\\ax + 2024\;khi\;\;x \le 2\end{array} \right.\).
a) f(2) = 0.
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = 4\).
c)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = - 4\).
d) a = −1010 thì hàm số f(x) có giới hạn khi x → 2.
a) Ta có f(2) = 2a + 2024.
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x + 2} \right) = 4\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {ax + 2024} \right) = 2a + 2024\).
d) Hàm số f(x) có giới hạn khi x → 2 khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)\)
Û 4 = 2a + 2024 Û a = −1010.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 2024\). Khi đó:
a)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 3f\left( x \right) = 2027\).
b)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right)}}{4} = 506\).
c)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {f\left( x \right)} = 2\sqrt {506} \).
d)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {100x - \frac{1}{2}f\left( x \right)} \right] = - 812\).
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 3f\left( x \right) = 3\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 3.2024 = 6072\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right)}}{4} = \frac{{2024}}{4} = 506\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {2024} = 2\sqrt {506} \).
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {100x - \frac{1}{2}f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 100x - \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\)\( = 200 - \frac{1}{2}.2024 = - 812\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {5x + 1} - 4}}{{27 - {x^3}}}\), \(g\left( x \right) = \frac{{3x + 1}}{{ - x + m}}\). Khi đó:
a) Với m = 1 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} g\left( x \right) = - 1\).
b) Với m = 1 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g\left( x \right) = + \infty \).
c) Với m = 1 thì giới hạn bên phải của hàm số g(x) khi x dần đến 1 là một số hữu hạn.
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \frac{a}{{216}}\) với a = 6.
a) Với m = 1 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{3x + 1}}{{ - x + 1}} = - 1\).
b) Với m = 1 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{3x + 1}}{{ - x + 1}} = + \infty \)
vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {3x + 1} \right) = 4;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - x + 1} \right) = 0\) và \( - x + 1 > 0\)khi x → 1−.
c) Với m = 1 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{3x + 1}}{{ - x + 1}} = - \infty \)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {3x + 1} \right) = 4;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - x + 1} \right) = 0\) và \( - x + 1 < 0\)khi x → 1+.
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {5x + 1} - 4}}{{27 - {x^3}}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {5x + 1 - 16} \right)}}{{\left( {27 - {x^3}} \right)\left( {\sqrt {5x + 1} + 4} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{5\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {9 + 3x + {x^2}} \right)\left( {\sqrt {5x + 1} + 4} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - 5}}{{\left( {9 + 3x + {x^2}} \right)\left( {\sqrt {5x + 1} + 4} \right)}}\)\( = \frac{{ - 5}}{{\left( {9 + 3.3 + {3^2}} \right)\left( {\sqrt {5.3 + 1} + 4} \right)}} = - \frac{5}{{216}}\) Þ \(a = - 5\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x - 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x < - 1\\\sqrt {{x^2} + 1} + m\;khi\;x \ge - 1\end{array} \right.\). Khi đó:
a)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = \sqrt 5 + m\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = - 3\).
c)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \sqrt 2 + m\).
d) Khi \(m = 3 + \sqrt 2 \) thì hàm số đã cho có giới hạn tại x0 = −1.
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {x - 2} \right) = - 4\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {x - 2} \right) = - 3\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + m} \right) = \sqrt 2 + m\).
d) Hàm số đã cho có giới hạn tại x0 = −1 khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right)\)\( \Leftrightarrow m = - 3 - \sqrt 2 \).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Tìm a để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + ax + 1\;\;\;khi\;x > 1\\2{x^2} - x + 3a\;khi\;x \le 1\end{array} \right.\) có giới hạn khi x → 1.
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + ax + 2} \right) = a + 3\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2{x^2} - x + 3a} \right) = 3a + 1\).
Hàm số có giới hạn khi x → 1 khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\) Û a + 3 = 3a + 1 Û a = 1.
Trả lời: 1.
Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2{x^2} - 5x - 3}}{{\sqrt {5x + 1} - 4}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2{x^2} - 5x - 3}}{{\sqrt {5x + 1} - 4}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {5x + 1} + 4} \right)}}{{5\left( {x - 3} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {\sqrt {5x + 1} + 4} \right)}}{5} = \frac{{56}}{5} = 11,2\).
Trả lời: 11,2.
Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{x + 1}} + ax + b} \right) = 1\). Tính giá trị của biểu thức T = 2024a – 4049b.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{x + 1}} + ax + b} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{\left( {a + 1} \right){x^2} + \left( {a + b + 3} \right)x + b + 1}}{{x + 1}}} \right) = 1\)
\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{\left( {a + 1} \right)x + \left( {a + b + 3} \right) + \frac{{b + 1}}{x}}}{{1 + \frac{1}{x}}}} \right) = 1\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 1 = 0\\a + b + 3 = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = - 1\end{array} \right.\).
Do đó T = 2024a – 4049b = 2024.(−1) – 4049.(−1) = 2025.
Trả lời: 2025.
Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất t sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số C(t) = 200t + 1000000. Khi t dần về dương vô cùng thì chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm tiến dần đến bao nhiêu nghìn đồng?
Chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm là \(\overline C \left( t \right) = \frac{{200t + 1000000}}{t}\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \overline C \left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{200t + 1000000}}{t} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \left( {200 + \frac{{1000000}}{t}} \right) = 200\).
Vậy khi số sản phẩm càng lớn thì chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm tiến dần đến 200 nghìn đồng.
Trả lời: 200.
Tìm m để A = −2025 với \(A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - m}}{{x + 2}}\).
\(A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - m}}{{x + 2}} = - 2025\) \( \Leftrightarrow \frac{{1 - m}}{3} = - 2025\)\( \Leftrightarrow m = 6076\).
Trả lời: 6076.
