Giải SBT Toán 11 Cánh Diều Giới hạn của hàm số có đáp án
28 câu hỏi
Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\) (L, M ∈ ℝ). Phát biểu nào sau đây là sai?
A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M\).
B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = L - M\).
C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = L.M\).
D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{L}{M}\).
Đáp án đúng là: D
Với \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\) (L, M ∈ ℝ) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{L}{M}\) (nếu M ≠ 0).
Do vậy đáp án D sai vì thiếu điều kiện M ≠ 0.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x0; b). Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0, ta có f(xn) → L thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = L\).
B. Nếu với dãy số (xn) bất kì, xn → x0, ta có f(xn) → L thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = L\).
C. Nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → L, ta có f(xn) → x0 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = L\).
D. Nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < x0 và xn → x0, ta có f(xn) → L thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = L\).
Đáp án đúng là: A
Theo lí thuyết, ta có: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x0; b), nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0, ta có f(xn) → L thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = L\).Với c, k là các hằng số và k nguyên dương thì
A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0\).
B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = + \infty \).
C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = - \infty \).
D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = + \infty \) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = - \infty \).
Đáp án đúng là: A
Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0\).
Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L \).
B. Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) thì L ≥ 0.
c. Nếu f(x) ≥ 0 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) thì L ≥ 0 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L \).
D. Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) thì L ≥ 0 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L \).
Đáp án đúng là: C
Theo lí thuyết ta có: Nếu f(x) ≥ 0 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) thì L ≥ 0 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L \).
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; + ∞). Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → L thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L\).
B. Nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < a và xn → +∞, ta có f(xn) → L thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L\).
C. Nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a, ta có f(xn) → L thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L\).
D. Nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → L, ta có f(xn) →+∞ thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L\).
Đáp án đúng là: A
Theo lí thuyết, ta có: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; + ∞), nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → L thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L\).
Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {x^3} = - 8\).
Xét hàm số f(x) = x3. Giả sử (xn) là dãy số bất kì, thỏa mãn limxn = – 2.
Ta có limf(xn) = \(\lim x_n^3 = {\left( { - 2} \right)^3} = - 8\).
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {x^3} = - 8\).Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = - 4\).
Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}\).
Giả sử (xn) là dãy số bất kì, thỏa mãn xn ≠ – 2 và lim xn = – 2.
Ta có \(\lim g\left( {{x_n}} \right) = \lim \frac{{x_n^2 - 4}}{{{x_n} + 2}} = \lim \frac{{\left( {{x_n} - 2} \right)\left( {{x_n} + 2} \right)}}{{{x_n} + 2}} = \lim \left( {{x_n} - 2} \right) = - 4\).
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = - 4\).
Cho\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 4\), chứng minh rằng:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} 3f\left( x \right) = 12\);
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} 3f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} 3.\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 3.4 = 12\).
Cho\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 4\), chứng minh rằng:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right)}}{4} = 1\);
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right)}}{4} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} 4}} = \frac{4}{4} = 1\).
Cho\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 4\), chứng minh rằng:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {f\left( x \right)} = 2\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right)} = \sqrt 4 = 2\).
Quan sát đồ thị hàm số ở Hình 2 và cho biết các giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right);\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right);\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right);\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} f\left( x \right)\).
Dựa vào đồ thị hàm số, ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 1\);
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 1\);
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right) = - \infty \);
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} f\left( x \right) = + \infty \).Tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( { - 4{x^2} + 3x + 1} \right)\);Tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{ - 4x + 1}}{{{x^2} - x + 3}}\);
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{ - 4x + 1}}{{{x^2} - x + 3}}\)\( = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( { - 4x + 1} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^2} - x + 3} \right)}}\)\( = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( { - 4x} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} 1}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {x^2} - \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} 3}} = \frac{{4 + 1}}{{1 - \left( { - 1} \right) + 3}} = \frac{5}{5} = 1\).
Tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {3{x^2} + 5x + 4} \);Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {3{x^2} + 5x + 4} \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {3{x^2}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {5x} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 4 = \)\({3.2^2} + 5.2 + 4 = 26\).
Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {3{x^2} + 5x + 4} \)\( = \sqrt {26} \).Tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 3 + \frac{4}{x}}}{{2{x^2} + 3}}\);
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - 3 + \frac{4}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - 3} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{4}{x} = - 3 + 0 = - 3\)
và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2{x^2} + 3} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^2}\left( {2 + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^2}.\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 + \frac{3}{{{x^2}}}} \right) = + \infty \).
Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 3 + \frac{4}{x}}}{{2{x^2} + 3}} = 0\).
Tính các giới hạn sau:
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - 3} \right) = - 3 < 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 2} \right) = 0\) và x – 2 > 0 với mọi x > 2.
Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - 3}}{{x - 2}} = - \infty \).Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} 5 = 5 > 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \left( {x + 2} \right) = 0\) và x + 2 > 0 với mọi x > – 2.
Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{5}{{x + 2}} = + \infty \).
Tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 5x + 2}}{{3x + 1}}\);Tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 2x + 3}}{{3{x^2} + 2x + 5}}\);
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 2x + 3}}{{3{x^2} + 2x + 5}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\frac{{ - 2}}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}}{{3 + \frac{2}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}}} = \frac{0}{3} = 0\).
Tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} + 3} }}{{x + 1}}\);\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} + 3} }}{{x + 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} }}{{x + 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left| x \right|.\sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{x + 1}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x.\sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{1}{x}}} = \frac{{\sqrt 9 }}{1} = 3\).Tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} + 3} }}{{x + 1}}\);
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} + 3} }}{{x + 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} }}{{x + 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left| x \right|.\sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{x + 1}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left( { - x} \right).\sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{1}{x}}} = \frac{{ - \sqrt 9 }}{1} = - 3\).Tính các giới hạn sau:
Tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{ - {x^2} + 2x + 15}}{{{x^2} + 4x + 3}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{ - {x^2} + 2x + 15}}{{{x^2} + 4x + 3}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{\left( {5 - x} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{5 - x}}{{x + 1}} = - 4\).
Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 4}}{{x - 1}} = 2\). Tính:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\);
Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) - 4} \right] \ne 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 4}}{{x - 1}} = - \infty \) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 4}}{{x - 1}} = + \infty \).
Điều này mâu thuẫn với giả thiết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 4}}{{x - 1}} = 2\).
Do vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) - 4} \right] = 0\). Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 4\).
Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 4}}{{x - 1}} = 2\). Tính:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 3f\left( x \right)\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 3f\left( x \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 3.\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 3.4 = 12\).
Cho hàm số f(x) thoả mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 2\,022\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{xf\left( x \right)}}{{x + 1}}\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{xf\left( x \right)}}{{x + 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{{1 + \frac{1}{x}}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}}\)
\( = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 1 + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{x}}} = \frac{{2022}}{{1 + 0}} = 2022\).
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{xf\left( x \right)}}{{x + 1}} = 2022\).
Cho số thực a và hàm số (x) thoả mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = - \infty \). Chứng minh rằng:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right) - 3}}{{2f\left( x \right) + 1}} = \frac{1}{2}\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right) - 3}}{{2f\left( x \right) + 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{1 - \frac{3}{{f\left( x \right)}}}}{{2 + \frac{1}{{f\left( x \right)}}}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {1 - \frac{3}{{f\left( x \right)}}} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {2 + \frac{1}{{f\left( x \right)}}} \right)}}\)
\( = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} 1 - \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{3}{{f\left( x \right)}}}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} 2 + \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{1}{{f\left( x \right)}}}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} 1 - \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} 3}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)}}}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} 2 + \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} 1}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)}}}}\)\( = \frac{{1 - 0}}{{2 + 0}} = \frac{1}{2}\).
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right) - 3}}{{2f\left( x \right) + 1}} = \frac{1}{2}\).
Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên biến đổi theo một hàm số thời gian (tính theo ngày) là g(t) = 45t2 – t3 (người). Tốc độ trung bình gia tăng người bệnh giữa hai thời điểm t1, t2 là \({V_{tb}} = \frac{{g\left( {{t_2}} \right) - g\left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}}\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \frac{{g\left( t \right) - g\left( {10} \right)}}{{t - 10}}\) và cho biết ý nghĩa của kết quả tìm được.
Ta có g(10) = 45 . 102 – 103.
Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \frac{{g\left( t \right) - g\left( {10} \right)}}{{t - 10}}\)\[ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \frac{{45{t^2} - {t^3} - {{45.10}^2} - {{10}^3}}}{{t - 10}}\]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \frac{{\left( {45{t^2} - {{45.10}^2}} \right) - \left( {{t^3} - {{10}^3}} \right)}}{{t - 10}}\]
\( = \mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \frac{{45\left( {t - 10} \right)\left( {t + 10} \right) - \left( {t - 10} \right)\left( {{t^2} + 10t + 100} \right)}}{{t - 10}}\)
\[ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \frac{{\left( {t - 10} \right)\left[ {45\left( {t + 10} \right) - \left( {{t^2} + 10t + 100} \right)} \right]}}{{t - 10}}\]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \left( { - {t^2} + 35t + 350} \right) = 600\].
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \frac{{g\left( t \right) - g\left( {10} \right)}}{{t - 10}}\) = 600.
Từ kết quả trên, ta thấy tốc độ tăng người bệnh ngay tại thời điểm t = 10 ngày là 600 người/ngày.
