22 câu Trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 Bài 3 (Có đáp án): Cấp số cộng
22 câu hỏi
Cho cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu bằng 3 số hạng cuối bằng 24. Tính tổng các số hạng này
105
27
108
111
Ta có u1 = 3; u8 = 24, n = 8.
Tổng của 8 số hạng này là:
S8= n.(u1+ u8)2= 8. (3+ 24)2= 108
Đáp án C
Cho các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng
Dãy sốan xác định bởi : a1=1an+1=an+3n với n≥1
Dãy sốbn xác định bởi : b1=3bn+1=bn-3 với n≥1
Dãy sốcn xác định bởi : cn=n+2 với n≥1
Dãy sốdn xác định bởi : d1=4dn+1=dn+n với n≥1
Xét phương án B :
Ta có: bn + 1 = bn- 3⇔bn + 1- bn= - 3 ( một số không đổi)
Do đó, đây là cấp số cộng có công sai d = -3.
Đáp án là B
Cho 4 số lập phương thành cấp số cộng. Tổng của chúng bằng 22. Tổng các bình phương của chúng bằng 166. Tổng các lập phương của chúng bằng :
22
166
1752
1408
Gọi 4 số lập thành cấp số cộng là x - 3d; x- d; x + d; x + 3d.
Bốn số này lập thành cấp số cộng với công sai là 2d.
Theo giả thiết ta có:
x- 3d+ x - d + x + d + x + 3d = 22(x- 3d)2+ (x- d)2+ (x+ d)2+ (x+3d)2= 166⇔4x = 224x2+ 20d2= 166⇔x = 112d = ±32
Vậy 4 số đó là 1,4,7,10 hoặc 10,7,4,1
Tổng các lập phương của chúng: 13+43+73+ 103=1408
Đáp án là D
Trong mặt phẳng toạ độ, cho đồ thị (d) của hàm số y= 4x-5.
Với mỗi số nguyên dương, gọi An là giao điểm của(d) và đường thẳng x=n. Xét dãy số (un) với un là tung độ của điểm An. Tính u1+...+u15.
405
305
205
105
Dễ thấy un=4n−5
Ta có: un+1=4(n+1)−5=4n−1
⇒un+1=un+4, ∀n≥1
Suy ra un là một cấp số cộng với công sai là d=4
Ta có: u1= 4.1- 5 = -1; u15= 4.15 - 5 = 55
Vậy u1+u2+...+u15=S15=152u1+u15=152−1+55=405
Đáp án là A
Tìm x biết 1+3 +5+...+x =64
9
11
15
17
Vế trái: 1 + 3+ 5+ .. + x là tổng của cấp số cộng có u1= 1; d = 2; un= x
Sn= n. [2+ (n-1).2]2= 64⇔2n+ 2n2- 2n = 128⇔2n2= 128⇔n2= 64⇒n = 8
Khi đó, x = u8= 1+ 7. 2 = 15
Đáp án C.
Cho hai cấp số cộng(un): 4,7,10,13,16,...và (vn):1,6,11,16,21,...Hỏi trong 100 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cộng , có bao nhiêu số hạng chung?
10
20
30
40
Ta có un=4+(n−1).3=3n+1 với 1≤n≤100
vk=1+(k−1).5=5k−4 với 1≤k≤100
Để một số là số hạng chung của hai cấp số cộng ta phải có
3n+1=5k−4⇔3n=5(k−1)
⇒n⋮5 tức là n=5t với t∈ℤ
Vì 1≤n≤100 nên 1≤t≤20. Do đó có 20 số hạng chung của hai dãy số.
Chọn đáp án B
Mặt sàn tầng một cuả một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m. Cầu thang đi từ tầng 1 lên tầng 2 gồm 21 bậc mỗi bậc cao 18 cm. Độ cao của tầng hai so với mặt sân là:
4,10m
4,28m
1,89m
1,8m
Độ cao của tầng hai so với mặt sàn tầng một là: 0, 18. 21= 3,78 (m)
Độ cao tầng hai so với mặt sàn của sân là h = 0,5 + 3,78 = 4,28m
Vậy ta có độ cao tầng 2 bằng 4,28m
Đáp án B
Công sai của cấp số cộng (un) thoả mãn : u1+u5-u3=10u1+u6=17 là
0
-1
-2
-3
Chọn D
Ta giải hệ:
u1+u1+4d−u1−2d=10u1+u1+5d=17⇔u1+2d=102u1+5d=17⇔u1=16d=−3
Số hạng đầu tiên của cấp số cộng dương (un) thoả mãn :
u7-u3=8u2u7=75
2
3
4
5
Ta có:
u7-u3=8u2u7=75⇔u1+ 6d- u1- 2d= 8(u1+ d). (u1+ 6d) = 75⇔4d= 8u12+7u1d+ 6d2 = 75⇔d = 2u12+ 14u1+ 24 = 75⇒u1= 3; u1= -17
Vì u1> 0 nên u1= 3
Chọn B
Xác định số đo góc nhỏ nhất của một tứ giác lồi, biết rằng số đo 4 góc lập thành một cấp số cộng và góc lớn nhất bằng 5 lần góc nhỏ nhất.
30°
45°
15°
60°
Chọn A
Gọi d=2a là công sai. Bốn số phải tìm là:
A=(x-3a); B=(x-a); C=(x+a); D=(x+3a).
Tổng số đo 4 góc của 1 tứ giác bằng 3600
Ta có hệ phương trình:
⇔4x = 3600x+ 3a = 5x - 15a⇔x = 9004x = 18a⇔x = 900a = 200
Số đo góc nhỏ nhất là : 90 - 3.20 = 30
Xen vào giữa hai số 4 và 40 bốn số để được một cấp số cộng có công sai lớn hơn 3. Tìm tổng 4 số đó.
88
92
128
132
Chọn A
Nếu xen 4 số vào giữa hai số để được một cấp số cộng thì cấp số cộng đó có 6 số hạng.
Theo đầu bài
Ta có: u1=4;u6=40
⇒40=4+5.d⇒d=7,2
Vậy 4 số thêm vào là:11,2; 18,4; 25,6; 32,8
Tổng 4 số đó là: 11, 2+ 18,4+ 25,6 + 32,8 = 88
Người ta trồng 3003 cây theo hình tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ 2 có 2 cây, hàng thứ 3 có 3 cây,...Vậy có tất cả bao nhiêu hàng?
75
76
77
78
Chọn C
Số cây mỗi hàng lập thành cấp số cộng.
Trong đó, u1 = 1, d = 1
Tổng số cây trồng theo kiểu trên là
Sn= n.[2. 1+ (n-1).1]2= 3003⇔n. (n+ 1)2= 3003⇔n2+ n - 6006= 0⇒n = 77
Giá tiền công khoan giếng ở cơ sở A được tính như sau: giá của mét khoan đầu tiên là 8000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng lên 500 đồng so với giá của mét khoan ngay trước nó. Vậy muốn khoan 20 mét thì mất bao nhiêu đồng?
200000 đồng
255000 đồng
285000 đồng
315000 đồng
Chọn B
Gọi un là giá của mét khoan thứ n.
Ta thấy (un) lập thành cấp số cộng với u1= 8000; d = 500
Do đó, giá khi khoan 20 m là
S20=20. 2.8000 + (20- 1). 5002= 255 000
Cho một dãy số có các số hạng đầu tiên là 1,8,22,43...Hiệu của hai số hạng liên tiếp của dãy số đó lập thành một cấp số cộng: 7,14,21,...,7n. Số 35351 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số đã cho?
57
80
101
200
Chọn C
Theo đề bài ta có:
Cộng vế với vế các phương trình của hệ ta được:
Cho phương trình: x3 + 3x2 – (24+m)x -26 –n= 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n để 3 nghiệm phân biệt x1,x2,x3 lập thành một cấp số cộng
3m =n
m =n
m =3n
m + n =0
Chọn B
Vì ba nghiêm phân biệt x1,x2,x3 lập thành một cấp số cộng nên ta đặt : x1=x0-d,x2=x0,x3=x0+d (d≠0)
Theo giả thiết Ta có: x3+3x2 – (24+m)x – 26- n= (x – x1)(x-x2)(x-x3)
=(x-xo+d)(x-xo)(x-xo-d)= x3 – 3xox2+ (3xo2-d2)x-xo3+ xod2 với mọi x.
Đồng nhất hai vế ta được:
Vậy với m=n thì ba nghiệm phân biệt của phương trình lập thành một cấp số cộng
Bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120. Tính tổng của hai số hạng đầu tiên?
6
7
5
8
Chọn A
Giả sử bốn số hạng đó là a−3x;a−x;a+x;a+3x với công sai là d =2x. Khi đó, ta có:
a−3x+a−x+a+x+a+3x=20a−3x2+a−x2+a+x2+a+3x2=120
⇔4a=204a2+20x2=120⇔a=5x=±1
Vậy bốn số cần tìm là 2; 4; 6; 8.
Tổng của 2 số hạng đầu tiên là: 2+ 4= 6.
Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?
a2+c2=2ab+2bc+2ac
a2−c2=2ab+2bc−2ac
a2+c2=2ab+2bc−2ac
a2−c2=2ab−2bc+2ac
Chọn C
Để a; b; c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi
b−a=c−b⇔b−a2=c−b2⇔b2−2ab+a2=c2−2bc +b2⇔a2−c2=2ab−2bc
⇔a2+c2=2c2+2ab−2bc=2ab+2cc−b=2ab+2cb−a=2ab+2bc−2ac
Tìm x biết x2+1,x−2,1−3x lập thành cấp số cộng ;
x=4,x=3
x=2,x=3
x=2,x=5
x=2,x=1
Chọn B
Ta có: x2+1,x−2,1−3x lập thành cấp số cộng
⇔x2+1+1−3x=2(x−2)⇒x2+2−3x= 2x−4⇔x2−5x+6=0⇔x=2 ; x=3
Vậy x = 2; x = 3 là những giá trị cần tìm.
Tìm m để phương trình x3−3x2−9x+m=0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
m = 16
m= 11
m= 13
m = 12
Chọn B.
Điều cần cần:
Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Khi đó:x1+x3=2x2,
Lại có :
x1+x2+x3=−ba=3⇒x2=1
Thay vào phương trình ta được: 13 – 3.12 – 9.1 + m =0
⇔m=11
* Điều kiện đủ : Với m =11 phương trình trở thành :
x3−3x2−9x+11=0
⇔x−1x2−2x−11=0⇔x1=1−12,x2=1,x3=1+12
Ba nghiệm này lập thành cấp số cộng.
Vậy m =11 là giá trị cần tìm.
Phương trình x4−2m+1x2+2m+1=0 (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
m = 2 hoặc m=−49
m = 4 hoặc m=−49
m =4 hoặc m=-2
m = 3 hoặc m=-1
Chọn B
Đặt t=x2,t≥0.
Phương trình trở thành: t2−2m+1t+2m+1=0 (2)
Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi PT (2) có hai nghiệm dương phân biệt t2 > t1 > 0 .
Δ'>0P>0S>0
⇔m+12−2m+1>02m+1>02m+1>0⇔−12<m≠0
Khi đó PT (2) có bốn nghiệm là: −t2;−t1;t1;t2
Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng khi :
−t2+t1=−2t1−t1+t2=2t1⇔t2=3t1⇔t2=9t1
Theo định lý viet thì :t1+t2=2m+1t1t2=2m+1
⇒t1+9t1=2m+1 t19t1=2m+1⇔10t1=2m+1 (*)9t12=2m+1 (**).
Từ (*) suy ra:5t1= m+1⇔m=5t1−1 thay vào (**) ta được:
9t12=2(5t1−1)+1 ⇔9t12−10.t1+1=0 ⇔t1= 19⇒m= −49t1= 1⇒m= 4
Vậy m = 4 hoặc m=−49 là những giá trị cần tìm
Một tam giác vuông có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh lập thành một cấp số cộng. Độ dài các cạnh của tam giác đó là:
12; 1; 32.
13; 1; 53.
34; 1; 54.
14; 1; 74.
Chọn C
Ba cạnh a, b, c ( a < b < c) của một tam giác theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng thỏa mãn yêu cầu thì:
a2+b2=c2a+b+c=3a+c=2b⇔a2+b2=c23b=3a+c=2b⇔a2+b2=c2b=1a=2b−c=2−c.
Ta có
a2+b2=c2→a=2−cb=12−c2+1=c2
⇔−4c+5=0⇔c=54⇒a=34b=1c=54.
Một rạp hát có 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 25 ghế. Mỗi dãy sau có hơn dãy trước 3 ghế. Hỏi rạp hát có tất cả bao nhiêu ghế?
1635
1792
2055
3125
Chọn C
Số ghế của mỗi dãy (bắt đầu từ dãy đầu tiên) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có 30 số hạng có công sai d= 3 và u1 =25
Tổng số ghế là
S30=u1+u2+⋯+u30= 3022u1 +(30−1)d=2055
