20 câu trắc nghiệm Toán 8 Cánh diều Bài 6. Phép cộng, phép trừ phân thức đại số (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
(Gồm 10 câu hỏi, hãy chọn phương án đúng duy nhất)
Với \(B \ne 0\), kết quả phép cộng \(\frac{A}{B} + \frac{C}{B}\) là
\(\frac{{A + C}}{B}.\)
\(\frac{{A \cdot C}}{B}.\)
\(\frac{{A + C}}{{2B}}.\)
\(\frac{{A + C}}{{B \cdot B}}.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\frac{A}{B} + \frac{C}{B} = \frac{{A + C}}{B}.\)
Kết quả của phép tính \(\frac{{2x}}{5} + \frac{{7x}}{5}\) là
\(\frac{{9x}}{5}.\)
\(\frac{{9x}}{{10}}.\)
\(\frac{{9x}}{{25}}.\)
\(\frac{{14x}}{5}.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\frac{{2x}}{5} + \frac{{7x}}{5} = \frac{{2x + 7x}}{5} = \frac{{9x}}{5}.\)
Kết quả của phép tính \(\frac{5}{x} + \frac{2}{y}\) là
\(\frac{7}{{x + y}}.\)
\(\frac{7}{{xy}}.\)
\(\frac{{5x + 2y}}{{xy}}.\)
\(\frac{{5y + 2x}}{{xy}}.\)
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\frac{5}{x} + \frac{2}{y} = \frac{{5y + 2x}}{{xy}}.\)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.
Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau và cộng các mẫu thức với nhau.
Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu vừa tìm được.
Tính chất phép cộng các phân thức cũng giống tính chất của của phép cộng phân số.
Đáp án đúng là: B
Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.
Do đó, khẳng định B là sai.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
\(\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{{A - C}}{{B - D}}.\)
\(\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{{A \cdot D}}{{B \cdot C}}.\)
\(\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + \frac{{ - C}}{D}.\)
\(\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{{A - C}}{{B \cdot D}}.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + \frac{{ - C}}{D}.\)
Phân thức đối của phân thức \(\frac{2}{{x - 5}}\) là
\(\frac{{ - 2}}{{x - 5}}.\)
\(\frac{{ - 2}}{{x + 5}}.\)
\(\frac{{ - 2}}{{ - x + 5}}.\)
\(\frac{{ - 2}}{{ - x - 5}}.\)
Đáp án đúng là: A
Phân thức đối của phân thức \(\frac{2}{{x - 5}}\) là \( - \frac{2}{{x - 5}}\).
Kết quả phép tính \(\frac{{3x - 3}}{{5x}} - \frac{{7x + 1}}{{5x}}\) là
\(\frac{{4x - 4}}{{5x}}.\)
\(\frac{{ - 4x + 4}}{{5x}}.\)
\(\frac{{ - 4x - 4}}{{5x}}.\)
\(\frac{{4x + 4}}{{5x}}.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\frac{{3x - 3}}{{5x}} - \frac{{7x + 1}}{{5x}} = \frac{{3x - 3 - 7x - 1}}{{5x}} = \frac{{ - 4x - 4}}{{5x}}.\)
Kết quả của phép tính \(\frac{{3x - 1}}{2} - \frac{{7x}}{3}\) là
\(\frac{{ - 5x + 3}}{6}.\)
\(\frac{{ - 5x - 3}}{6}.\)
\(\frac{{ - 5x - 3}}{5}.\)
\(\frac{{ - 4x - 1}}{{ - 1}}.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\frac{{3x - 1}}{2} - \frac{{7x}}{3} = \frac{{3\left( {3x - 1} \right)}}{6} - \frac{{14x}}{6} = \frac{{9x - 3 - 14x}}{6} = \frac{{ - 5x - 3}}{6}\).
Kết quả của phép tính \(\frac{a}{{a + 1}} + \frac{a}{{1 - a}} + \frac{{2{a^2}}}{{{a^2} - 1}}\) là
\(\frac{{2a}}{{a - 1}}.\)
\(\frac{{2{a^2} + 2a}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}.\)
\(\frac{{2a}}{{a + 1}}.\)
\(\frac{{2{a^2}}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}}.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\frac{a}{{a + 1}} + \frac{a}{{1 - a}} + \frac{{2{a^2}}}{{{a^2} - 1}}\)
\( = \frac{a}{{a + 1}} + \frac{a}{{1 - a}} + \frac{{2{a^2}}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{a\left( {a - 1} \right)}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}} - \frac{{a\left( {a + 1} \right)}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}} + \frac{{2{a^2}}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{a\left( {a - 1} \right) - a\left( {a + 1} \right) + 2{a^2}}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{{a^2} - a - {a^2} - a + 2{a^2}}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}} = \frac{{2a\left( {a - 1} \right)}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}} = \frac{{2a}}{{a + 1}}\).
Phân thức \(A\) thỏa mãn điều kiện \(\frac{{4{x^2}}}{{x - 2}} - A = \frac{{ - 3}}{{x - 2}} + \frac{{ - 19}}{{2 - x}}\) là
\(A = 4\left( {x - 2} \right).\)
\(A = 4\left( {x + 2} \right).\)
\(A = \frac{4}{{x - 2}}.\)
\(A = \frac{4}{{x + 2}}.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\frac{{4{x^2}}}{{x - 2}} - A = \frac{{ - 3}}{{x - 2}} + \frac{{ - 19}}{{2 - x}}\)
Suy ra \(A = \frac{{4{x^2}}}{{x - 2}} + \frac{3}{{x - 2}} + \frac{{19}}{{2 - x}}\)
\( = \frac{{4{x^2}}}{{x - 2}} + \frac{3}{{x - 2}} - \frac{{19}}{{x - 2}}\)
\( = \frac{{4{x^2} + 3 - 19}}{{x - 2}}\)
\( = \frac{{4{x^2} - 16}}{{x - 2}}\)
\( = \frac{{4\left( {{x^2} - 4} \right)}}{{x - 2}}\)
\( = \frac{{4\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x - 2}}\)
\( = 4\left( {x + 2} \right)\).
Phần II. Trắc nghiệm đúng, sai
(Gồm 5 câu hỏi, hãy chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a), b), c), d))
Một công ty may mặc phải sản xuất 10 000 sản phẩm trong \(x\) ngày. Khi thực hiện không những đã làm xong sớm một ngày mà còn làm thêm được 80 sản phẩm.
a)Số sản phẩm phải sản xuất trong một ngày theo kế hoạch là \(\frac{{10{\rm{ }}000}}{x}\) (sản phẩm).
b)Số lượng sản phẩm thực tế đã làm được trong một ngày \(\frac{{10{\rm{ }}080}}{x}\) (sản phẩm).
c)Số sản phầm làm thêm trong một ngày là \(\frac{{80x + 10{\rm{ }}000}}{{x\left( {x - 1} \right)}}\) (sản phẩm).
d)Với \(x = 25\) thì số sản phẩm làm thêm trong một ngày lớn hơn 20 sản phẩm.
a) Đúng
Số sản phẩm phải sản xuất trong một ngày theo kế hoạch là \(\frac{{10{\rm{ }}000}}{x}\) (sản phẩm).
b) Sai
Số sản phẩm xí nghiệp đã hoàn thành trên thực tế là \(10{\rm{ }}000 + 80 = 10{\rm{ }}080\) (sản phẩm).
Số ngày xí nghiệp đã hoàn thành trên thực tế là \(x - 1\) (ngày)
Số lượng sản phẩm thực tế đã làm được trong một ngày \(\frac{{10{\rm{ }}080}}{{x - 1}}\) (sản phẩm).
c) Đúng
Số sản phẩm xí nghiệp làm trong một ngày trên thực tế nhiều hơn số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định là: \(\frac{{10{\rm{ }}080}}{{x - 1}} - \frac{{10{\rm{ }}000}}{x} = \frac{{ - 10{\rm{ }}000\left( {x - 1} \right) + 10{\rm{ }}080x}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{80x + 10{\rm{ }}000}}{{x\left( {x - 1} \right)}}\) (sản phẩm).
d) Đúng
Với \(x = 25\) thì sản phẩm thực tế đã làm trong một ngày là: \(\frac{{80.25 + 10{\rm{ }}000}}{{25\left( {25 - 1} \right)}} = 20\) (sản phẩm)
Một tàu du lịch đi từ Hải Phòng tới Thái Bình, sau đó nó nghỉ lại tại Thái Bình 2 giờ trước khi quay trở lại Hải Phòng. Quãng đường từ Hải Phòng tới Thái Bình là 70 km. Vận tốc của dòng nước là 5 km/h. Gọi vận tốc thực của tàu là \(x\) km/h.
a) Thời gian tàu đi ngược dòng từ Hải Phòng tới Thái Bình là \(\frac{{70}}{{x - 5}}\) giờ.
b) Thời gian tàu đi xuôi dòng từ Thái Bình tới Hải Phòng là \(\frac{{70}}{{x + 5}}\) giờ.
c) Thời gian kể từ lúc tàu xuất phát đến khi tàu quay trở về Hải Phòng là \(\frac{{70}}{{x - 5}} + \frac{{70}}{{x + 5}}\) giờ.
d) Nếu vận tốc ngược dòng của tàu là 20 km/h thì thời gian kể từ lúc tàu xuất phát đến khi tàu
về tới Hải Phòng là 7 giờ 50 phút.
a) Đúng
Vận tốc tàu ngược dòng là \(x - 5\) (km/h).
Thời gian tàu đi ngược dòng từ Hải Phòng tới Thái Bình là \(\frac{{70}}{{x - 5}}\) giờ.
b) Đúng
Vận tốc tàu xuôi dòng là \(x + 5\) (km/h).
Thời gian tàu đi xuôi dòng từ Thái Bình tới Hải Phòng là \(\frac{{70}}{{x + 5}}\) giờ.
c) Sai
Thời gian kể từ lúc tàu xuất phát đến khi tàu quay trở về Hải Phòng là \(\frac{{70}}{{x - 5}} + \frac{{70}}{{x + 5}} + 2\) giờ.
d) Đúng
Nếu vận tốc ngược dòng của tàu là 20 km/h thì vận tốc thực của tàu là: \(20 + 5 = 25\) (km/h).
Thời gian kể từ lúc tàu xuất phát đến khi tàu về tới Hải Phòng là: \(\frac{{70}}{{25 - 5}} + \frac{{70}}{{25 + 5}} + 2 = \frac{{47}}{6}\) (giờ).
Đổi \(\frac{{47}}{6}\) giờ = 7 giờ 50 phút.
Tại một cuộc đua thuyền diễn ra trên một khúc sông từ \(A\) và \(B\) dài 3 km. Mỗi đội thực hiện một đường đua, xuất phát từ \(A\) đến \(B\), rồi quay về \(A\) là đích. Một đội đua đạt tốc độ \(\left( {x + 1} \right)\) km/h khi xuôi dòng từ \(A\) đến \(B\) và đạt tốc độ \(\left( {x - 1} \right)\) km/h khi ngược dòng từ \(B\) về \(A\).
a) Thời gian của đội đua khi xuôi dòng là \(\frac{3}{{x + 1}}\) giờ.
b) Thời gian của đội đua khi ngược dòng là \(\frac{3}{{x - 1}}\) giờ.
c) Thời gian cả đi và về của đội đua thuyền là \(\frac{6}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\) giờ.
d) Chênh lệch thời gian giữa lượt đi và lượt về là \(\frac{3}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\) giờ.
a) Đúng
Khi xuôi dòng, tốc độ của đội đua là \(\left( {x + 1} \right)\) km/h nên thời gian xuôi dòng là \(\frac{3}{{x + 1}}\) giờ.
b) Đúng
Khi ngược dòng, tốc độ của đội đua là \(\left( {x - 1} \right)\) km/h nên thời gian ngược dòng là \(\frac{3}{{x - 1}}\) giờ.
c) Sai
Tổng thời gian đi và về của đội đua thuyền là: \(\frac{3}{{x + 1}} + \frac{3}{{x - 1}} = \frac{{3\left( {x - 1} \right) + 3\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{6x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\) giờ.
d) Sai
Chênh lệch thời gian giữa lượt đi và lượt về là: \(\frac{3}{{x - 1}} - \frac{3}{{x + 1}} = \frac{{3\left( {x + 1} \right) - 3\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{6}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\) giờ.
Một đoàn tàu chở khách đi một quãng đường 500 km, trong đó có 50 km đường qua thành phố và 450 km đường qua vùng rừng núi. Biết tốc độ tàu khi chạy qua thành phố kém 30 km/h so với tốc dộ tàu khi chạt qua vùng rừng núi. Gọi \(x\) (km/h) là tốc độ tàu chạy qua vùng rừng núi.
a) Thời gian tàu chạy qua vùng rừng núi là \(\frac{{450}}{x}\) (giờ).
b) Thời gian tàu chạy qua thành phố là \(\frac{{50}}{{x - 30}}\) (giờ).
c) Thời gian tàu chạy trên cả quãng đường là \(\frac{{500x + 13{\rm{ }}500}}{{x\left( {x - 30} \right)}}\) (giờ).
d) Thời gian tàu chạy trên cả quãng đường nhiều hơn 12 giờ khi tàu chạy qua rừng núi với tốc
độ 50 km/h.
a) Đúng
Thời gian tàu chạy qua vùng rừng núi là \(\frac{{450}}{x}\) (giờ).
b) Đúng
Tốc độ của tàu khi chạy qua thành phố là \(x - 30\) (km/h).
Phân thức biểu thị thời gian tàu chạy qua thành phố là \(\frac{{50}}{{x - 30}}\) giờ.
c) Sai
Thời gian tàu chạy trên cả quãng đường là \(\frac{{450}}{x} + \frac{{50}}{{x - 30}} = \frac{{450\left( {x - 30} \right) + 50x}}{{x\left( {x - 30} \right)}} = \frac{{500x - 13500}}{{x\left( {x - 30} \right)}}\) giờ.
d) Sai
Khi tàu chạy qua rừng núi với tốc độ 50 km/h thì thời gian tàu chạy trên cả quãng đường là:
\(\frac{{500 \cdot 50 - 13{\rm{ }}500}}{{50\left( {50 - 30} \right)}} = \frac{{23}}{2} = 11,5\) giờ.
Một tàu du lịch xuôi dòng 15 km, sau đó quay ngược lại để trở về điểm xuất phát và kết thúc chuyến đi du lịch. Biết rằng vận tốc của tàu khi nước yên lặng là 10 km/h và vận tốc của dòng nước là \(x\) km/h \(\left( {x > 0} \right)\).
a) Thời gian tàu xuôi dòng là \(\frac{{15}}{{10 - x}}\) (giờ).
b) Thời gian tàu ngược dòng là \(\frac{{15}}{{10 + x}}\) (giờ).
c) Tổng thời gian tàu chạy là \(\frac{{300}}{{100 - {x^2}}}\) (giờ).
d) Tổng thời gian tàu chạy nhiều hơn 5 giờ khi vận tốc dòng nước là 2 km/h.
a) Sai
Ta có vận tốc của tàu du lịch khi nước xuôi dòng là \(x + 10\) (km/h) .
Do đó, thời gian xuôi dòng là \(\frac{{15}}{{10 + x}}\) giờ.
b) Sai
Vận tốc tàu khi ngược dòng là \(10 - x\) (km/h).
Do đó, thời gian tàu ngược dòng là \(\frac{{15}}{{10 - x}}\) giờ.
c) Đúng
Tổng thời gian tàu chạy là \(\frac{{15}}{{10 - x}} + \frac{{15}}{{10 + x}} = \frac{{15\left( {10 + x} \right) + 15\left( {10 - x} \right)}}{{\left( {10 - x} \right)\left( {10 + x} \right)}} = \frac{{300}}{{100 - {x^2}}}\) giờ.
d) Sai
Khi vận tốc dòng nước là 2 km/h thì thời gian tàu chạy là: \(\frac{{300}}{{100 - {2^2}}} = \frac{{25}}{8} = 3,125\) giờ.
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn
(Gồm 5 câu hỏi, hãy viết câu trả lời/đáp án vào bài làm mà không cần trình bày lời giải chi tiết)
Tính giá trị của biểu thức \(P = \frac{{25{x^2} - 1}}{{1 - 5x}} + \frac{{5xy - 15x + y - 3}}{{y - 3}}\) với \(x \ne \frac{1}{5},y \ne 3\).
Đáp án: 0
Ta có: \(P = \frac{{25{x^2} - 1}}{{1 - 5x}} + \frac{{5xy - 15x + y - 3}}{{y - 3}}\) với \(x \ne \frac{1}{5},y \ne 3\).
\( = \frac{{\left( {5x - 1} \right)\left( {5x + 1} \right)}}{{1 - 5x}} + \frac{{5x\left( {y - 3} \right) + y - 3}}{{y - 3}}\)
\( = - \left( {5x + 1} \right) + \frac{{\left( {y - 3} \right)\left( {5x + 1} \right)}}{{y - 3}}\)
\( = - \left( {5x + 1} \right) + \left( {5x + 1} \right)\)
\( = - 5x - 1 + 5x + 1\)
\( = 0\).
Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{x + 4}}{{2x + 4}} - \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 4}}\) với \(x \ne \pm 2.\) (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Đáp án: 0,5
Với \(x \ne \pm 2\), ta có: \(A = \frac{{x + 4}}{{2\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x + 4}}{{2\left( {x + 2} \right)}} - \frac{1}{{x + 2}} = \frac{{x + 4 - 2}}{{2\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x + 2}}{{2\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2} = 0,5\).
Tính giá trị của biểu thức \(P = \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} + \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{x} + \frac{{x + 2}}{{{x^2} + x}}\)\(\left( {x \ne 0,x \ne - 1} \right)\) tại \(x = 1.\)
Đáp án: 2
Với \(x \ne 0,x \ne - 1\), ta có: \(P = \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} + \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{x} + \frac{{x + 2}}{{{x^2} + x}}\)
\( = \frac{{{x^2} \cdot x}}{{x\left( {1 + x} \right)}} + \frac{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {1 + x} \right)}} + \frac{{x + 2}}{{x\left( {1 + x} \right)}}\)
\( = \frac{{{x^3} + 2\left( {{x^2} - 1} \right) + x + 2}}{{x\left( {1 + x} \right)}}\)
\( = \frac{{{x^3} + 2{x^2} - 2 + x + 2}}{{x\left( {1 + x} \right)}}\)
\( = \frac{{{x^3} + 2{x^2} + x}}{{x\left( {1 + x} \right)}}\)
\( = \frac{{\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)x}}{{x\left( {1 + x} \right)}}\)
\( = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}x}}{{x\left( {1 + x} \right)}} = x + 1\).
Tại \(x = 1\) thì \(P = 1 + 1 = 2\).
Cho phân thức \(P = \frac{{4{x^2} - 2x + 7}}{{2x - 1}}\). Hỏi có bảo nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để giá trị của \(P\) là một số nguyên?
Đáp án: 4
Ta có: \(P = \frac{{4{x^2} - 2x + 7}}{{2x - 1}} = 2x + \frac{7}{{2x - 1}}\).
Vì \(x \in \mathbb{Z}\) nên để \(P \in \mathbb{Z}\) thì \(\frac{7}{{2x - 1}} \in \mathbb{Z}\) hay \(\left( {2x - 1} \right) \in \)Ư(7).
Suy ra \(\left( {2x - 1} \right) \in \left\{ { - 7; - 1;1;7} \right\}\)
• Với \(2x - 1 = - 7\) thì \(x = - 3.\)
• Với \(2x - 1 = - 1\) thì \(x = 0.\)
• Với \(2x - 1 = 1\) thì \(x = 1.\)
• Với \(2x - 1 = 7\) thì \(x = 4.\)
Vậy \(x \in \left\{ { - 3;0;1;4} \right\}\).
Do đó, có 4 giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\). Rút gọn biểu thức \(P = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2ac}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2ab}}.\)
Đáp án: 1
Ta có: \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\)
\({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ac} \right) = {a^2} + {b^2} + {c^2}\)
Suy ra \(2\left( {ab + bc + ac} \right) = 0\) hay \(ab + bc + ac = 0\).
Xét \({a^2} + 2bc = {a^2} + 2bc - ab - bc - ca = {a^2} - ab - ca + bc = \left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\).
Tương tự ta có \({b^2} + 2ac = \left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right);{\rm{ }}{c^2} + 2ab = \left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)\).
Do đó, ta có: \(P = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2ac}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2ab}}\)
\( = \frac{{{a^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{{b^2}}}{{\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{{{c^2}}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\)
\( = - \frac{{{a^2}\left( {b - c} \right) + {b^2}\left( {c - a} \right) + {c^2}\left( {a - b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {c - a} \right)\left( {b - c} \right)}}\)
\( = - \frac{{{a^2}b - {a^2}c + {b^2}c - {b^2}a + {c^2}a - {c^2}b}}{{\left( {a - b} \right)\left( {c - a} \right)\left( {b - c} \right)}}\)
\( = - \frac{{ab\left( {a - b} \right) - \left( {{a^2} - {b^2}} \right)c + {c^2}\left( {a - b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {c - a} \right)\left( {b - c} \right)}}\)
\( = - \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {ab - ac - bc + {c^2}} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {c - a} \right)\left( {b - c} \right)}}\)
\( = - \frac{{\left( {a - b} \right)\left[ {a\left( {b - c} \right) - c\left( {b - c} \right)} \right]}}{{\left( {a - b} \right)\left( {c - a} \right)\left( {b - c} \right)}}\)
\( = - \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {c - a} \right)\left( {b - c} \right)}}\)
\( = \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {c - a} \right)\left( {b - c} \right)}} = 1\).
