Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\frac{{3x - 1}}{2} - \frac{{7x}}{3} = \frac{{3\left( {3x - 1} \right)}}{6} - \frac{{14x}}{6} = \frac{{9x - 3 - 14x}}{6} = \frac{{ - 5x - 3}}{6}\).

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\frac{a}{{a + 1}} + \frac{a}{{1 - a}} + \frac{{2{a^2}}}{{{a^2} - 1}}\)

\( = \frac{a}{{a + 1}} + \frac{a}{{1 - a}} + \frac{{2{a^2}}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{a\left( {a - 1} \right)}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}} - \frac{{a\left( {a + 1} \right)}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}} + \frac{{2{a^2}}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{a\left( {a - 1} \right) - a\left( {a + 1} \right) + 2{a^2}}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{a^2} - a - {a^2} - a + 2{a^2}}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}} = \frac{{2a\left( {a - 1} \right)}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}} = \frac{{2a}}{{a + 1}}\).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\frac{{4{x^2}}}{{x - 2}} - A = \frac{{ - 3}}{{x - 2}} + \frac{{ - 19}}{{2 - x}}\)

Suy ra \(A = \frac{{4{x^2}}}{{x - 2}} + \frac{3}{{x - 2}} + \frac{{19}}{{2 - x}}\)

               \( = \frac{{4{x^2}}}{{x - 2}} + \frac{3}{{x - 2}} - \frac{{19}}{{x - 2}}\)

               \( = \frac{{4{x^2} + 3 - 19}}{{x - 2}}\)

               \( = \frac{{4{x^2} - 16}}{{x - 2}}\)

               \( = \frac{{4\left( {{x^2} - 4} \right)}}{{x - 2}}\)

              \( = \frac{{4\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x - 2}}\)

              \( = 4\left( {x + 2} \right)\).

a) Đúng

Số sản phẩm phải sản xuất trong một ngày theo kế hoạch là \(\frac{{10{\rm{ }}000}}{x}\) (sản phẩm).

b) Sai

Số sản phẩm xí nghiệp đã hoàn thành trên thực tế là \(10{\rm{ }}000 + 80 = 10{\rm{ }}080\) (sản phẩm).

Số ngày xí nghiệp đã hoàn thành trên thực tế là \(x - 1\) (ngày)

Số lượng sản phẩm thực tế đã làm được trong một ngày  \(\frac{{10{\rm{ }}080}}{{x - 1}}\) (sản phẩm).

c) Đúng

Số sản phẩm xí nghiệp làm trong một ngày trên thực tế nhiều hơn số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định là: \(\frac{{10{\rm{ }}080}}{{x - 1}} - \frac{{10{\rm{ }}000}}{x} = \frac{{ - 10{\rm{ }}000\left( {x - 1} \right) + 10{\rm{ }}080x}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{80x + 10{\rm{ }}000}}{{x\left( {x - 1} \right)}}\)  (sản phẩm).

d) Đúng

Với \(x = 25\) thì sản phẩm thực tế đã làm trong một ngày là: \(\frac{{80.25 + 10{\rm{ }}000}}{{25\left( {25 - 1} \right)}} = 20\) (sản phẩm)

a) Đúng

Vận tốc tàu ngược dòng là \(x - 5\) (km/h).

Thời gian tàu đi ngược dòng từ Hải Phòng tới Thái Bình là \(\frac{{70}}{{x - 5}}\) giờ.

b) Đúng

Vận tốc tàu xuôi dòng là \(x + 5\) (km/h).

Thời gian tàu đi xuôi dòng từ Thái Bình tới Hải Phòng là \(\frac{{70}}{{x + 5}}\) giờ.

c) Sai

Thời gian kể từ lúc tàu xuất phát đến khi tàu quay trở về Hải Phòng là \(\frac{{70}}{{x - 5}} + \frac{{70}}{{x + 5}} + 2\) giờ.

d) Đúng

Nếu vận tốc ngược dòng của tàu là 20 km/h thì vận tốc thực của tàu là: \(20 + 5 = 25\) (km/h).

Thời gian kể từ lúc tàu xuất phát đến khi tàu về tới Hải Phòng là:  \(\frac{{70}}{{25 - 5}} + \frac{{70}}{{25 + 5}} + 2 = \frac{{47}}{6}\) (giờ).

Đổi \(\frac{{47}}{6}\) giờ = 7 giờ 50 phút.

a) Đúng

Khi xuôi dòng, tốc độ của đội đua là \(\left( {x + 1} \right)\) km/h nên thời gian xuôi dòng là \(\frac{3}{{x + 1}}\) giờ.

b) Đúng

Khi ngược dòng, tốc độ của đội đua là \(\left( {x - 1} \right)\) km/h nên thời gian ngược dòng là \(\frac{3}{{x - 1}}\) giờ.

c) Sai

Tổng thời gian đi và về của đội đua thuyền là: \(\frac{3}{{x + 1}} + \frac{3}{{x - 1}} = \frac{{3\left( {x - 1} \right) + 3\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{6x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\) giờ.

d) Sai

Chênh lệch thời gian giữa lượt đi và lượt về là: \(\frac{3}{{x - 1}} - \frac{3}{{x + 1}} = \frac{{3\left( {x + 1} \right) - 3\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{6}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\) giờ.

a) Đúng

 Thời gian tàu chạy qua vùng rừng núi là \(\frac{{450}}{x}\) (giờ).

b) Đúng

Tốc độ của tàu khi chạy qua thành phố là \(x - 30\) (km/h).

Phân thức biểu thị thời gian tàu chạy qua thành phố là \(\frac{{50}}{{x - 30}}\) giờ.

c) Sai

Thời gian tàu chạy trên cả quãng đường là \(\frac{{450}}{x} + \frac{{50}}{{x - 30}} = \frac{{450\left( {x - 30} \right) + 50x}}{{x\left( {x - 30} \right)}} = \frac{{500x - 13500}}{{x\left( {x - 30} \right)}}\) giờ.

d) Sai

Khi tàu chạy qua rừng núi với tốc độ 50 km/h thì thời gian tàu chạy trên cả quãng đường là:

\(\frac{{500 \cdot 50 - 13{\rm{ }}500}}{{50\left( {50 - 30} \right)}} = \frac{{23}}{2} = 11,5\) giờ.

a) Sai

Ta có vận tốc của tàu du lịch khi nước xuôi dòng là \(x + 10\) (km/h) .

Do đó, thời gian xuôi dòng là \(\frac{{15}}{{10 + x}}\) giờ.

b) Sai

Vận tốc tàu khi ngược dòng là \(10 - x\) (km/h).

Do đó, thời gian tàu ngược dòng là \(\frac{{15}}{{10 - x}}\) giờ.

c) Đúng

Tổng thời gian tàu chạy là \(\frac{{15}}{{10 - x}} + \frac{{15}}{{10 + x}} = \frac{{15\left( {10 + x} \right) + 15\left( {10 - x} \right)}}{{\left( {10 - x} \right)\left( {10 + x} \right)}} = \frac{{300}}{{100 - {x^2}}}\) giờ.

d) Sai

Khi vận tốc dòng nước là 2 km/h thì thời gian tàu chạy là: \(\frac{{300}}{{100 - {2^2}}} = \frac{{25}}{8} = 3,125\) giờ.

Đáp án: 0

Ta có: \(P = \frac{{25{x^2} - 1}}{{1 - 5x}} + \frac{{5xy - 15x + y - 3}}{{y - 3}}\) với \(x \ne \frac{1}{5},y \ne 3\).

           \( = \frac{{\left( {5x - 1} \right)\left( {5x + 1} \right)}}{{1 - 5x}} + \frac{{5x\left( {y - 3} \right) + y - 3}}{{y - 3}}\)

           \( =  - \left( {5x + 1} \right) + \frac{{\left( {y - 3} \right)\left( {5x + 1} \right)}}{{y - 3}}\)

           \( =  - \left( {5x + 1} \right) + \left( {5x + 1} \right)\)

           \( =  - 5x - 1 + 5x + 1\)

           \( = 0\).

Đáp án: 0,5

Với \(x \ne  \pm 2\), ta có: \(A = \frac{{x + 4}}{{2\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x + 4}}{{2\left( {x + 2} \right)}} - \frac{1}{{x + 2}} = \frac{{x + 4 - 2}}{{2\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x + 2}}{{2\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2} = 0,5\).

Đáp án: 2

Với \(x \ne 0,x \ne  - 1\), ta có: \(P = \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} + \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{x} + \frac{{x + 2}}{{{x^2} + x}}\)

                                           \( = \frac{{{x^2} \cdot x}}{{x\left( {1 + x} \right)}} + \frac{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {1 + x} \right)}} + \frac{{x + 2}}{{x\left( {1 + x} \right)}}\)

                                          \( = \frac{{{x^3} + 2\left( {{x^2} - 1} \right) + x + 2}}{{x\left( {1 + x} \right)}}\)

                                         \( = \frac{{{x^3} + 2{x^2} - 2 + x + 2}}{{x\left( {1 + x} \right)}}\)

                                        \( = \frac{{{x^3} + 2{x^2} + x}}{{x\left( {1 + x} \right)}}\)

                                        \( = \frac{{\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)x}}{{x\left( {1 + x} \right)}}\)

                                       \( = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}x}}{{x\left( {1 + x} \right)}} = x + 1\).

Tại \(x = 1\) thì \(P = 1 + 1 = 2\).

Đáp án: 4

Ta có: \(P = \frac{{4{x^2} - 2x + 7}}{{2x - 1}} = 2x + \frac{7}{{2x - 1}}\).

Vì \(x \in \mathbb{Z}\) nên để \(P \in \mathbb{Z}\) thì \(\frac{7}{{2x - 1}} \in \mathbb{Z}\) hay \(\left( {2x - 1} \right) \in \)Ư(7).

Suy ra \(\left( {2x - 1} \right) \in \left\{ { - 7; - 1;1;7} \right\}\)

• Với \(2x - 1 =  - 7\) thì \(x =  - 3.\)

• Với \(2x - 1 =  - 1\) thì \(x = 0.\)

• Với \(2x - 1 = 1\) thì \(x = 1.\)

• Với \(2x - 1 = 7\) thì \(x = 4.\)

Vậy \(x \in \left\{ { - 3;0;1;4} \right\}\).

Do đó, có 4 giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 1

Ta có: \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\)

\({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ac} \right) = {a^2} + {b^2} + {c^2}\)

Suy ra \(2\left( {ab + bc + ac} \right) = 0\) hay \(ab + bc + ac = 0\).

Xét \({a^2} + 2bc = {a^2} + 2bc - ab - bc - ca = {a^2} - ab - ca + bc = \left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\).

Tương tự ta có \({b^2} + 2ac = \left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right);{\rm{ }}{c^2} + 2ab = \left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)\).

Do đó, ta có: \(P = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2ac}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2ab}}\)

                     \( = \frac{{{a^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{{b^2}}}{{\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{{{c^2}}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\)

                     \( =  - \frac{{{a^2}\left( {b - c} \right) + {b^2}\left( {c - a} \right) + {c^2}\left( {a - b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {c - a} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

                    \( =  - \frac{{{a^2}b - {a^2}c + {b^2}c - {b^2}a + {c^2}a - {c^2}b}}{{\left( {a - b} \right)\left( {c - a} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

                    \( =  - \frac{{ab\left( {a - b} \right) - \left( {{a^2} - {b^2}} \right)c + {c^2}\left( {a - b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {c - a} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

                   \( =  - \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {ab - ac - bc + {c^2}} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {c - a} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

                   \( =  - \frac{{\left( {a - b} \right)\left[ {a\left( {b - c} \right) - c\left( {b - c} \right)} \right]}}{{\left( {a - b} \right)\left( {c - a} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

                   \( =  - \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {c - a} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

                    \( = \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {c - a} \right)\left( {b - c} \right)}} = 1\).