20 câu trắc nghiệm Toán 8 Cánh diều Bài 4. Vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ vào phân tích đa thức thành nhân tử (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
Phân tích đa thức thành nhân tử \({x^2}{y^2}z + x{y^2}{z^2} + {x^2}y{z^2}\) ta được
\(x\left( {x{y^2}z + {y^2}{z^2} + xy{z^2}} \right)\).
\(y\left( {{x^2}yz + xy{z^2} + {x^2}{z^2}} \right).\)
\(z\left( {x{y^2} + x{y^2}z + {x^2}yz} \right).\)
\(xyz\left( {xy + yz + xz} \right).\)
Đáp án đúng là: D
Ta có: \({x^2}{y^2}z + x{y^2}{z^2} + {x^2}y{z^2} = xyz \cdot xy + xyz \cdot yz + xyz \cdot xz\)
\( = xyz\left( {xy + yz + xz} \right).\)
Vậy chọn đáp án D.
Kết quả phân tích đa thức \({x^2} - xy + x - y\) thành nhân tử là
\(\left( {x + 1} \right)\left( {x - y} \right)\).
\(\left( {x - y} \right)\left( {x - 1} \right).\)
\(\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right).\)
\(x\left( {x - y} \right).\)
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({x^2} - xy + x - y = x\left( {x - y} \right) + \left( {x - y} \right) = \left( {x - y} \right)\left( {x + 1} \right)\).
Vậy chọn đáp án A.
Phân tích đa thức\({x^3} - 4x\) thành nhân tử, ta được
\(x\left( {{x^2} + 4} \right).\)
\(x\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right).\)
\({x^2}\left( {x - 4} \right).\)
\(x\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right).\)
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({x^3} - 4x = x\left( {{x^2} - 4} \right) = x\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right).\)
Vậy chọn đáp án B.
Phân tích đa thức \({\left( {x - 4} \right)^2} + \left( {x - 4} \right)\) thành nhân tử, ta được:
\(\left( {x - 4} \right)\left( {x - 3} \right).\)
\(\left( {x - 4} \right)\left( {x - 5} \right).\)
\(\left( {x + 4} \right)\left( {x + 3} \right).\)
\(\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right).\)
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({\left( {x - 4} \right)^2} + \left( {x - 4} \right) = \left( {x - 4} \right)\left( {x - 4 + 1} \right) = \left( {x - 4} \right)\left( {x - 3} \right)\).
Vậy chọn đáp án A.
Phân tích đa thức \({x^2} - 6x + 8\) thành nhân tử, ta được:
\(\left( {x - 4} \right)\left( {2 - x} \right).\)
\(\left( {x - 4} \right)\left( {x + 2} \right).\)
\(\left( {x - 4} \right)\left( {x - 2} \right).\)
\(\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right).\)
Đáp án đúng là: C
Ta có: \({x^2} - 6x + 8 = {x^2} - 2x - 4x + 8 = x\left( {x - 2} \right) - 4\left( {x - 2} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right)\).
Do đó, chọn đáp án C.
Phân tích đa thức \(8{x^3} - 12{x^2}y + 6x{y^2} - {y^3}\) thành nhân tử, ta được:
\({\left( {2x - y} \right)^3}.\)
\( - {\left( {2x + y} \right)^3}.\)
\({\left( {2x + y} \right)^3}.\)
\({\left( {x - 2y} \right)^3}.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(8{x^3} - 12{x^2}y + 6x{y^2} - {y^3} = {\left( {2x} \right)^3} - 3 \cdot {\left( {2x} \right)^2}y + 3 \cdot 2x \cdot {y^2} - {y^3} = {\left( {2x - y} \right)^3}\).
Vậy chọn đáp án A.
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây:
\(27 + 27x + 9{x^2} + {x^3} = {\left( {3 + x} \right)^3}.\)
\({x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 = {\left( {1 - x} \right)^3}.\)
\(1 - 2y + {y^2} = - {\left( {y - 1} \right)^2}.\)
\(1 - {x^2}{y^4} = - \left( {1 - x{y^2}} \right)\left( {x + x{y^2}} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Xét các đáp án, ta có:
\(27 + 27x + 9{x^2} + {x^3} = {3^3} + 3 \cdot {3^2} \cdot x + 3 \cdot 3 \cdot {x^2} + {x^3} = {\left( {3 + x} \right)^3}.\) Do đó, đáp án A là đúng.
\({x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 = {\left( {x - 1} \right)^3}.\) Do đó, đáp án B là sai.
\(1 - 2y + {y^2} = {\left( {y - 1} \right)^2}.\) Do đó, đáp án C là sai.
\(1 - {x^2}{y^4} = \left( {1 - x{y^2}} \right)\left( {x + x{y^2}} \right).\) Do đó, đáp án D là sai.
Vậy chọn đáp án A.
Phân tích đa thức \({x^4} - 16\) thành nhân tử, ta được:
\(\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {{x^2} - 4} \right).\)
\(\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right).\)
\(\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {{x^2} - 2} \right).\)
\(\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2} \right).\)
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({x^4} - 16 = \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + 4} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)\).
Do đó, chọn đáp án B.
Phân tích đa thức \({x^3} - 9{x^2} + 27x - 27\) thành nhân tử ta được kết quả là
\({\left( {x + 9} \right)^3}.\)
\({\left( {x + 3} \right)^3}.\)
\({\left( {x - 9} \right)^3}.\)
\({\left( {x - 3} \right)^3}.\)
Đáp án đúng là: D
Ta có: \({x^3} - 9{x^2} + 27x - 27 = {\left( {x - 3} \right)^3}\).
Do đó, chọn đáp án D.
Phân tích đa thức \({x^2} - {y^2} + 2y - 1\) thành nhân tử ta được kết quả là
\(\left( {x + y + 1} \right)\left( {x - y - 1} \right).\)
\(\left( {x - y - 1} \right)\left( {x + y - 1} \right).\)
\(\left( {x + y + 1} \right)\left( {x + y - 1} \right).\)
\(\left( {x - y + 1} \right)\left( {x + y - 1} \right).\)
Đáp án đúng là: D
Ta có: \({x^2} - {y^2} + 2y - 1 = {x^2} - \left( {{y^2} - 2y + 1} \right) = {x^2} - {\left( {y - 1} \right)^2} = \left( {x - y + 1} \right)\left( {x + y - 1} \right).\)
Do đó, chọn đáp án D.
Một mảnh vườn hình vuông có độ dài cạnh bằng \(x\) (mét). Người ta làm đường đi xung quanh mảnh vườn, có độ rộng như nhau và bằng \(y\) (mét).
a) Diện tích của cả mảnh vườn là \({x^2}\) (m2).
b) Diện tích phần đất không làm lối đi là \({y^2}\) (m2).
c) Diện tích phần đất làm đường đi là \(S = {x^2} - 2{y^2}\) (m2).
d) Diện tích phần đất làm đường lớn hơn 2 000 m2 khi \(x = 48{\rm{ m, }}y = 2{\rm{ m}}{\rm{.}}\)
Lời giải
a) Đúng
Diện tích của cả mảnh vườn là \({x^2}\) (m2).
b) Đúng
Diện tích phần đất không làm lối đi là \({y^2}\) (m2).
c) Sai
Diện tích phần đất làm đường đi là \(S = {x^2} - {y^2}\) (m2).
d) Đúng.
Diện tích phần đất làm đường đi khi \(x = 48{\rm{ m, }}y = 2{\rm{ m}}\) là: \(S = {48^2} - {2^2} = \left( {48 + 2} \right) \cdot \left( {48 - 2} \right) = 50.46 = 2{\rm{ }}300\) (m2).
Từ một miếng bìa có dạng hình tròn bán kính \(R\) (cm), bạn Hạnh khoét một hình tròn ở giữa có bán kính \(r\) (cm), \(\left( {0 < r < R} \right)\). Lấy \(\pi = 3,14.\)
a) Diện tích miếng bìa hình tròn bán kính \(R\) cm là \(\pi {R^2}\) (cm2).
b) Diện tích miếng bìa hình tròn bán kính \(r\) cm là \(2\pi {r^2}\) (cm2).
c) Diện tích phần còn lại của miếng bìa là \(S = \pi {R^2} - 2\pi {r^2}\) (cm2).
d) Diện tích phần còn lại của miếng bìa lớn hơn \(181\) cm2 khi \(x = 8{\rm{ cm, }}y = 2,5{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)
</>
Lời giải
a) Đúng
Diện tích miếng bìa hình tròn bán kính \(R\) cm là \(\pi {R^2}\) (cm2).
b) Sai
Diện tích miếng bìa hình tròn bán kính \(r\) cm là \(\pi {r^2}\) (cm2).
c) Sai
Diện tích phần còn lại của miếng bìa là \(S = \pi {R^2} - \pi {r^2} = \pi \left( {{R^2} - {r^2}} \right)\) (cm2).
d) Đúng
Diện tích phần còn lại của miếng bìa khi \(x = 8{\rm{ cm, }}y = 2,5{\rm{ cm}}\) là
\(S = \pi \left( {{8^2} - 2,{5^2}} \right) = 181,335\) (cm2)
Từ một sợi dây có dộ dài \(200{\rm{ cm,}}\) Hùng cắt ra thành hai đoạn dây, một đoạn lớn, một đoạn nhỏ, mỗi đoạn có độ dài theo centimet là một số tự nhiên chia hết cho 4. Hùng đặt hai đoạn dât trên mặt bàn sao cho mỗi đoạn dây tạo thành một hình cuông, hình vuông nhỏ nằm trong hình vuông lớn. Gọi độ dài đoạn dây lớn và nhỏ lần lượt được cắt ra là \(4x\) và \(4y\) \(\left( {x,y \in {\mathbb{N}^*},{\rm{ cm}}} \right)\).
a) Tổng độ dài hai cạnh hình vuông lớn và hình vuông nhỏ là 50 cm.
b) Diện tích phần nằm giữa hai hình vuông là \(S = 50\left( {x - y} \right){\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)
c) Để diện tích phần nằm giữa hai hình vuông lớn nhất thì cạnh hình vuông lớn có độ dài là
49 cm, cạnh hình vuông nhỏ có độ dài là 1 cm.
d) Để diện tích phần nằm giữa hai hình vuông lớn nhất thì cắt sợi dây có độ dài thành hai đoạn 196 cm và 4 cm.
Lời giải
a) Đúng
Vì độ dài đoạn dây lớn và nhỏ được cắt ra lần lượt là \(4x\) và \(4y\) \(\left( {x,y \in {\mathbb{N}^*},{\rm{ cm}}} \right)\) thì cạnh mỗi hình vuông lớn và nhỏ có độ dài lần lượt là \(x\) và \(y\) (cm).
Vì \(4x + 4y = 200\) nên \(x + y = 50\) (cm).
Do đó, tổng độ dài hai cạnh hình vuông lớn và nhỏ là 50 cm.
b) Đúng
Diện tích phần nằm giữa hai hình vuông là: \(S = {x^2} - {y^2} = \left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right) = 50\left( {x - y} \right){\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)
c) Đúng
Để diện tích phần nằm giữa hai hình vuông lớn nhất thì \(\left( {x - y} \right)\) phải đạt giá trị lớn nhất.
Mà \(x + y = 50\), khi đó \(x = 49{\rm{ cm}},y = 1{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)
d) Đúng
Để diện tích phần nằm giữa hai hình vuông lớn nhất thì cắt sợi dây có độ dài thành hai đoạn 196 cm và 4 cm.
Một thử ruộng hình chữ nhật có chiều dài bằng \(20{\rm{ m}}\), chiều rộng bằng \(\frac{1}{2}\) chiều dài. Nếu giảm chiều dài đi \(x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\) và tăng chiều rộng thêm \(x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
a) Chiều rộng ban đầu của thửa ruộng là \(10{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
b) Diện tích của thửa ruộng sau khi thay đổi chiều dài, chiều rộng là \(\left( {20 - x} \right)\left( {10 + x} \right){\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
c) Sau khi giảm chiều dài đi \(x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\) và tăng chiều rộng thêm \(x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\) thì diện tích thửa ruộng không thể vượt quá \(225{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\)
d) Diện tích thửa ruộng sau khi thay đổi đạt giá trị lớn nhất khi \(x = 2{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right).\)
Lời giải
a) Đúng
Chiều rộng của thửa ruộng hình chữ nhật này là \(\frac{1}{2}.20 = 10\) (m).
Diện tích của thửa ruộng hình chữ nhật đó là: \(10 \cdot 20 = 200\) (m2).
b) Đúng
Chiều dài của thửa ruộng sau khi giảm \(x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\) là \(20 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
Chiều rộng của thửa ruộng sau khi tăng \(x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\) là \(10 + x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
Do đó, diện tích của thửa ruộng sau khi thay đổi chiều dài, chiều rộng là \(\left( {20 - x} \right)\left( {10 + x} \right){\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
c) Đúng
Nhận thấy, \(S = \left( {20 - x} \right)\left( {10 + x} \right) = - {x^2} + 10x + 200 = - {\left( {x - 5} \right)^2} + 225\).
Nhận thấy \( - {\left( {x - 5} \right)^2} + 225 \le 225\) với mọi \(x\) hay giá trị lớn nhất của \(S = 225{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\)
d) Sai
Từ trên, nhận thấy diện tích thửa ruộng đạt giá trị lớn nhất bằng \(225{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\) khi \( - {\left( {x - 5} \right)^2} = 0\).
Suy ra \(x = 5.\)
Bác An gửi tiết kiệm với số tiền 400 triệu đồng vào một ngân hàng, kì hạn 12 tháng và theo thể thức lãi kép (nghĩa là nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào làm vốn ban đầu để tính lãi cho năm tiếp theo). Giả sử lãi xuất cố định là \(x\% \)/năm, \(x > 0\). Biết rằng sau 2 năm gửi tiết kiệm, bác An nhận được số tiền gồm cả gốc lần lãi là \(449,44\) triệu đồng.
a) Số tiền cả gốc lần lãi của bác An sau năm thứ nhất là \(400 + 4x\) (triệu đồng).
b) Sau năm thứ hai thì số tiền cả gốc và lãi bác An có là \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + 8x + 400\) (triệu đồng).
c) Vì sau hai năm gửi tiết kiệm, bác An nhận được số tiền gồm cả gốc lần lãi là \(449,44\) triệu đồng nên ta có \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + 8x + 400 = 449,44\) (triệu đồng).
d) Lãi suất cố định mà bác An gửi nhỏ hơn \(5\% \).
Lời giải
a) Đúng
Số tiền lãi trong năm thứ nhất của bác An là \(400.x\% = 400 \cdot \frac{x}{{100}} = 4x\) (triệu đồng).
Sau năm thứ nhất số tiền cả vốn và lãi của bác An là \(400 + 4x\) (triệu đồng).
b) Đúng
Số tiền lãi trong năm thứ hai của bác An là:
\(\left( {400 + 4x} \right).x\% = \left( {400 + 4x} \right).\frac{x}{{100}} = 4x + \frac{{{x^2}}}{{25}}\) (triệu đồng).
Sau năm thứ hai số tiền lãi và vốn của bác An là: \(4x + \frac{{{x^2}}}{{25}} + 400 + 4x = \frac{{{x^2}}}{{25}} + 8x + 400\) (triệu đồng).
c) Đúng
Sau hai năm gửi tiết kiệm bác An nhận số tiền gồm cả gốc lần lãi là 449,44 triệu đồng nên ta có:
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} + 8x + 400 = 449,44\) (triệu đồng)
d) Sai
Giải phương trình, ta có: \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + 8x + 400 = 449,44\) (triệu đồng)
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} + 8x - 49,44 = 0\)
\({x^2} + 200x - 1236 = 0\)
\({x^2} - 6x + 206x - 1236 = 0\)
\(x\left( {x - 6} \right) + 206\left( {x - 6} \right) = 0\)
\(\left( {x - 6} \right)\left( {x + 206} \right) = 0\)
Do đó, suy ra \(x = 6\) (thỏa mãn) hoặc \(x = - 206\) (loại)
Vậy lãi suất cố định mà bác An gửi là 6%.
Biết rằng \({x^2} - 2x - 3 = \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)\). Khi đó, giá trị của \(a + b\) bằng bao nhiêu?
Lời giải
Đáp án: 2
Ta có: \({x^2} - 2x - 3 = {x^2} + x - 3x - 3 = x\left( {x + 1} \right) - 3\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)\)
Mà \({x^2} - 2x - 3 = \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)\) nên \(\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)\).
Do đó, \(a = - 1,b = 3\) hoặc \(a = 3,b = - 1.\)
Vậy \(a + b = - 1 + 3 = 2.\)
Cho biểu thức \(A = {x^4} - 2{x^2}y - {x^2} + {y^2} + y\) biết \({x^2} - y = 6\). Tính giá trị của biểu thức \(A\).
Lời giải
Đáp án: 30
Ta có: \(A = {x^4} - 2{x^2}y - {x^2} + {y^2} + y\)
\( = \left( {{x^4} - 2{x^2}y + {y^2}} \right) - \left( {{x^2} - y} \right)\)
\( = {\left( {{x^2} - y} \right)^2} - \left( {{x^2} - y} \right)\)
\( = \left( {{x^2} - y} \right)\left( {{x^2} - y - 1} \right)\).
Mà \({x^2} - y = 6\) nên \(A = 6 \cdot \left( {6 - 1} \right) = 30\).
Biết rằng \({x^3} + {x^2} + 4 = \left( {x + a} \right)\left( {{x^2} - x + a} \right)\). Hỏi giá trị của \(a\) bằng bao nhiêu?
Lời giải
Đáp án: 2
Ta có: \(\left( {x + a} \right)\left( {{x^2} - x + a} \right) = {x^3} - {x^2} + ax + a{x^2} - ax + {a^2} = {x^3} + \left( {a - 1} \right){x^2} + {a^2}\).
Mà \({x^3} + {x^2} + 4 = \left( {x + a} \right)\left( {{x^2} - x + a} \right)\) nên \({x^3} + {x^2} + 4 = {x^3} + \left( {a - 1} \right){x^2} + {a^2}\).
Do đó, suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 1\\{a^2} = 4\end{array} \right.\) suy ra \(a = 2.\)
Cho \({\left( {x + y} \right)^3} - {\left( {x - y} \right)^3} = A \cdot y \cdot \left( {B{x^2} + C{y^2}} \right),\) biết \(A,B,C\) là các số nguyên tố. Khi đó \(A + B + C\) bằng bao nhiêu?
Lời giải
Đáp án: 6
Ta có: \({\left( {x + y} \right)^3} - {\left( {x - y} \right)^3} = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} - {x^3} + 3{x^2}y - 3x{y^2} + {y^3}\)
\( = 6{x^2}y + 2{y^3}\)
\( = 2y\left( {3{x^2} + {y^2}} \right)\).
Mà \({\left( {x + y} \right)^3} - {\left( {x - y} \right)^3} = A \cdot y \cdot \left( {B{x^2} + C{y^2}} \right)\) nên \(2y\left( {3{x^2} + {y^2}} \right) = A \cdot y \cdot \left( {B{x^2} + C{y^2}} \right)\).
Suy ra \(A = 2;B = 3;C = 1\).
Vậy \(A + B + C = 2 + 3 + 1 = 6.\)
Biết rằng, tồn tại các số dương \(a,b\) thỏa mãn: \({a^3} + {b^3} + 8 = 6ab\). Tính giá trị \(a - b\).
Lời giải
Đáp án: 0
Ta có: \({a^3} + {b^3} + 8 = 6ab\)
\({a^3} + {b^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + 8 = 6ab + 3{a^2}b + 3a{b^2}\)
\({\left( {a + b} \right)^3} + {2^3} = 3ab\left( {a + b + 2} \right)\)
\(\left( {a + b + 2} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 2\left( {a + b} \right) + 4} \right] = 3ab\left( {2 + a + b} \right)\)
\(\left( {a + b + 2} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 2\left( {a + b} \right) + 4 - 3ab} \right] = 0\)
\(\left( {a + b + 2} \right)\left[ {{a^2} + 2ab + {b^2} - 2a - 2b + 4 - 3ab} \right] = 0\)
\(\left( {a + b + 2} \right)\left[ {{a^2} - ab + {b^2} - 2a - 2b + 4} \right] = 0\)
TH1: \(a + b + 2 = 0\) nên \(a + b = - 2\) (loại do \(a,b > 0\)).
TH2: \({a^2} - ab + {b^2} - 2a - 2b + 4 = 0\)
\(2\left( {{a^2} - ab + {b^2} + {a^2} - 2a - 2b + 4} \right) = 0\)
\(2{a^2} - 2ab + 2{b^2} - 4a - 4b + 8 = 0\)
\({a^2} - 2ab + {b^2} + {a^2} - 4a + 4 + {b^2} - 4b + 4 = 0\)
\({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = 0\)
Suy ra \(a = b = 2.\)
Vậy \(a - b = 2 - 2 = 0.\)
