Giải SBT Toán 8 Cánh diều Bài 4. Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử có đáp án
5 câu hỏi
Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử:
a) \(25{x^2} - \frac{1}{4}\);
b) 36x2 + 12xy + y2;
c) \(\frac{{{x^3}}}{2} + 4\);
d) 27y3 + 27y2 + 9y + 1.
Lời giải
a) \(25{x^2} - \frac{1}{4} = {\left( {5x} \right)^2} - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \left( {5x - \frac{1}{2}} \right)\left( {5x + \frac{1}{2}} \right)\).
b) 36x2 + 12xy + y2 = (6x)2 + 2.6.1.xy + y2 = (6x + y)2.
c) \(\frac{{{x^3}}}{2} + 4 = \frac{1}{2}\left( {{x^3} + {2^3}} \right) = \frac{1}{2}\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)\).
d) 27y3 + 27y2 + 9y + 1 = (3y)3 + 3.(3y)2.1 + 3.3y.12+ 13 = (3y + 1)3.
Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử:
a)x3(13xy ‒ 5) ‒ y3(5 ‒ 13xy);
b) 8x3yz + 12x2yz + 6xyz + yz.
Lời giải
a) x3(13xy ‒ 5) ‒ y3(5 ‒ 13xy)
= x3(13xy ‒ 5) + y3(13xy ‒ 5)
= (13xy ‒ 5)(x3 + y3)
= (13xy ‒ 5)(x + y)(x2 ‒ xy + y2).
b) 8x3yz + 12x2yz + 6xyz + yz
= yz(8x3 + 12x2 + 6x + 1)
= yz[(2x)3 + 3.(2x)2.1 + 3.2x.12+ 13)]
= yx(2x + 1)3.
Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:
a) \(A = {x^2} + xy + \frac{{{y^2}}}{4}\) biết \(x + \frac{y}{2} = 100\).
b) B = 25x2z ‒ 10xyz + y2z biết 5x ‒ y = ‒20 và z = ‒5.
c) C = x3yz + 3x2y2z + 3xy3z + y4z biết x + y = ‒0,5 và yz = 8.
Lời giải
a) Ta có:\(A = {x^2} + xy + \frac{{{y^2}}}{4} = {x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{y}{2} + {\left( {\frac{y}{2}} \right)^2} = {\left( {x + \frac{y}{2}} \right)^2}\).
Thay \(x + \frac{y}{2} = 100\)vào biểu thức trên ta có: A = 1002 = 10000.
b) Ta có: B = 25x2z ‒ 10xyz + y2z
= z(25x2 ‒ 10xy + y2)
= z[(5x)2 ‒ 2.5x.y + y2)]
= z(5x ‒ y)2.
Thay 5x ‒ y = ‒20 và z = ‒5 vào biểu thức trên ta có:
B = ‒5.(‒20)2 =–5.400 =‒2000.
c) Ta có:C = x3yz + 3x2y2z + 3xy3z + y4z
= yz(x3 + 3x2y + 3xy2 + y3)
= yz(x+y)3.
Thay x + y = ‒0,5 và yz = 8 vào biểu thức trên ta có:
\[C = 8.{\left( { - 0,5} \right)^3} = 8.{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^3} = 8.\left( { - \frac{1}{8}} \right) = - 1.\]
Chứng minh biểu thứcB = x5 ‒ 15x2 ‒ x + 5 chia hết cho 5 với mọi số nguyênx.
Lời giải
Trước hết, ta chứng minh (x5 ‒ x) ⋮ 5.
Ta có: x5 ‒ x = x(x4 ‒ 1) = x(x2 ‒ 1)(x2 + 1) = x(x ‒ 1)(x + 1)(x2 + 1)
• Nếu x = 5k thì x ⋮ 5.
Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x2 + 1) ⋮ 5 hay(x5 ‒ x) ⋮ 5.
• Nếu x = 5k + 1 thìx ‒ 1 = 5k ⋮ 5 .
Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x2 + 1)⋮ 5 hay(x5 ‒ x) ⋮ 5.
• Nếu x = 5k + 2 thì x2 + 1 = (5k + 2)2 + 1 = 25k2 + 20k + 5 ⋮ 5.
Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x2 + 1)⋮ 5 hay(x5 ‒ x) ⋮ 5.
• Nếu x = 5k + 3 thìx2 + 1 = (5k + 3)2 + 1 = 25k2 + 30k + 10⋮ 5.
Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x2 + 1)⋮ 5 hay(x5 ‒ x) ⋮ 5.
• Nếu x = 5k + 4 thì x + 1 = 5k + 5 ⋮ 5.
Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x2 + 1)⋮ 5 hay(x5 ‒ x) ⋮ 5.
Do đó x5 ‒ x ⋮ 5 với mọi số nguyênx.
Ta có: x5 ‒ x ⋮ 5; 15x2⋮ 5; 5 ⋮ 5 nên x5 ‒ 15x2 ‒ x + 5⋮5 với mọi số nguyênx.
Vậy B chia hết cho 5 với mọi số nguyênx.
Cho tam giác ABC có cạnh BC = 2x (dm), đường cao AH = x (dm) với x > 0 và hình vuông MNPQ có cạnh MN = y (dm) với y > 0 (Hình 4).
=
a) Viết công thức tính tổng diện tích của các tam giác AMN, BMQ, CNP dưới dạng tích.
b) Tính tổng diện tích của các tam giác AMN, BMQ, CNP, biết x ‒ y = 2 và x + y = 10.
Lời giải
a) Diện tích của tam giác ABC là:
\[\frac{1}{2}.AH.BC = \frac{1}{2}.x.2x = {x^2}\](dm2)
Diện tích hình vuông MNPQ là:
MN2 = y2 (dm2)
Vì vậy, tổng diện tích của các tam giác AMN, BMQ, CNPlà:
S = x2 ‒ y2 (dm2)
b) Từ câu a, ta có
S = x2 ‒ y2 = (x ‒ y)(x + y)
Thay x – y = 2 và x + y = 10 vào S ta được:
S = 2.10 = 20 (dm2).
Vậy tổng diện tích của các tam giác AMN, BMQ, CNP là20 dm2.
