20 câu trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức Bài 7. Hệ trục tọa độ trong không gian (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow a = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là
(−1; 2; −3).
(2; −3; −1).
(2; −1; −3).
(−3; 2; −1).
Đáp án đúng: A
\(\overrightarrow a = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \)\( \Rightarrow \overrightarrow a = \left( { - 1;2; - 3} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 1; −2) và B(2; 2; 1). Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) có tọa độ là:
(−1; −1; −3).
(3; 1; 1).
(1; 1; 3).
(3; 3; −1).
Đáp án đúng: C
\(\overrightarrow {AB} = \left( {2 - 1;2 - 1;1 + 2} \right) = \left( {1;1;3} \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 3), B(2; 3; −4), C(−3; 1; 2). Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
D(−4; −2; 9).
D(−4; 2; −9).
D(4; −2; 9).
D(4; 2; −9).
Đáp án đúng: A
Gọi D(x; y; z).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;3; - 7} \right),\overrightarrow {DC} = \left( { - 3 - x;1 - y;2 - z} \right)\).
Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l} - x - 3 = 1\\1 - y = 3\\2 - z = - 7\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = - 2\\z = 9\end{array} \right.\)\( \Rightarrow D\left( { - 4; - 2;9} \right)\).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 3, SA (ABCD). Chọn hệ trục Oxyz có gốc tọa độ tại A, các điểm B, D, S lần lượt trên các tia Ox, Oy, Oz. Xác định tọa độ điểm
(3; 0; 0).
(0; 0; 3).
(0; 3; 3).
D(3; 3; 0).
Đấp án đúng: D
Ta có C (Oxy) C(3; 3; 0).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; −1), \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;3;1} \right)\) thì tọa độ của điểm B là:
B(2; 5; 0).
B(0; −1; −2).
B(0; 1; 2).
B(−2; −5; 0).
Đáp án đúng; A
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 1 + 1\\{y_B} = 3 + 2\\{z_B} = 1 - 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 2\\{y_B} = 5\\{z_B} = 0\end{array} \right.\) B(2; 5; 0).
Trongkhông gian Oxyz, cho A(−1; 2; 3). Hình chiếu của A trên trục Oz là
M(0; 2; 0).
N(−1; 0; 0).
P(0; 0; 3).
Q(−1; 2; 0).
Đáp án đúng: C
Hình chiếu của A trên trục Oz là P(0; 0; 3).
Trong không gian Oxyz, cho điểm M thỏa mãn \(\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow k \). Xác định tọa độ điểm M là
M(2; 0; −3).
M(2; −3; 0).
M(0; 2; −3).
M(−3; 2; 0).
Đáp án đúng: A
\(\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow k \) M(2; 0; −3).
Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow u = \left( { - 1;4;2} \right)\) và điểm A. Biết \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow u \). Tọa độ của điểm A là
(1; 4; 2).
(−1; 4; 2).
(1; −4; −2).
(−1; −4; −2).
Đáp án đúng: B
Vì \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow u \) A(−1; 4; 2).
Trong không gian Oxyz, cho điểm A thỏa mãn \(\overrightarrow {AO} = 4\overrightarrow k - 2\overrightarrow j \) và B(1; 2; −1). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là
(1; 0; 3).
(0; 2; 4).
(0; −2; −4).
(−1; 0; −3).
Đáp án đúng: A
\(\overrightarrow {AO} = 4\overrightarrow k - 2\overrightarrow j \)\( \Rightarrow \overrightarrow {OA} = 2\overrightarrow j - 4\overrightarrow k \)\( \Rightarrow A\left( {0;2; - 4} \right)\).
Khi đó \(\overrightarrow {AB} = \left( {1 - 0;2 - 2; - 1 + 4} \right) = \left( {1;0;3} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho điểm M thỏa mãn \(\overrightarrow {OM} = \left( {2x - 4} \right)\overrightarrow i - 4\overrightarrow j + \left( {y - 1} \right)\overrightarrow k \). Khi điểm M Oy thì giá trị x + 2y bằng
2.
4.
1.
3.
Đáp án đúng: B
M Oy thì \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 4 = 0\\y - 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\). Suy ra x + 2y = 4.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow {OA} = - 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow k \) và B(0; −1; 6). Khi đó:
(a) A(−2; 0; 3).
(b) Điểm A thuộc trục hoành.
(c) \(\overrightarrow {OB} = - \overrightarrow j + 6\overrightarrow k \).
(d)\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;3;0} \right)\).
a) \(\overrightarrow {OA} = - 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow k \) A(−2; 0; 3).
b) Điểm A thuộc mặt phẳng (Oxz).
c) \(\overrightarrow {OB} = - \overrightarrow j + 6\overrightarrow k \).
d) \(\overrightarrow {AB} = \left( {0 + 2; - 1 - 0;6 - 3} \right) = \left( {2; - 1;3} \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Biết rằng A(2; 1; 0); C(0; 3; 0); C'(−1; 2; 1); D'(0; −2; 0).
(a) Tọa độ các điểm A'(1; 0; −1); B'(0; 4; 2).
(b) Tọa độ các điểm B(1; 5; 1), D(1; −1; −1).
(c) Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow i + 4\overrightarrow j + \overrightarrow k \).
(d) Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {B'D} = \overrightarrow i - 5\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \).
a) Vì \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {CC'} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = - 1\\y - 1 = - 1\\z = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\\z = 1\end{array} \right.\) A'(1; 0; 1).
Vì \(\overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow {D'C'} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = - 1\\y = 4\\z - 1 = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 4\\z = 2\end{array} \right.\) B'(0; 4; 2).
b) Vì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = - 1\\y - 1 = 4\\z = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 5\\z = 1\end{array} \right.\) B(1; 5; 1).
\(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = - 1\\y - 1 = - 2\\z = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 1\\z = - 1\end{array} \right.\) D(1; −1; −1).
c) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;4;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = - \overrightarrow i + 4\overrightarrow j + \overrightarrow k \).
d) \(\overrightarrow {B'D} = \left( {1; - 5; - 3} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {B'D} = \overrightarrow i - 5\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Trong không gian \(Oxyz\), cho \(M\left( {8\,;4\,;3} \right)\).
(a) Hình chiếu vuông góc của \(M\) trên trục \(Ox\) là điểm \(\left( {0\,;4\,;3} \right)\).
(b) Hình chiếu vuông góc của \(M\) trên trục \(Oz\) là điểm \(\left( {0\,;0\,;3} \right)\).
(c) Hình chiếu vuông góc của \(M\) trên mặt phẳng \(Oxz\) là điểm \(\left( {8\,;0\,;3} \right)\).
(d)\(\overrightarrow {OM} = 8\overrightarrow i + 4\overrightarrow j + 3\overrightarrow k \).
a) Hình chiếu vuông góc của \(M\) trên trục \(Ox\) là điểm \(\left( {8\,;0\,;0} \right)\).
b) Hình chiếu vuông góc của \(M\) trên trục \(Oz\) là điểm \(\left( {0\,;0\,;3} \right)\).
c) Hình chiếu vuông góc của \(M\) trên mặt phẳng \(Oxz\) là điểm \(\left( {8\,;0\,;3} \right)\).
d) Vì \(\overrightarrow {OM} = \left( {8\,;4\,;3} \right)\) nên \(\overrightarrow {OM} = 8\overrightarrow i + 4\overrightarrow j + 3\overrightarrow k \).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có A(1; 0; 2), B(3; 2; 5), C(7; −3; 9) và A'(5; 0; 1). Khi đó:
(a) \(\overrightarrow {AA'} = \left( {4;0; - 1} \right)\).
(b) \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;2;2} \right)\).
(c)\(\overrightarrow {A'C'} = \left( {6; - 3;7} \right)\).
(d) B'(7; 2; 4).
a) \(\overrightarrow {AA'} = \left( {5 - 1;0;1 - 2} \right) = \left( {4;0; - 1} \right)\).
b) \(\overrightarrow {AB} = \left( {3 - 1;2 - 0;5 - 2} \right) = \left( {2;2;3} \right)\).
c) Vì \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {CC'} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x - 7 = 4\\y + 3 = 0\\z - 9 = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 11\\y = - 3\\z = 8\end{array} \right.\) C'(11; −3; 8).
\( \Rightarrow \overrightarrow {A'C'} = \left( {6; - 3;7} \right)\).
d) Vì \(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AA'} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 4\\y - 2 = 0\\z - 5 = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 2\\z = 4\end{array} \right.\) B'(7; 2; 4).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 2). Khi đó:
(a) \(\overrightarrow {OA} = \left( {1;0;0} \right)\).
(b) \(\overrightarrow {BA} = \left( { - 1;1;0} \right)\).
(c) \({V_{OABC}} = 2\).
(d) Dựng lăng trụ đứng OAB.CA'B', tọa độ B' là (1; 1; 0).
a) \(\overrightarrow {OA} = \left( {1;0;0} \right)\).
b) \(\overrightarrow {BA} = \left( {1; - 1;0} \right)\).
c) \({V_{OABC}} = \frac{1}{6}.OA.OB.OC = \frac{1}{6}.1.1.2 = \frac{1}{3}\).
d) Vì \(\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {BB'} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y - 1 = 0\\z = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\\z = 2\end{array} \right.\) B'(0; 1; 2).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp AB trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ tọa độ Oxyz như hình bên với độ dài đơn vị trên các trục tọa độ bằng 1 (m). Biết \(\overrightarrow {AB} = a\overrightarrow i + b\overrightarrow j + c\overrightarrow k \). Hỏi giá trị của b bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Ta có A(0; 0; 10).
Ta có OH = OB.cos30° \( = \frac{{15\sqrt 3 }}{2}\); OK = OB.cos60° = 7,5.
Suy ra \(B\left( {7,5;\frac{{15\sqrt 3 }}{2};0} \right)\)\(\overrightarrow {AB} = \left( {7,5;\frac{{15\sqrt 3 }}{2}; - 10} \right)\).
Do đó \(\overrightarrow {AB} = 7,5\overrightarrow i + \frac{{15\sqrt 3 }}{2}\overrightarrow j - 10\overrightarrow k \).
Suy ra \(b = \frac{{15\sqrt 3 }}{2} \approx 13\).
Trả lời: 13.
Ở một sân bay, ví trí của máy bay được xác định bởi điểm \(M\) trong không gian \(Oxyz\) (như hình vẽ ).
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\) xuống mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Cho biết \(OM = 50,\)\(\left( {\vec i,\,\overrightarrow {OH} } \right) = 64^\circ \,,\,\,\,\left( {\overrightarrow {OH\,} ,\,\,\overrightarrow {OM\,} } \right) = 48^\circ \). Tìm \(S = a + b + c\)(kết quả làm tròn đến 1 chữ số sau dấu phẩy).
Ta có: \(OC = MH = OM.\sin \left( {\overrightarrow {OH} \,,\,\,\overrightarrow {OM} } \right) = 50.\sin 48^\circ \approx 37,16\).
\(OH = OM.\cos \left( {\overrightarrow {OH} \,,\,\overrightarrow {OM} } \right) = 50.\cos 48^\circ \approx 33,46\).
\(OA = OH.\cos \left( {\vec i\,,\,\,\overrightarrow {OH} } \right) = 33,46.\cos 64^\circ \approx 14,67\).
\(OB = OH.\cos \left( {90^\circ - \left( {\vec i,\,\,\overrightarrow {OH} } \right)} \right) = 33,46.\cos \left( {90^\circ - 64^\circ } \right) = 33,46.\cos 26^\circ \approx 30,07\).
Suy ra \(M\left( {14,67\,;\,30,07\,;\,37,16} \right)\)\( \Rightarrow S = a + b + c = 14,67 + 30,07 + 37,16 = 81,9\).
Trả lời: 81,9.
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; 5; 4). Điểm M'(a; b; c) đối xứng với M qua mặt phẳng (Oyz). Tính a + b + c.
Ta có M'(−2; 5; 4). Suy ra a + b + c = 7.
Trả lời: 7.
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình bình hành \(ABCD\). Biết \(A\left( {1;3;2} \right)\),\(B\left( {2;0; - 2} \right)\),\(D\left( { - 3;7;1} \right)\)và\(C\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\). Tìm \(a + 3b + 4c\).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {1; - 3; - 4} \right)\).
Gọi \(C\left( {x;y;z} \right)\) là điểm cần tìm. \(\overrightarrow {DC} \left( {x + 3;y - 7;z - 1} \right)\)
Vì \(ABCD\)là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3 = 1\\y - 7 = - 3\\z - 1 = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 4\\z = - 3\end{array} \right.\).
Vậy \(C\left( { - 2;4; - 3} \right) \Rightarrow a + 3b + 4c = - 2\).
Trả lời: −2.
Hình dưới đây mô tả một sân cầu lông với kích thước theo tiêu chuẩn quốc tế. Ta chọn hệ trục \(Oxyz\)cho sân đó (đơn vị trên mỗi trục là mét) và hai điểm\(A,\,B\)như hình. Xác định tung độ của \(\overrightarrow {AB} \).
Ta có \(A(6,7\;;\;0\;;\;0),B(6,7\;;\;6,1\;;\;1,55)\). Vậy tọa độ \(\overrightarrow {AB} \) là:
\(\overrightarrow {AB} = \left( {6,7 - 6,7\;;\;6,1 - 0\;;\;1,55 - 0} \right) = \left( {0\;;\;6,1\;;\;1,55} \right)\).
Trả lời: 6,1.
