20 câu Trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp có đáp án
20 câu hỏi
I. Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.
\[\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C{\rm{ }}\left( {\alpha \ne - 1} \right)} .\]
\[\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C{\rm{ }}} .\]
\[\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha - 1}}}}{{\alpha - 1}} + C{\rm{ }}\left( {\alpha \ne - 1} \right){\rm{. }}} \]
\[\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^\alpha }}}{\alpha } + C{\rm{ }}} .\]
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C{\rm{ }}\left( {\alpha \ne - 1} \right)} .\]
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\[\int {f\left( x \right)g\left( x \right)dx{\rm{ }}} = \int {f\left( x \right)dx.\int {g\left( x \right)dx.} } \]
\[\int {f'\left( x \right)dx{\rm{ }}} = f\left( x \right) + C.\]
\[\int {\sin xdx{\rm{ }}} = - \cos x + C.\]
\[\int {\frac{1}{x}dx{\rm{ }}} = \ln \left| x \right| + C.\]
Đáp án đúng là: A
Hàm số \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[y = \ln x\] nếu
\[F'\left( x \right) = \frac{1}{{\ln x}},\forall x \in \left( {0; + \infty } \right).\]
\[F'\left( x \right) = \ln x,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right).\]
\[F'\left( x \right) = \frac{1}{x},\forall x \in \left( {0; + \infty } \right).\]
\[F'\left( x \right) = \frac{1}{x}\forall x \in \left( { - \infty ;0} \right).\]
Đáp án đúng là: C
Trong các mệnh đề sau, chọn mệnh đề đúng.
\[\frac{1}{x} + C\]là họ nguyên hàm của hàm số \[y = \ln x\]trên \[\left( {0; + \infty } \right).\]
\[3{x^2}\]là một nguyên hàm của hàm số \[y = {x^3}\]trên \[\left( { - \infty ; + \infty } \right).\]
\[\frac{1}{5}{x^4}\] là một nguyên hàm của hàm số \[y = \frac{4}{5}{x^3}.\]
Hàm số \[y = 2x\]là nguyên hàm của hàm số \[y = {x^2}.\]
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[\int {\frac{4}{5}{x^3}dx = \frac{1}{5}{x^4} + C.} \]
Với C = 0 thì ta có \[\frac{1}{5}{x^4}\] là một nguyên hàm của hàm số \[y = \frac{4}{5}{x^3}.\]
Công thức nguyên hàm nào sau đây là công thức sai?
\[\int {\frac{{dx}}{x} = \ln x + C.} \]
\[\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C{\rm{ }}\left( {\alpha \ne - 1} \right).} \]
\[\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C{\rm{ }}\left( {0 < a \ne 1} \right).} \]
\[\int {\left( {n + 1} \right){x^n}dx = {n^{n + 1}} + C{\rm{ }}\left( {n \in {\mathbb{Z}^ + }} \right).} \]
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\int {\frac{{dx}}{x} = \ln \left| x \right| + C} \] với \[x \ne 0.\]
Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = 3\cos x - 1\] bằng
\[\int {\left( {3\cos x - 1} \right)dx = 3\sin x - x + C.} \]
\[\int {\left( {3\cos x - 1} \right)dx = - 3\sin x - x + C.} \]
\[\int {\left( {3\cos x - 1} \right)dx = 3\sin x - 1 + C.} \]
\[\int {\left( {3\cos x - 1} \right)dx = - 3\sin x + x + C.} \]
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\int {\left( {3\cos x - 1} \right)dx = 3\int {\cos xdx - \int {1dx = } } } {\rm{ }}3\sin x - x + C\]
Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2} - 3x + \frac{1}{x}\] là
\[2x - 3 - \frac{1}{{{x^2}}} + C.\]
\[\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C.\]
\[\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{3}{2}{x^2} + \ln x + C.\]
\[\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln x + C.\]
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {{x^2} - 3x + \frac{1}{x}} \right)} dx\]
\[ = \int {{x^2}dx - \int {3xdx + \int {\frac{1}{x}dx} } } \]
\[ = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C.\]
Hàm số \[F\left( x \right) = 2\sin x - 3\cos x + 1\] là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
\[f\left( x \right) = 2\sin x - 3\cos x.\]
\[f\left( x \right) = - 2\cos x + 3\sin x.\]
\[f\left( x \right) = 2\cos x + 3\sin x.\]
\[f\left( x \right) = - 2\cos x - 3\sin x.\]
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[f\left( x \right) = F'\left( x \right) = {\left( {2\sin x - 3\cos x + 1} \right)^\prime }\]\[ = 2\cos x + 3\sin x\].
Vậy \[F\left( x \right) = 2\sin x - 3\cos x + 1\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = 2\cos x + 3\sin x.\]
Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {e^{3x}}\left( {1 - 3{e^{ - 5x}}} \right)\]
\[\frac{1}{3}{e^{3x}} + \frac{3}{2}{e^{ - 2x}} + C.\]
\[\frac{1}{3}{e^{3x}} - \frac{3}{2}{e^{ - 2x}} + C.\]
\[{e^{3x}} - 3{e^{ - 2x}} + C.\]
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\int {f\left( x \right)dx} = \int {{e^{3x}}\left( {1 - 3{e^{ - 5x}}} \right)dx} \]
\[ = \int {\left( {{e^{3x}} - 3{e^{ - 2x}}} \right)dx} \]
\[ = \int {{e^{3x}}dx} - 3\int {{e^{ - 2x}}dx} \]
\[ = \frac{{{e^{3x}}}}{3} + \frac{3}{2}{e^{ - 2x}} + C\].
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] thỏa mãn \[f'\left( x \right) = x + \sin x\] và \[f\left( 0 \right) = 1\]. Tìm \[f\left( x \right)\]
\[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \cos x + 2.\]
\[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \cos x - 2.\]
\[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \cos x.\]
\[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \cos x + \frac{1}{2}.\]
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx = \int {\left( {x + \sin x} \right)dx} } \]\[ = \frac{{{x^2}}}{2} - \cos x + C.\]
Mà \[f\left( 0 \right) = 1\] nên \[\frac{{{0^2}}}{2} - \cos 0 + C = 1\] hay C = 2.
Vậy \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \cos x + 2.\]
Cho \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {e^x} + 2x\] thỏa mãn \[F\left( 0 \right) = \frac{3}{2}.\] Tính \[F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right).\]
\[{e^2} - e - 6.\]
\[{e^2} + e - 6.\]
\[{e^2} - e + 6.\]
\[{e^2} + e + 6.\]
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{e^x} + 2x} \right)dx} \] \[ = {e^x} + {x^2} + C.\]
Mà \[F\left( 0 \right) = \frac{3}{2}\] nên \[{e^0} + {0^2} + C = \frac{3}{2}\].
Suy ra \[C = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}\].
Do đó \[F\left( x \right) = {e^x} + {x^2} + \frac{1}{2}.\]
Có: \[F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) = e + 1 + \frac{1}{2} + {e^2} + 4 + \frac{1}{2}\]\[ = {e^2} + e + 6.\]
Vậy \[F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) = {e^2} + e + 6.\]
Cho các mệnh đề dưới đây:
(I). \[F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^3} - 3x + \frac{1}{x}.\]
(II). \[F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {5x + 3} \right)}^6}}}{6} + C\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {\left( {5x + 3} \right)^5}\].
(III). \[F\left( x \right) = \frac{3}{2}x\sqrt x + \frac{4}{3}x\sqrt[3]{x} + \frac{5}{4}x\sqrt[4]{x} + C\] là nguyên hàm của hàm số
\[f\left( x \right) = \frac{{2{x^3}\sqrt x }}{7} - 2{x^2}\sqrt x + \frac{2}{3}x\sqrt x + C.\]
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là
1.
2.
3.
4.
Đáp án đúng là: A
(I): \[\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^3} - 3x + \frac{1}{x}} \right)} dx\]\[ = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C.\]
Vậy \[F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^3} - 3x + \frac{1}{x}.\]
Mệnh đề (I) là mệnh đề đúng.
(II): \[\int {f\left( x \right)dx} = \int {{{\left( {5x + 3} \right)}^5}dx} \]\[ = \frac{{{{\left( {5x + 3} \right)}^6}}}{{30}} + C\]
Vậy \[F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {5x + 3} \right)}^6}}}{{30}} + C\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {\left( {5x + 3} \right)^5}\].
Mệnh đề (II) là mệnh đề sai.
(III). Ta có: \[F'\left( x \right) = {\left( {\frac{3}{2}x\sqrt x + \frac{4}{3}x\sqrt[3]{x} + \frac{5}{4}x\sqrt[4]{x} + C} \right)^\prime }\]
\[ = {\left( {\frac{3}{2}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{4}{3}{x^{\frac{4}{3}}} + \frac{5}{4}{x^{\frac{5}{4}}} + C} \right)^\prime }\]
\[ = \frac{9}{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{16}}{9}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{{25}}{{16}}{x^{\frac{1}{4}}}\]
\[ = \frac{9}{4}\sqrt x + \frac{{16}}{9}\sqrt[3]{x} + \frac{{25}}{{16}}\sqrt[4]{x}\].
Vậy mệnh đề (III) là sai.
Cho hàm số \[f\left( x \right) = 2x + {e^x}\]. Tìm một nguyên hàm \[F\left( x \right)\] của hàm số \[f\left( x \right)\] thỏa mãn \[F\left( 0 \right) = 2024.\]
\[F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} + 2023.\]
\[F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} - 2023.\]
\[F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} + 2022.\]
\[F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} - 2024.\]
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {2x + {e^x}} \right)dx} } \]\[ = {x^2} + {e^x} + C.\]
Mà \[F\left( 0 \right) = 2024\] nên \[{0^2} + {e^0} + C = 2024\] hay C = 2023.
Vậy \[F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} + 2023.\]
Cho hàm số \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] với \[f\left( x \right) = \frac{{x{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{{x^2}}}\] biết \[F\left( 1 \right) = \frac{5}{2}\]. Tính \[F\left( 2 \right)\].
\[F\left( 2 \right) = 2 + 9\ln 2.\]
\[F\left( 2 \right) = - 2 + 9\ln 2.\]
\[F\left( 2 \right) = 1 + 9\ln 2.\]
\[F\left( 2 \right) = 7.\]
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{x{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{{x^2}}}} dx\]
\[ = \int {\frac{{x\left( {{x^2} - 6x + 9} \right)}}{{{x^2}}}} dx\]
\[ = \int {\frac{{{x^3} - 6{x^2} + 9x}}{{{x^2}}}} dx\]
\[ = \int {\left( {x - 6 + \frac{9}{x}} \right)} dx\]
\[ = \frac{{{x^2}}}{2} - 6x + 9\ln \left| x \right| + C.\]
Mà \[F\left( 1 \right) = \frac{5}{2}\] nên \[\frac{1}{2} - 6 + 9\ln \left| 1 \right| + C = \frac{5}{2}\] hay C = 8.
Suy ra \[F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - 6x + 9\ln \left| x \right| + 8.\]
Do đó, \[F\left( 2 \right) = 9\ln 2 - 2\].
Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {\sin ^2}x\] là
\[\frac{x}{2} - \frac{{\sin 2x}}{4} + C.\]
\[\frac{x}{2} + \frac{{\sin 2x}}{4} + C.\]
\[\frac{x}{2} - \frac{{\sin 2x}}{2} + C.\]
\[\frac{x}{2} + \frac{{\sin 2x}}{2} + C.\]
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\int {f\left( x \right)dx} = \int {{{\sin }^2}xdx = \int {\left( {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)dx} } \]
\[ = \int {\frac{1}{2}dx - \frac{1}{2}} \int {\cos 2xdx = \frac{1}{2}x - \frac{{\sin 2x}}{4} + C.} \]
Biết \[\int {\sin 3x{e^x}dx = F\left( x \right) + C} \] và \[F\left( 0 \right) + C = 1\]. Khi đó C bằng
\[ - \frac{7}{{10}}.\]
\[\frac{{13}}{{10}}.\]
\[ - \frac{3}{{10}}.\]
\[\frac{3}{{10}}.\]
Đáp án đúng là: B
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \sin 3x\\dv = {e^x}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 3\cos 3xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.\]
Ta có: \[I = \int {\sin 3x.{e^x}} dx = \sin 3x.{e^x} - 3\int {\cos 3x.{e^x}dx} \] (1)
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \cos 3x\\dv = {e^x}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = - 3\sin 3xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.\]
Ta có: \[\int {\cos 3x.{e^x}dx} = \cos 3x.{e^x} + 3\int {\sin 3x.{e^x}dx} \] (2)
Thay (2) vào (1) ta được:
\[I = \int {\sin 3x.{e^x}} dx = \sin 3x.{e^x} - 3\left( {\cos 3x.{e^x} + 3\int {\sin 3x.{e^x}dx} } \right)\]
\[I = \int {\sin 3x.{e^x}} dx = \sin 3x.{e^x} - 3\cos 3x.{e^x} - 9I\]
\[10I = \sin 3x.{e^x} - 3\cos 3x.{e^x}\]
\[I = \frac{1}{{10}}\left( {\sin 3x - 3\cos 3x} \right){e^x} + C\]
Mà \[F\left( 0 \right) + C = 1 \Leftrightarrow - \frac{3}{{10}} + C = 1\] hay \[C = \frac{{13}}{{10}}.\]
Giả sử \[F\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^x}\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2}{e^x}.\] Tính tích \[P = abc\].
4.
−4.
5.
1.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {{x^2}{e^x}dx} \]
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.\]
Suy ra \[F\left( x \right) = {x^2}{e^x} - 2\int {x{e^x}dx} \] (1)
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\]
Do đó, \[\int {x{e^x}dx} = x{e^x} - \int {{e^x}} dx = x{e^x} - {e^x}\] (2).
Thay (2) vào (1), ta được: \[F\left( x \right) = {x^2}{e^x} - 2\left( {x{e^x} - {e^x}} \right)\]
\[F\left( x \right) = \left( {{x^2} - 2{e^x} + 2} \right){e^x}\].
Do đó, \[a = 1,b = - 2,c = 2\].
Vậy \[P = abc = - 4.\]
Biết \[F\left( x \right) = \sin x{e^x}\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right).{e^x}\]. Biết hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên \[\mathbb{R}\]. Tìm nguyên hàm của hàm số \[f'\left( x \right).{e^x}\].
\[\int {f'\left( x \right).{e^x}} dx = \sin x{e^x} + C.\]
\[\int {f'\left( x \right).{e^x}} dx = \left( {\cos x - \sin x} \right){e^x} + C.\]
\[\int {f'\left( x \right).{e^x}} dx = \left( {\cos x + \sin x} \right){e^x} + C.\]
\[\int {f'\left( x \right).{e^x}} dx = \cos x{e^x} + C.\]
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[F'\left( x \right) = {\left( {\sin x{e^x}} \right)^\prime } = \left( {\sin x + \cos x} \right){e^x} = f\left( x \right).{e^x}\]
Suy ra \[f\left( x \right) = \sin x + \cos x.\]
Khi đó \[f'\left( x \right).{e^x} = \left( {\cos x - \sin x} \right){e^x}\]
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \cos x - \sin x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( { - \sin x - \cos x} \right)dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\]
Ta có: \[I = \int {\left( {\cos x - \sin x} \right){e^x}dx = \left( {\cos x - \sin x} \right){e^x} + \int {\left( {\sin x + \cos x} \right){e^x}dx} } \] (1)
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \cos x + \sin x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( { - \sin x + \cos x} \right)dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\]
Ta có: \[\int {\left( {\sin x + \cos x} \right){e^x}} dx = \left( {\cos x + \sin x} \right){e^x} - \int {\left( {\cos x - \sin x} \right){e^x}} dx\] (2).
Thay (2) vào (1) ta được:
\[I = \int {\left( {\cos x - \sin x} \right){e^x}dx = \left( {\cos x - \sin x} \right){e^x} + \left( {\sin x + \cos x} \right){e^x}} - I\]
\[ \Leftrightarrow 2I = 2\cos x{e^x} + C\]
\[ \Leftrightarrow I = \cos x{e^x} + C.\]
Vậy \[\int {f'\left( x \right).{e^x}} dx = \cos x{e^x} + C.\]
Giả sử \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của \[f\left( x \right) = \frac{{\ln \left( {x + 3} \right)}}{{{x^2}}}\] với \[x > - 3\] sao cho \[F\left( { - 2} \right) + F\left( 1 \right) = 0\]. Giá trị của \[F\left( { - 1} \right) + F\left( 2 \right)\] bằng
\[\frac{2}{3}\ln 2 + \frac{5}{6}\ln 5.\]
\[0.\]
\[\frac{7}{3}\ln 2.\]
\[\frac{{10}}{3}\ln 2 - \frac{5}{6}\ln 5.\]
Đáp án đúng là: D
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 3} \right)\\dv = \frac{{dx}}{{{x^2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{{x + 3}}\\v = \frac{1}{x}\end{array} \right.\]
Ta có: \[\int {\frac{{\ln \left( {x + 3} \right)}}{{{x^2}}}} dx = - \frac{1}{x}\ln \left( {x + 3} \right) + \int {\frac{{dx}}{{x\left( {x + 3} \right)}}} \]
Đặt \[I = \int {\frac{{dx}}{{x\left( {x + 3} \right)}}} = \frac{1}{3}\int {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 3}}} \right)dx = \frac{1}{3}\ln \left| x \right| - \frac{1}{3}\ln \left| {x + 3} \right| = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{x}{{x + 3}}} \right|} \].
Suy ra \[F\left( x \right) = - \frac{1}{x}\ln \left( {x + 3} \right) + \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{x}{{x + 3}}} \right| + C.\]
Lại có \[F\left( { - 2} \right) + F\left( 1 \right) = 0\]
\[\left( {\frac{1}{3}\ln 2 + C} \right) + \left( { - \ln 4 + \frac{1}{3}\ln \frac{1}{4} + C} \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow 2C = \frac{7}{3}\ln 2 \Leftrightarrow C = \frac{7}{6}\ln 2.\]
Suy ra \[F\left( { - 1} \right) + F\left( 2 \right) = \ln 2 + \frac{1}{3}\ln 2 - \frac{1}{2}\ln 5 + \frac{1}{3}\ln \frac{2}{5} + \frac{7}{3}\ln 2 = \frac{{10}}{3}\ln 2 - \frac{5}{6}\ln 5.\]
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] thỏa mãn \[f\left( 1 \right) = 1\] và \[{\left( {{x^2} + 1} \right)^2}f'\left( x \right) = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\left( {{x^2} - 1} \right)\] với mọi \[x \in \mathbb{R}\]. Giá trị của \[f\left( 2 \right)\] bằng
\[\frac{3}{2}.\]
\[ - \frac{3}{2}.\]
\[ - \frac{5}{2}.\]
\[\frac{5}{2}.\]
Đáp án đúng là: A
Từ giả thiết, ta có: \[{\left( {{x^2} + 1} \right)^2}f'\left( x \right) = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\left( {{x^2} - 1} \right)\]
\[ \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \frac{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {1;2} \right]\].
Xét với mọi \[x \in \left[ {1;2} \right]\], ta có:
\[\frac{{f'\left( x \right)}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}} = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow \int {\frac{{f'\left( x \right)}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}}dx} = \int {\frac{{\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}} dx\].
\[ \Rightarrow \int {\frac{{f'\left( x \right)}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}}dx} = \int {\frac{{\left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^2}}}} dx = \int {\frac{{d\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^2}}}} \]
\[ \Rightarrow - \frac{1}{{f\left( x \right)}} = \frac{{ - 1}}{{x + \frac{1}{x}}} + C \Leftrightarrow f\left( x \right) = x + \frac{1}{x} + C.\]
Mà \[f\left( 1 \right) = 1 \Leftrightarrow 1 = 2 + C \Leftrightarrow C = - 1\].
Vậy \[f\left( x \right) = x + \frac{1}{x} - 1\].
Suy ra \[f\left( 2 \right) = 2 + \frac{1}{2} - 1 = \frac{3}{2}.\]
