20 câu trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 3. Hàm số liên tục (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x0 Î K. Hàm số y = f(x) liên tục tại x0 khi và chỉ khi\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = + \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = - \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
C
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
Hàm số lượng giác.
Hàm số đa thức.
Hàm số phân thức hữu tỉ.
Hàm số có chứa căn bậc hai.
B
Hàm số đa thức luôn liên tục trên tập số thực ℝ.
Hàm số f(x) không xác định tại x0.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right)\].
Hàm số f(x) liên tục tại x0.
f(x) có giá trị 0 tại x0.
B
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \ne f\left( {{x_0}} \right)\) nên hàm số f(x) không liên tục tại x0.
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\) tồn tại nên \[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right)\].
Hàm số liên tục tại x = −1.
Hàm số liên tục tại x = 0.
Hàm số liên tục tại x = 1.
Hàm số liên tục tại \(x = \frac{1}{2}\).
D
Tại \(x = \frac{1}{2}\), ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{2x - 1}}{{{x^3} - 1}} = 0 = f\left( {\frac{1}{2}} \right)\).
Vậy hàm số liên tục tại \(x = \frac{1}{2}\).
\(y = \frac{{3x - 4}}{{x - 2}}\).
y = sinx.
y = x4 – 2x2 + 1.
y = tanx.
A
Hàm số \(y = \frac{{3x - 4}}{{x - 2}}\) có tập xác định D = ℝ\{2}. Do đó hàm số gián đoạn tại x = 2.
Hàm số liên tục tại x0 = 1.
Hàm số liên tục trên ℝ.
Hàm số liên tục trên các khoảng (−∞; 2); (2; +∞).
Hàm số gián đoạn tại x0 = 2.
B
+) Với x > 2, ta có f(x) = −x2 + x + 3 là hàm đa thức
Þ hàm số f(x) liên tục trên khoảng (2; +∞).
+) Với x < 2, ta có f(x) = 5x + 2 là hàm đa thức Þ hàm số f(x) liên tục trên khoảng (−∞; 2).
+) Tại x = 2.
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - {x^2} + x + 3} \right) = 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {5x + 2} \right) = 12\).
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)\). Do đó không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\).
Vậy hàm số gián đoạn tại x0 = 2 hay hàm số không liên tục trên ℝ.
\(m = - \frac{1}{2}\).
\(m = 2\).
\(m = 1\).
\(m = 0\).
C
Ta có \[f(1) = 2m + 1\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} ({x^2} + x + 1) = 3\]
Để hàm số liên tục tại điểm \[{x_0} = 1\]thì \[f(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} y \Rightarrow 2m + 1 = 3 \Leftrightarrow m = 1\].
\( - 4\).
4.
1.
\( - 1\).
B
Hàm số liên tục tại \(x = - 1\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = y\left( { - 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {4x + a} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = y\left( { - 1} \right)\) \( \Leftrightarrow a - 4 = 0 \Leftrightarrow a = 4\).
\[1\].
\[3\].
\[4\].
\[2\].
D
Ta có hai hàm số \({f_2}\left( x \right) = \frac{{3x + 1}}{{x - 2}}\) và \({f_4}\left( x \right) = {\log _3}x\) có tập xác định không phải là tập \(\mathbb{R}\) nên không thỏa yêu cầu.
Cả hai hàm số \({f_1}\left( x \right) = 2{x^3} - 3x + 1\) và \({f_3}\left( x \right) = \cos x + 3\) đều có tập xác định là \(\mathbb{R}\) đồng thời liên tục trên \(\mathbb{R}\).
\(y = \left| x \right|\).
\(y = \frac{x}{{x + 1}}\).
\(y = \sin x\).
\(y = \frac{x}{{\left| x \right| + 1}}\).
B
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{x}{{x + 1}}\) là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Hàm số liên tục trên từng khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\) nên hàm số không liên tục trên \(\mathbb{R}\).
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - 5x + 2}}{{{x^2} - 4}}\).
a) Hàm số f(x) liên tục trên khoảng (3; +∞).
b) Hàm số f(x) liên tục tại x = −2.
c) Hàm số f(x) gián đoạn tại x = 2.
d) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \frac{a}{b}\) với a, b Î ℤ; \(\frac{a}{b}\) tối giản thì a2 + b2 = 25.
a) Tập xác định ℝ\{±2}.
Do đó hàm số liên tục trên các khoảng (−∞; −2); (−2; 2) và (2; +∞).
Do đó hàm số f(x) liên tục trên khoảng (3; +∞).
b) Hàm số f(x) gián đoạn tại x = −2.
c) Hàm số f(x) gián đoạn tại x = 2.
d) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} - 5x + 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = \frac{3}{4}\].
Suy ra a = 3; b = 4. Do đó a2 + b2 = 25.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai;c) Đúng;d) Đúng.
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} & {\rm{khi}}\,x \ne 1\\x + 1 & {\rm{khi}}\,x = 1\end{array} \right.\) và \(g(x) = 4{x^2} - x + 1\). Khi đó:
a) Ta có \(f(1) = 2\).
b) Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
c) Hàm số \(g\left( x \right)\)liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
d) Hàm số \(y = f\left( x \right) - g\left( x \right)\) không liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
a) Ta có: \(f\left( {{x_0}} \right) = f(1) = 1 + 1 = 2\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x + 1) = 2 = f\left( 1 \right){\rm{. }}\)
Vậy hàm số liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
c) Ta có: \(g\left( {{x_0}} \right) = g(1) = 4\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {4{x^2} - x + 1} \right) = 4 = g(1)\)
Vậy hàm số liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
d) Hàm số số \(y = f\left( x \right) - g\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng;c) Đúng;d) Sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 9}}{{{x^3} + 27}}\;\;khi\;x \ne - 3\\a - \frac{{11}}{9}\;\;\;\;khi\;x = - 3\end{array} \right.\). Khi đó:
a) Hàm số f(x) xác định trên ℝ.
b) \(f\left( { - 3} \right) = a - \frac{{11}}{9}\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{{x^2} - 9}}{{{x^3} + 27}}\).
d) Có 23 giá trị nguyên của a Î (0; 25) để hàm số gián đoạn tại x = −3.
a) Hàm số f(x) xác định trên ℝ.
b) \(f\left( { - 3} \right) = a - \frac{{11}}{9}\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{{x^2} - 9}}{{{x^3} + 27}}\).
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{{x^2} - 9}}{{{x^3} + 27}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{x - 3}}{{{x^2} - 3x + 9}} = \frac{{ - 6}}{{27}} = - \frac{2}{9}\).
Hàm số gián đoạn tại x = −3 nên \(a - \frac{{11}}{9} \ne - \frac{2}{9}\) Û a ≠ 1.
Mà a Î (0; 25) và a Î ℤ nên có 23 giá trị.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng;c) Đúng;d) Đúng.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} + ax + b}}{{{x^2} - 4}}\;\;khi\;x < - 2\\x + 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x \ge - 2\end{array} \right.\).
a)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = - 1\).
b) Khi hàm số có giới hạn tại x = −2 thì 3a – b = 12.
c) f(−2) = 1.
d) Khi a = 2, b = 0 hàm số không liên tục tại x = −2.
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \left( {x + 1} \right) = - 1\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{{x^2} + ax + b}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = - 1\) (*)
Đề tồn tại (*) thì 4 – 2a + b = 0 Û b = 2a – 4.
Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{{x^2} + ax + b}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{{x^2} + ax + 2a - 4}}{{{x^2} - 4}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{x + a - 2}}{{x - 2}} = \frac{{a - 4}}{{ - 4}} = - 1\) Û a = 8 Þ b = 12.
Do đó 3a – b = 12.
c) f(−2) = −2 + 1 = −1.
d) Với a = 2; b = 0 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{{x^2} + 2x}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{{x^2} + 2x}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{x}{{x - 2}} = \frac{1}{2} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right)\).
Do đó hàm số không liên tục.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng;c) Sai;d) Đúng.
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} & {\rm{khi}}\,x \ne 1\\a - 1 & {\rm{khi}}\,x = 1\end{array} \right.\left( {a \in \mathbb{R}} \right)\).
a) Hàm số đã cho liên tục trên khoảng (−∞; 1).
b) Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.
c) Với a = 3 thì hàm số đã cho liên tục trên ℝ.
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = 1\).
a) Với x < 1 hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\) liên tục.
b) Hàm số có tập xác định ℝ.
c) Với a = 3 thì f(1) = 2.
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right) = 2\).
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\) nên hàm số đã cho liên tục trên ℝ.
d) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 2\].
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng;c) Đúng;d) Sai.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Khi hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}}\;khi\;x \ne 1\\3m + 1\;\;\;\;\;\;khi\;x = 1\end{array} \right.\) liên tục trên ℝ.
Hãy tính giá trị biểu thức P = 9m2 + 6m – 2.
Ta có hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}}\) liên tục trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 2} \right) = 3\); f(1) = 3m + 1.
Hàm số liên tục trên ℝ khi hàm số liên tục tại x = 1 Û \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\) Û 3 = 3m + 1 Û \(m = \frac{2}{3}\).
Suy ra P = 9m2 + 6m – 2 \( = 9.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} + 6.\left( {\frac{2}{3}} \right) - 2 = 6\).
Trả lời: 6.
Hãng taxi Xanh SM đưa ra giá cước dựa trên số quãng đường di chuyển cho bởi hàm T(x) đồng khi đi quãng đường x (km) cho loại xe 4 chỗ như sau:
\(T\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}1500\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;0 < x \le 1\\a + \left( {x - 1} \right).14000\;\;\;\;\;khi\;1 < x \le 20\\b + \left( {x - 20} \right).12000\;\;khi\;x > 20\end{array} \right.\). Biết rằng tiền cước được cho bởi hàm liên tục khi đó \(\frac{b}{a}\) bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
Với x Î (0; 1) thì T(x) = 15000 liên tục trên (0; 1).
Với x Î (1; 20) thì T(x) = a + (x – 1).14000 liên tục trên (1; 20).
Với x Î (20; +∞) thì T(x) = b + (x – 20).12000 liên tục trên (20; +∞).
Để hàm số liên tục tại x = 1 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} T\left( x \right) = T\left( 1 \right) \Rightarrow a = 15000\).
Để hàm liên tục tại x = 20 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ - }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ + }} T\left( x \right) = T\left( {20} \right) \Rightarrow b = 15000 + 14000.19 = 281000\).
Vậy \(\frac{b}{a} = \frac{{281}}{{15}} \approx 18,7\).
Trả lời: 18,7.
Tìm giá trị của tham số m để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {2x - 1} - 1}}{{x - 1}}\;\;khi\;x \ne 1\\m - 2024\;\;\;\;\;khi\;x = 1\end{array} \right.\) liên tục tại x = 1.
Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {2x - 1} - 1}}{{x - 1}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt {2x - 1} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{2}{{\sqrt {2x - 1} + 1}} = 1\].
Để hàm số liên tục tại x = 1 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\) Û m – 2024 = 1 Û m = 2025.
Trả lời: 2025.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x - 1\;khi\;x > 2\\mx - 1\;\;\;\;\;\;\;khi\;x \le 2\end{array} \right.\). Tìm giá trị của m để hàm số liên tục tại điểm x = 2.
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{x^2} + 3x - 1} \right) = 9\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {mx - 1} \right) = 2m - 1 = f\left( 2 \right)\).
Để hàm số liên tục ℝ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại điểm x = 2 thì 2m – 1 = 9 Û m = 5.
Trả lời: 5.
Hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}ax + b + 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} khi{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x > 0\\a\cos x + b\sin x{\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} {\rm{ }}khi{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \le 0\end{array} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi a – b bằng bao nhiêu?
Khi \(x < 0\) thì \(f\left( x \right) = a\cos x + b\sin x\) liên tục với \(x < 0\).
Khi \(x > 0\) thì \(f\left( x \right) = ax + b + 1\) liên tục với mọi \(x > 0\).
Tại \(x = 0\) ta có \(f\left( 0 \right) = a\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\mkern 1mu} f\left( x \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\mkern 1mu} \left( {ax + b + 1} \right)\)\( = b + 1\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {\mkern 1mu} f\left( x \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {\mkern 1mu} \left( {a\cos x + b\sin x} \right)\)\( = a\).
Để hàm số liên tục tại \(x = 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\mkern 1mu} f\left( x \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {\mkern 1mu} f\left( x \right)\)\( = f\left( 0 \right)\)\( \Leftrightarrow a = b + 1\)\( \Leftrightarrow a - b = 1\).
Trả lời: 1.
