Đặt  $y=f\left(x\right)=\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}$

Với mọi x₀ ∈ (1; 2), ta có:

 $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}\right)=\sqrt{x_0-1}+\sqrt{2-x_0}=f\left(x_0\right)$

Ta lại có:

 $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}\right)=1=f\left(1\right)$;

 $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}\right)=1=f\left(2\right)$.

Vậy hàm số  $y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}$ liên tục trên [1; 2].

 $P\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}4,5xkhi0<x\le 400\\ 4x+kkhix>400\end{array}\right.$ 

a) Với k = 0, hàm số  $P\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}4,5xkhi0<x\le 400\\ 4xkhix>400\end{array}\right.$.

+) Lấy x₀ ∈ (0; 400) khi đó P(x) = 4,5x

Suy ra  $\underset{x\to x_0}{\lim }P\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(4,5x\right)=4,5x_0=P\left(x_0\right)$

Do đó P(x) liên tục trên (0; 400) .

+) Tại x₀ = 400, ta có:

 $\underset{x\to {400}^{-}}{\lim }P\left(x\right)=\underset{x\to {400}^{-}}{\lim }\left(4,5x\right)=4,5.400=1800$.

 $\underset{x\to {400}^{+}}{\lim }P\left(x\right)=\underset{x\to {400}^{+}}{\lim }\left(4x\right)=4.400=1600$.

Suy ra  $\underset{x\to {400}^{-}}{\lim }P\left(x\right)\ne \underset{x\to {400}^{+}}{\lim }P\left(x\right)$. Do đó không tồn tại  $\underset{x\to 400}{\lim }P\left(x\right)$.

Vì vậy hàm số không liên tục tại x = 400.

+) Lấy x₀ ∈ (400; +∞) khi đó P(x) = 4x

Suy ra  $\underset{x\to x_0}{\lim }P\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(4x\right)=4x_0=P\left(x_0\right)$

Do đó P(x) liên tục trên (400; +∞) .

Vậy hàm số liên tục trên (0; 400) và (400; +∞) .

b) Để hàm số P(x) liên tục trên (0; +∞) thì P(x) phải liên tục trên x₀ = 400.

Do đó  $\underset{x\to {400}^{-}}{\lim }P\left(x\right)=\underset{x\to {400}^{+}}{\lim }P\left(x\right)\iff 1800=4.400+k\iff k=200$.

Vậy với k = 200 thì hàm số liên tục trên (0; +∞).

a) +) Xét hàm số:  $y=f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}$ 

Điều kiện xác định của hàm số là x ≠ 1.

Vậy tập xác định của hàm số là: D = ℝ \ {1}.

+) Xét hàm số:  $y=g\left(x\right)=\sqrt{4-x}$

Điều kiện xác định của hàm số là: 4 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 4.

Vậy tập xác định của hàm số là: D = (– ∞; 4].

b) +) Xét hàm số f(x):

Với x₀ ∈ ( – ∞; 1) thì  $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{1-x}=\frac{1}{1-x_0}=f\left(x_0\right)$.

Suy ra hàm số f(x) liên tục trên ( – ∞; 1).

Với x₀ ∈ ( 1; + ∞) thì  $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{1-x}=\frac{1}{1-x_0}=f\left(x_0\right)$.

Suy ra hàm số f(x) liên tục trên ( 1; + ∞).

+) Xét hàm số g(x):

Với x₀ ∈ ( – ∞; 4) thì  $\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt{4-x}=\sqrt{4-x_0}=g\left(x_0\right)$.

Tại x₀ = 4 thì  $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\sqrt{4-x}=0=g\left(4\right)$.

Vậy hàm số liên tục trên (– ∞; 4].

Đặt  $y=f\left(x\right)=\sqrt{x^2-4}$

Tập xác định của hàm số D = (– ∞; 2) ∪ (2; +∞).

Với x₀ ∈ ( – ∞; 2) thì  $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt{x^2-4}=\sqrt{x_0^2-4}=f\left(x_0\right)$

Suy ra hàm số liên tục trên ( – ∞; 2).

Với x₀ ∈ ( 2; +∞) thì  $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt{x^2-4}=\sqrt{x_0^2-4}=f\left(x_0\right)$

Suy ra hàm số liên tục trên ( 2; +∞).

+) Với x ≠ 0 thì  $f\left(x\right)=\frac{x^2-2x}{x}$ liên tục trên ( – ∞; 0) và (0; + ∞).

+) Với x = 0 thì

Ta có:  $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2-2x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\left(x-2\right)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\left(x-2\right)=-2$ và f(0) = a.

Để y = f(x) liên tục trên ℝ thì f(x) phải liên tục tại x = 0 do đó a = – 2.

+) Với x₀ ∈ (0; 0,7) hàm số f(x) = 10 000 là hàm đa thức nên liên tục trên (0; 0,7).

+) Với x₀ ∈ (0,7; 20) hàm số f(x) = 10 000 + (x – 0,7).14 000 là hàm đa thức nên liên tục trên (0,7; 20).

+) Với x₀ ∈ (20; +∞) hàm số f(x) = 280 200 + (x – 20).12 000 là hàm đa thức nên liên tục trên (20; +∞).

+) Tại x₀ = 0,7 ta có:

 $\underset{x\to 0,7^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0,7^{-}}{\lim }10000=10000$;

 $\underset{x\to 0,7^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0,7^{+}}{\lim }\left[10000+\left(x-0,7\right).14000\right]=10000$.

Suy ra  $\underset{x\to 0,7^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0,7^{+}}{\lim }f\left(x\right)=10000$. Do đó tồn tại  $\underset{x\to 0,7}{\lim }f\left(x\right)=10000$.

Mà f(0,7) = 10 000 nên  $\underset{x\to 0,7}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0,7\right)=10000$.

Vì vậy hàm số liên tục tại x₀ = 0,7.

+) Tại x₀ = 20 ta có:

 $\underset{x\to {20}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {20}^{-}}{\lim }\left[10000+\left(x-0,7\right).14000\right]=280200$.

 $\underset{x\to {20}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {20}^{+}}{\lim }\left[280200+\left(x-20\right).12000\right]=280200$.

Suy ra  $\underset{x\to {20}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {20}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=280200$. Do đó tồn tại  $\underset{x\to 20}{\lim }f\left(x\right)=280200$.

Mà f(20) = 280 200 nên  $\underset{x\to 20}{\lim }f\left(x\right)=f\left(20\right)=280200$.

Vì vậy hàm số liên tục tại x = 20.

Vậy hàm số T(x) liên tục trên ℝ.

Xét hàm số  $y=h\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)=\frac{1}{x-1}+\sqrt{4-x}$ có tập xác định D = [4; +∞) \ {1}.

Tại x₀ = 2 ∈ D thì  $\underset{x\to 2}{\lim }h\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }\left(\frac{1}{x-1}+\sqrt{4-x}\right)=3=h\left(2\right)$.

Do đó hàm số liên tục tại x₀ = 2.

a) Đặt  $y=f\left(x\right)=\sqrt{x^2+1}+3-x$

Tập xác định của hàm số D = ℝ.

Khì đó  $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(\sqrt{x^2+1}+3-x\right)=\sqrt{x_0^2+1}+3-x_0=f\left(x_0\right)$.

Vậy hàm số liên tục trên ℝ.

b) Đặt  $y=g\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x}.\text{cos\hspace{0.17em}}x$

Tập xác định của hàm số D = ℝ\{0}.

Trên các khoảng (– ∞; 0) và (0; +∞) ta thấy hàm số  $y=\frac{x^2-1}{x}$ và liên tục.

Vậy hàm số đã cho liên tục trại mọi điểm x₀ ≠ 0.

a) Xét tam giác OMN vuông tại M có:

 $MN=\sqrt{O{N}^2-O{M}^2}=\sqrt{1-x^2}$

 $\Rightarrow NP=2\sqrt{1-x^2}$

Diện tích của tam giác ONP là:

 $S\left(x\right)=\frac{1}{2}.NP.OM=\frac{1}{2}.2\sqrt{1-x^2}.x=x\sqrt{1-x^2}$

b) Trên ( – 1; 1) hàm số  $y=\sqrt{1-x^2}$ xác định và liên tục và hàm số y = x liên tục.

Do đó hàm số S(x) liên tục trên (– 1; 1).

c) Ta có:

 $\underset{x\to -1^{+}}{\text{lim}}\text{S}\left(x\right)=\underset{x\to -1^{+}}{\text{lim}}\left(\sqrt{1-x^2}.x\right)=0$

 $\underset{x\to 1^{-}}{\text{lim}}\text{S}\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\text{lim}}\left(\sqrt{1-x^2}.x\right)=0$.

a) Tại x = 0, ta có:

 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(x^2+1\right)=1$;

 $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(1-x\right)=1$.

Suy ra  $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=1$. Do đó  $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=1$

Mà f(0) = 0² + 1 = 1 nên  $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)=1$.

Vậy hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 0.

b) Tại x = 1 ta có:

 $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x^2+2\right)=3$;

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }x=1$.

Suy ra  $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)$. Do đó không tồn tại  $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$.

Vậy hàm số không liên tục tại x = 1.

Ta có:

 $\underset{x\to -2}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x^2-4}{x+2}=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{x+2}=\underset{x\to -2}{\lim }\left(x-2\right)=-4$.

 $f(-2)=a$.

Để hàm số f(x) liên tục trên ℝ thì hàm số liên tục tại x = – 2

 $\iff \underset{x\to -2}{\lim }f\left(x\right)=f\left(-2\right)$

 $\iff a=-4$

Vậy a = – 4 thì hàm số đã cho liên tục trên ℝ.

a) Tập xác định của hàm số D = ℝ \ {– 2; 2}.

Hàm số  $f\left(x\right)=\frac{x}{x^2-4}$ liên tục tại mọi điểm khác – 2 và 2.

b) Tập xác định của hàm số D = [– 2; 2].

Hàm số  $g\left(x\right)=\sqrt{9-x^2}$liên tục trên [– 2; 2].

c) Tập xác định của hàm số:  $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Hàm số y = cosx hoặc y = tanx đều liên tục trên các khoảng xác định của nó.

Vậy h(x) = cosx + tanx liên tục trên từng khoảng xác định.

+) Xét hàm số y = f(x).g(x) có tập xác định D = [1; +∞).

Hàm số f(x) = 2x – sinx, g(x) =  $\sqrt{x-1}$ đều liên tục trên D.

Vậy hàm số y = f(x).g(x) liên tục trên D.

+) Xét hàm số  $y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ có tập xác định D = (1; +∞).

Hàm số f(x) = 2x – sinx, g(x) =  $\sqrt{x-1}$ đều liên tục trên D.

Vậy hàm số  $y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ liên tục trên D.

+) Với x ∈ (0; 2) ta có: C(x) = 60 000 nên hàm số liên tục trên (0; 2).

+) Với x ∈ (2; 4) ta có: C(x) = 100 000 nên hàm số liên tục trên (2; 4).

+) Với x ∈ (4; 24) ta có: C(x) = 200 000 nên hàm số liên tục trên (4; 24).

+) Tại x = 2 ta có:  $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }C\left(x\right)=60000\ne 100000=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }C\left(x\right)$. Suy ra không tồn tại  $\underset{x\to 2}{\lim }C\left(x\right)$.

+) Tại x = 4 ta có:  $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }C\left(x\right)=100000\ne 200000=\underset{x\to 4^{+}}{\lim }C\left(x\right)$. Suy ra không tồn tại  $\underset{x\to 4}{\lim }C\left(x\right)$.

+) Ta có:  $y=\frac{GMr}{R^3}$ liên tục trên (0; R) và  $y=\frac{GM}{r^2}$ liên tục trên (R; + ∞).

+) Tại r = R, ta có:

 $\underset{r\to R^{-}}{\lim }F\left(r\right)=\underset{r\to R^{-}}{\lim }\frac{GMr}{R^3}=\frac{GM}{R^2}$

 $\underset{r\to R^{+}}{\lim }F\left(r\right)=\underset{r\to R^{-}}{\lim }\frac{GM}{r^2}=\frac{GM}{R^2}$

Suy ra  $\underset{r\to R^{-}}{\lim }F\left(r\right)=\underset{r\to R^{+}}{\lim }F\left(r\right)$. Do đó  $\underset{r\to R}{\lim }F\left(r\right)=\frac{GM}{R^2}$

Mà  $F\left(R\right)=\frac{GM}{R^2}$ nên  $\underset{r\to R}{\lim }F\left(r\right)=F\left(R\right)=\frac{GM}{R^2}$ 

Suy ra hàm số liên tục tại x = R.

Vậy hàm số liên tục trên (0; +∞).