Ta có \({u_n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} = 1 - \frac{1}{{n + 1}}\).

Do đó 0 < un £ 1, ∀n ³ 1.

Vậy dãy số đã cho bị chặn.

Ta có un = 2n + 1; un + 1 = 2(n + 1) + 1 = 2n + 3.

Suy ra un + 1 – un = 2 > 0, ∀n Î ℕ*.

Vậy (un) giảm.

Ta có un = 4 – n £ 3, ∀n Î ℕ*.

Vậy (un) bị chặn trên và không bị chặn dưới.

a) Ta có u1 = −1; u2 = u1 + 3 = 2; u3 = u2 + 3 = 5.

b) Ta có u5 = u4 + 3 = 11.

c) Từ giả thiết ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 1\\{u_2} = {u_1} + 3\\{u_3} = {u_2} + 3\\...................\\{u_n} = {u_{n - 1}} + 3\end{array} \right.\)

Cộng theo vế toàn bộ các đẳng thức trên và triệt tiêu các số hạng giống nhau ở hai vế, ta có:

un = −1 + 3(n – 1) = 3n – 4.

Vậy công thức số hạng tổng quát là un = 3n – 4.

d) Ta có 101 = 3n – 4 Þ n = 35.

Vậy 101 là số hạng thứ 35 của dãy số đã cho.

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Sai;   d) Đúng.

 a) Ta có \({u_{10}} = \frac{{2.10 - 13}}{{3.10 - 2}} = \frac{1}{4}\).

b) Ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n - 11}}{{3n + 1}} - \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}} = \frac{{35}}{{\left( {3n + 1} \right)\left( {3n - 2} \right)}} > 0\) với mọi n ³ 1.

suy ra un+1 > un, ∀n ³ 1 Þ dãy (un) là dãy tăng .

c) Dãy bị chặn dưới bởi \({u_1} = \frac{{2.1 - 13}}{{3.1 - 2}} =  - 11\).

Mặt khác \({u_n} = \frac{2}{3} - \frac{{35}}{{3\left( {3n - 2} \right)}} \Rightarrow  - 11 \le {u_n} \le \frac{2}{3},\forall n \ge 1\).

Vậy dãy (un) là dãy bị chặn.

d) Dãy số bị chặn trên bởi \(\frac{2}{3}\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Sai.

a) Ta có u4 = 34 = 81 < 100.

b) Ta có u1 = 3; u9 = 39 = 19683; u5 = 35 = 243.

Khi đó \(\frac{{{u_1} + {u_9}}}{2} = \frac{{3 + 19683}}{2} = 9843 \ne {u_5}\).

c) Ta có \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{3^n}}} = 3\). Do đó dãy (un) là dãy tăng.

Có un ³  3, ∀n Î ℕ*. Suy ra dãy (un) bị chặn dưới.

d) A = 1 + u1 + u2 + ...+ u2024 = 1 + 3 + 32 + 33 + ...+ 32024.

Ta có 3A = 3 + 32 + ... + 32025.

Lấy 3A – A = 32025 – 1 Þ \(A = \frac{{{3^{2025}} - 1}}{2} \ne \frac{{{3^{2024}} - 1}}{2}\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Sai;   d) Sai.

a) Ta có \({u_{n + 1}} = 2 + \frac{5}{{{5^{n + 1}}}} = 2 + \frac{5}{{{5^n}.5}} = 2 + \frac{1}{{{5^n}}}\).

b) Dãy số \(2 < {u_n} = 2 + \frac{5}{{{5^n}}} \le 3\).

Suy ra dãy số (un) là dãy số bị chặn.

c) Xét \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{2 + \frac{1}{{{5^n}}}}}{{2 + \frac{5}{{{5^n}}}}}\)\( = 1 - \frac{4}{{{{2.5}^n} + 5}} < 1\). Do đó (un) là dãy số giảm.

d) Có \(2 + \frac{5}{{{5^n}}} = \frac{{255}}{{12}}\)\( \Leftrightarrow \frac{5}{{{5^n}}} = \frac{{77}}{4}\)\( \Leftrightarrow {5^n} = \frac{{20}}{{77}}\).

Không tồn tại n Î ℕ* để \({5^n} = \frac{{20}}{{77}}\). Do đó \(\frac{{255}}{{12}}\) không là số hạng thứ 5 của dãy số.

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Đúng;   d) Sai.

a) Ta có \({u_{10}} = \frac{{ - 1}}{{11}}\).

b) \({u_9} = \frac{1}{{10}}\).

c) Ta có \({u_9} = \frac{1}{{10}}\); \({u_{10}} = \frac{{ - 1}}{{11}}\); \({u_{11}} = \frac{1}{{12}};{u_{12}} =  - \frac{1}{{13}}\). Suy ra dãy (un) không phải là dãy số tăng cũng không phải là dãy số giảm.

d) Ta có \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{n + 1}}} \right| = \frac{1}{{n + 1}} < 1,\forall n \in \mathbb{N}*\) nên (un) là dãy số bị chặn

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Đúng.

Có s2 = s1 + 25 = 200 + 25 = 225;

s3 = s2 + 25 = 225 + 25 = 250;

s4 = s3 + 25 = 250 + 25 = 275;

s5 = s4 + 25 = 275 + 25 = 300.

Vậy lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty là 300 triệu đồng.

Trả lời: 300.

Số tiền ông An nhận được sau 1 năm (12 tháng) là

\({A_{12}} = 100{\left( {1 + \frac{{0,06}}{{12}}} \right)^{12}} \approx 106\) triệu đồng.

Trả lời: 106.

Đặt u1 = 5, gọi số vi khuẩn sau n lần phân chia là un + 1, khi đó ta có dãy số (un) thỏa mãn

u1 = 5; un + 1 = 2un.

Ta có u2 = 10; u3 = 20.

Trả lời: 20.

Có  −n2 + n + 1 = −19 Û −n2 + n + 20 = 0 Û \(\left[ \begin{array}{l}n = 5\\n =  - 4\end{array} \right.\).

Do n Î ℕ* nên n = 5.

Do đó −19 là số hạng thứ 5 của dãy.

Trả lời: 5.

Ta có \({u_6} = \frac{{2.6 + 1}}{{{6^2}}} = \frac{{13}}{{36}} \approx 0,4\).

Trả lời: 0,4.