20 câu Trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Bài 1. Dãy số (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Cho dãy số (un) biết u1 = 2 và \({u_n} = \frac{{{u_{n - 1}} + 1}}{2}\) với n ³ 2. Ba số hạng đầu tiên của dãy số lần lượt là:
\(2;1;\frac{3}{2}\).
\(2;\frac{3}{2};\frac{5}{2}\).
\(2;\frac{3}{2};\frac{5}{4}\).
\(2;\frac{3}{2};2\).
C
Ta có u1 = 2; \({u_2} = \frac{{2 + 1}}{2} = \frac{3}{2};{u_3} = \frac{{\frac{3}{2} + 1}}{2} = \frac{5}{4}\).
\(\frac{{19}}{{12}}\).
\(\frac{{33}}{{34}}\).
\(\frac{{199}}{{102}}\).
\(\frac{3}{4}\).
C
\({u_{10}} = \frac{{{{2.10}^2} - 1}}{{{{10}^2} + 2}} = \frac{{199}}{{102}}\).
8.
6.
9.
7.
D
Theo đề ta có \(\frac{{n + 1}}{{3n - 2}} = \frac{8}{{19}}\)\( \Leftrightarrow 19\left( {n + 1} \right) = 8\left( {3n - 2} \right)\)\( \Leftrightarrow 5n = 35 \Leftrightarrow n = 7\).
\({u_2} = \frac{5}{2}\).
\({u_4} = \frac{{31}}{8}\).
\({u_3} = \frac{{15}}{4}\).
\({u_5} = \frac{{63}}{{16}}\).
A
Ta có \({u_2} = \frac{{{u_1}}}{2} + 2 = \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2}\); \({u_3} = \frac{{{u_2}}}{2} + 2 = \frac{7}{4} + 2 = \frac{{15}}{4}\); \({u_4} = \frac{{{u_3}}}{2} + 2 = \frac{{15}}{8} + 2 = \frac{{31}}{8}\);
\({u_5} = \frac{{{u_4}}}{2} + 2 = \frac{{31}}{{16}} + 2 = \frac{{63}}{{16}}\).
un = 7n + 7.
un = 7n.
un = 7n + 1.
un không viết được dưới dạng công thức.
C
Ta có 8 = 7.1 + 1; 15 = 7.2 + 1; 22 = 7.3 + 1; 29 = 7.4 + 1; 36 = 7.5 + 1; …
Vậy dãy trên có số hạng tổng quát là un = 7n + 1.
1; 1; 1; 1; 1; 1; ....
\(1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{{16}};....\).
\(1; - \frac{1}{2};\frac{1}{4}; - \frac{1}{8};\frac{1}{{16}};....\).
1; 3; 5; 7; 9; ….
D
Xét đáp án A: 1; 1; 1; 1; 1; 1; .... đây là dãy hằng nên không tăng không giảm.
Xét đáp án B: \(1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{{16}};....\)Þ u1 > u2 > u3 > ... > un > ... nên dãy này là dãy giảm.
Xét đáp án C: \(1; - \frac{1}{2};\frac{1}{4}; - \frac{1}{8};\frac{1}{{16}};....\) Þ u1 > u2 < u3 nên dãy này không tăng, không giảm.
Xét đáp án D: 1; 3; 5; 7; 9; …. Þ un < un + 1, n Î ℕ* nên dãy này là dãy tăng.
un = (−1)n.
un = 2n.
un = 3n + 1.
\({u_n} = \frac{1}{{{3^n}}}\).
D
Xét dãy số (un) có \({u_n} = \frac{1}{{{3^n}}}\), ta thấy un > 0, ∀n Î ℕ* và \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\frac{1}{{{3^{n + 1}}}}}}{{\frac{1}{{{3^n}}}}} = \frac{1}{3} < 1\) nên dãy số (un) là dãy số giảm.
Không bị chặn.
Bị chặn trên.
Bị chặn dưới.
Bị chặn.
D
Ta có \({u_n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} = 1 - \frac{1}{{n + 1}}\).
Do đó 0 < un £ 1, ∀n ³ 1.
Vậy dãy số đã cho bị chặn.
u2 = 7.
(un) tăng.
u1 = 1.
(un) giảm.
D
Ta có un = 2n + 1; un + 1 = 2(n + 1) + 1 = 2n + 3.
Suy ra un + 1 – un = 2 > 0, ∀n Î ℕ*.
Vậy (un) giảm.
(un) bị chặn.
(un) bị chặn dưới và không bị chặn trên.
(un) bị chặn trên và không bị chặn dưới.
(un) tăng.
C
Ta có un = 4 – n £ 3, ∀n Î ℕ*.
Vậy (un) bị chặn trên và không bị chặn dưới.
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho dãy số (un), biết \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3\end{array} \right.\) với n ³ 1.
a) Ba số hạng đầu tiên của dãy số lần lượt là −1; 2; 5.
b) Số hạng thứ năm của dãy là 13.
c) Công thức số hạng tổng quát của dãy số là un = 2n – 3.
d) 101 là số hạng thứ 35 của dãy số đã cho.
a) Ta có u1 = −1; u2 = u1 + 3 = 2; u3 = u2 + 3 = 5.
b) Ta có u5 = u4 + 3 = 11.
c) Từ giả thiết ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_2} = {u_1} + 3\\{u_3} = {u_2} + 3\\...................\\{u_n} = {u_{n - 1}} + 3\end{array} \right.\)
Cộng theo vế toàn bộ các đẳng thức trên và triệt tiêu các số hạng giống nhau ở hai vế, ta có:
un = −1 + 3(n – 1) = 3n – 4.
Vậy công thức số hạng tổng quát là un = 3n – 4.
d) Ta có 101 = 3n – 4 Þ n = 35.
Vậy 101 là số hạng thứ 35 của dãy số đã cho.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho dãy số (un) biết \({u_n} = \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}}\). Khi đó:
a) Dãy số (un) có số hạng thứ 10 là \({u_{10}} = \frac{1}{4}\).
b) Dãy (un) là dãy không tăng, không giảm.
c) Dãy số (un) là dãy bị chặn.
d) Dãy số (un) bị chặn trên bởi \(\frac{1}{3}\).
a)Ta có\({u_{10}} = \frac{{2.10 - 13}}{{3.10 - 2}} = \frac{1}{4}\).
b) Ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n - 11}}{{3n + 1}} - \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}} = \frac{{35}}{{\left( {3n + 1} \right)\left( {3n - 2} \right)}} > 0\) với mọi n ³ 1.
suy ra un+1 > un, ∀n ³ 1 Þ dãy (un) là dãy tăng .
c) Dãy bị chặn dưới bởi \({u_1} = \frac{{2.1 - 13}}{{3.1 - 2}} = - 11\).
Mặt khác \({u_n} = \frac{2}{3} - \frac{{35}}{{3\left( {3n - 2} \right)}} \Rightarrow - 11 \le {u_n} \le \frac{2}{3},\forall n \ge 1\).
Vậy dãy (un) là dãy bị chặn.
d) Dãy số bị chặn trên bởi \(\frac{2}{3}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho dãy số (un) với un = 3n, ∀n Î ℕ*.
a) u4 < 100.
b) \(\frac{{{u_1} + {u_9}}}{2} = {u_5}\).
c) Dãy số tăng và bị chặn.
d) 1 + u1 + u2 + ...+ u2024 = \(\frac{{{u_{2024}} - 1}}{2}\).
a) Ta có u4 = 34 = 81 < 100.
b) Ta có u1 = 3; u9 = 39 = 19683; u5 = 35 = 243.
Khi đó \(\frac{{{u_1} + {u_9}}}{2} = \frac{{3 + 19683}}{2} = 9843 \ne {u_5}\).
c) Ta có \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{3^n}}} = 3\). Do đó dãy (un) là dãy tăng.
Có un ³ 3, ∀n Î ℕ*. Suy ra dãy (un) bị chặn dưới.
d) A = 1 + u1 + u2 + ...+ u2024 = 1 + 3 + 32 + 33 + ...+ 32024.
Ta có 3A = 3 + 32 + ... + 32025.
Lấy 3A – A = 32025 – 1 Þ \(A = \frac{{{3^{2025}} - 1}}{2} \ne \frac{{{3^{2024}} - 1}}{2}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Cho dãy số (un) với \({u_n} = 2 + \frac{5}{{{5^n}}}\). Khi đó:
a) \({u_{n + 1}} = 2 + \frac{1}{{{5^n}}}\).
b) Dãy số (un) là dãy số bị chặn.
c) Dãy số (un) là dãy số giảm.
d) \(\frac{{255}}{{12}}\) là số hạng thứ 5 của dãy số.
a) Ta có \({u_{n + 1}} = 2 + \frac{5}{{{5^{n + 1}}}} = 2 + \frac{5}{{{5^n}.5}} = 2 + \frac{1}{{{5^n}}}\).
b) Dãy số \(2 < {u_n} = 2 + \frac{5}{{{5^n}}} \le 3\).
Suy ra dãy số (un) là dãy số bị chặn.
c) Xét \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{2 + \frac{1}{{{5^n}}}}}{{2 + \frac{5}{{{5^n}}}}}\)\( = 1 - \frac{4}{{{{2.5}^n} + 5}} < 1\). Do đó (un) là dãy số giảm.
d) Có \(2 + \frac{5}{{{5^n}}} = \frac{{255}}{{12}}\)\( \Leftrightarrow \frac{5}{{{5^n}}} = \frac{{77}}{4}\)\( \Leftrightarrow {5^n} = \frac{{20}}{{77}}\).
Không tồn tại n Î ℕ* để \({5^n} = \frac{{20}}{{77}}\). Do đó \(\frac{{255}}{{12}}\) không là số hạng thứ 5 của dãy số.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Cho dãy số (un) với \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{n + 1}}\). Khi đó:
a) Số hạng thứ 10 của dãy số là \(\frac{{ - 1}}{{11}}\).
b) Số hạng thứ 9 của dãy số là \(\frac{1}{{10}}\).
c) Dãy số (un) là một dãy số giảm.
d) Dãy số (un) bị chặn.
a) Ta có \({u_{10}} = \frac{{ - 1}}{{11}}\).
b) \({u_9} = \frac{1}{{10}}\).
c) Ta có \({u_9} = \frac{1}{{10}}\); \({u_{10}} = \frac{{ - 1}}{{11}}\); \({u_{11}} = \frac{1}{{12}};{u_{12}} = - \frac{1}{{13}}\). Suy ra dãy (un) không phải là dãy số tăng cũng không phải là dãy số giảm.
d) Ta có \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{n + 1}}} \right| = \frac{1}{{n + 1}} < 1,\forall n \in \mathbb{N}*\) nên (un) là dãy số bị chặn
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Anh Thanh vừa được tuyển dụng vào một công ty công nghệ, được cam kết lương năm đầu sẽ là 200 triệu đồng và lương mỗi năm tiếp theo sẽ được tăng thêm 25 triệu đồng. Gọi sn (triệu đồng) là lương vào năm thứ n mà anh Thanh làm việc cho công ty đó. Khi đó ta có s1 = 200, sn = sn – 1 + 25 với n ³ 2. Lương của anh Thanh vào năm thứ 5 là bao nhiêu triệu đồng?
Có s2 = s1 + 25 = 200 + 25 = 225;
s3 = s2 + 25 = 225 + 25 = 250;
s4 = s3 + 25 = 250 + 25 = 275;
s5 = s4 + 25 = 275 + 25 = 300.
Vậy lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty là 300 triệu đồng.
Trả lời: 300.
Ông An gửi tiết kiệm 100 triệu đồng kì hạn1 tháng với lãi suất 6% một năm theo hình thức lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau n tháng được cho bởi công thức \({A_n} = 100{\left( {1 + \frac{{0,06}}{{12}}} \right)^n}\). Số tiền ông An nhận được sau 1 năm là bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Số tiền ông An nhận được sau 1 năm (12 tháng) là
\({A_{12}} = 100{\left( {1 + \frac{{0,06}}{{12}}} \right)^{12}} \approx 106\) triệu đồng.
Trả lời: 106.
Người ta nuôi cấy 5 con vi khuẩn ecoli trong môi trường nhân tạo. Cứ 30 phút thì vi khuẩn ecoli sẽ nhân đôi 1 lần. Tính số lượng vi khuẩn thu được sau 2 lần nhân đôi.
Đặt u1 = 5, gọi số vi khuẩn sau n lần phân chia là un + 1, khi đó ta có dãy số (un) thỏa mãn
u1 = 5; un + 1 = 2un.
Ta có u2 = 10; u3 = 20.
Trả lời: 20.
Có −n2 + n + 1 = −19 Û −n2 + n + 20 = 0 Û \(\left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = - 4\end{array} \right.\).
Do n Î ℕ* nên n = 5.
Do đó −19 là số hạng thứ 5 của dãy.
Trả lời: 5.
Cho dãy số (un) với \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{{n^2}}}\). Hãy tính số hạng thứ 6 của dãy số (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Ta có\({u_6} = \frac{{2.6 + 1}}{{{6^2}}} = \frac{{13}}{{36}} \approx 0,4\).
Trả lời: 0,4.
