Lời giải

a) Ta có: 5 số hạng đầu tiên của dãy (u_n) là: u₁ = 2.1² + 1 = 3; u₂ = 2.2² + 1 = 9; u₃ = 2.3² + 1 = 19; u₄ = 2.4² + 1 = 33; u­₅ = 2.5² + 1 = 51.

b) Ta có 5 số hạng đầu của dãy u_n = \(\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{2n - 1}}\) là:

\({u_1} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^1}}}{{2.1 - 1}} = \frac{{ - 1}}{1} = 1;{u_2} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2}}}{{2.2 - 1}} = \frac{1}{3};{u_3} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^3}}}{{2.3 - 1}} = \frac{1}{5};{u_4} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^4}}}{{2.4 - 1}} = \frac{1}{7};{u_5} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^5}}}{{2.5 - 1}} = - \frac{1}{9}\).

c) Ta có 5 số hàng đầu của dãy u_n = \(\frac{{{2^n}}}{n}\) là:

u₁ = \(\frac{{{2^1}}}{1} = 2\); u₂ = \(\frac{{{2^2}}}{1} = 4\); u₃ = \(\frac{{{2^3}}}{1} = 8\); u₄ = \(\frac{{{2^4}}}{1} = 16\); u₅ = \(\frac{{{2^5}}}{1} = 32\).

d) Ta có 5 số hạng đầu của dãy u_n = \({\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n}\) là:

u₁ = \({\left( {1 + \frac{1}{1}} \right)^1} = 2\); u₂ = \({\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4}\); u₃ = \({\left( {1 + \frac{1}{3}} \right)^3} = \frac{{64}}{{27}}\); u₄ = \({\left( {1 + \frac{1}{4}} \right)^4} = \frac{{625}}{{256}}\); u₅ = \({\left( {1 + \frac{1}{5}} \right)^5} = \frac{{7776}}{{3125}}\).

Lời giải

a) Số chấm ở hàng thứ nhất là: u₁ = 1;

Số chấm ở hàng thứ hai là: u₂ = 2;

Số chấm ở hàng thứ ba là: u₃ = 3;

Số chấm ở hàng thứ tư là: u₄ = 4;

Vậy số chấm ở hàng thứ n là: u_n = n.

b) Diện tích của các ô màu ở hàng thứ nhất là: v₁ = 1 = 1³;

Diện tích của các ô màu ở hàng thứ hai là: v₂ = 8 = 2³;

Diện tích của các ô màu ở hàng thứ ba là: v₃ = 27 = 3³;

Diện tích của các ô màu ở hàng thứ tư là: v₄ = 64 = 4³;

Vậy diện tích của các ô màu ở hàng thứ n là: v_n = n³.

Lời giải

a) Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{n + 1 - 3}}{{n + 1 + 2}} = \frac{{n - 2}}{{n + 3}}\)

Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n - 2}}{{n + 3}} - \frac{{n - 3}}{{n + 2}} = \frac{{{n^2} - 4 - {n^2} + 9}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{5}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Suy ra u_n+1 > u_n

Vì vậy dãy số đa cho là dãy số tăng.

b) Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} = \frac{{{{3.3}^n}}}{{2\left( {n + 1} \right){{.2}^n}.n!}} = \frac{3}{{2\left( {n + 1} \right)}}.{u_n}\)

Vì n ∈ ℕ^* nên \(\frac{3}{{2\left( {n + 1} \right)}} < \frac{3}{2}\) suy ra u_n+1 < u_n.

Vì vậy dãy số đa cho là dãy số giảm.

c) Ta có: u_n+1 = (– 1)ⁿ⁺¹.(2ⁿ⁺¹ + 1)

+) Nếu n chẵn thì u_n+1 =  – (2.2ⁿ + 1) và u_n = 2ⁿ + 1. Do đó u_n+1 < u_n.

Vì vậy với n chẵn thì dãy số đã cho là dãy giảm.

+) Nếu n lẻ thì u_n+1 = 2.2ⁿ + 1 và u_n = – (2ⁿ + 1). Do đó u_n+1 > u_n.

Vì vậy với n chẵn thì dãy số đã cho là dãy tăng.

Lời giải

a) Ta có: n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 suy ra n² + 2 ≥ 3

Do đó u_n ≥ 3

Vậy dãy số (u_n) bị chặn dưới bởi 3.

b) Ta có: n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 suy ra u_n = – 2n + 1 ≤ – 1

Do đó u_n ≤ – 1.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn trên bởi – 1.

c) Ta có: \({u_n} = \frac{1}{{{n^2} + n}} = \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}\)

Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 suy ra \(\frac{1}{n} > \frac{1}{{n + 1}} \Rightarrow {u_n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} > 0\)

Ta lại có: \(\frac{1}{n} \le 1\) và \( - \frac{1}{{n + 1}} \le - \frac{1}{2}\) suy ra \({u_n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} \le 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)

Do đó \(0 < {u_n} \le \frac{1}{2}\)

Vậy dãy số (u_n) bị chặn.

Lời giải

a) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng là:

P₁ = 100 + 100.0,5%  + 6 = 100,5 + 6 (triệu đồng).

b) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 2 tháng là:

P₂ = 100,5 + 6 + (100,5 + 6).0,5% + 6= (100,5 + 6)(1 + 0,5%) + 6 = 100,5(1 + 0,5%) + 6.(1 + 0,5%) + 6 (triệu đồng)

Số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng là:

P₃ = (100,5 + 6)(1 + 0,5%) + 6 + [(100,5 + 6)(1 + 0,5%) + 6 ].0,5% + 6

= 100,5.(1 + 0,5%)² + 6(1 + 0,5%)² + 6.(1 + 0,5%) + 6 (triệu đồng).

c) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 4 tháng là:

P₄ = (100,5 + 6)(1 + 0,5%)² + 6.(1 + 0,5%) + 6 + [(100,5 + 6)(1 + 0,5%)² + 6.(1 + 0,5%) + 6]0,5% + 6

= 100,5.(1 + 0,5%)³ + 6.(1 + 0,5%)³ + 6(1 + 0,5%)² + 6.(1 + 0,5%) + 6

Số tiền chị có trong ngân hàng sau n tháng là:

P_n = 100,5.(1 + 0,5%)^n-1 + 6(1 + 0,5%)^n-1 + 6(1 + 0,5%)^n-2 + 6.(1 + 0,5%)^n-3 + ... + 6 với mọi n ∈ ℕ^*.